Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen

Linearen Ungleichungen – Grafisches Lösen Übung

• Beschreibe, wie die lineare Ungleichung gelöst werden kann.

  Tipps

  Die lineare Ungleichung kann in die beiden Terme zerlegt werden, welche links und rechts vom Relationszeichen stehen.

  Dort, wo beide Terme gleichzeitig erfüllt sind, schneiden sich die zugehörigen Geraden. Hier gilt Gleichheit.

  Wenn die eine Gerade oberhalb der anderen liegt, gilt $>$ und unterhalb $<$.

  Lösung

  Gelöst werden soll die Gleichung $x\le 7$.

  Zunächst werden die beiden Terme der Ungleichung in das Koordinatensystem eingezeichnet:

  • $y=x$ (rot) und
  • $y=7$ (grün).

  Dies führt zu zwei Geraden, welche sich in einem Punkt schneiden. Von diesem Punkt ausgehend, führt eine Gerade senkrecht zur x-Achse zu $x=7$. Was bedeutet das?

  Für $x<7$ liegt die Gerade für $y=x$ unterhalb und für $x>7$ oberhalb der Geraden zu $y=7$.

  Somit kann die Lösungsmenge wie folgt angegeben werden: $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le 7\}$. Grafisch wird dies mit einem Pfeil angezeigt, welcher in negative Richtung zeigt und bei $x=7$ beginnt. Da $x=7$ zu der Lösungsmenge gehört, wird dies mit einem ausgefüllten Kreis anzeigt.

• Bestimme die Lösungsmenge der linearen Ungleichung $2 x + 3 > 1$.

  Tipps

  Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem, welche durch die Terme links und rechts des Relationszeichens gegeben sind.

  Die Gerade zu einer konstanten Funktion verläuft parallel zur $x$-Achse.

  Beachte, dass die Ungleichung $2x+3>1$ das Relationszeichen $>$ hat.

  Du kannst die Ungleichung auch rechnerisch lösen. Dafür gehst du ebenso vor wie bei Gleichungen. Du musst dabei nur beachten, dass bei einer Multiplikation mit oder der Division durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgekehrt werden muss.

  Lösung

  Betrachtet wird die Ungleichung $2x+3>1$.

  Die rote Gerade ist die zu der linearen Funktion $y=2x+3$ und die grüne zu $y=1$.

  Dort, wo die beiden Geraden sich schneiden, gilt Gleichheit. Der Schnittpunkt liegt bei $(-1|1)$.

  Da $2x+3>1$ sein soll, wird nur der Bereich betrachtet, in welchem die rote Gerade oberhalb der grünen liegt. Dies ist für alle $x>-1$ der Fall.

  Dies wird durch den violetten Pfeil angedeutet. Da $x=-1$ nicht zu der Lösungsmenge gehört, befindet sich dort ein nicht ausgefüllter Kreis.

• Entscheide, ob eine lineare Ungleichung vorliegt.

  Tipps

  Du kannst jede Gleichung ausschließen, da eine lineare Ungleichung insbesondere eine Ungleichung ist.

  Die Unbekannte kommt höchstens linear, das heißt mit dem Exponenten $1$, vor.

  Eine Ungleichung der Form $x^2-2x>0$ ist quadratisch.

  Die Unbekannte darf nicht im Nenner stehen.

  Lösung

  In einer linearen Ungleichung

  • kommt ein Relationszeichen $<$,$\le$, $>$ oder $\ge$ vor und
  • die Unbekannte hat den Exponent $1$.

  Somit sind die folgenden Gleichungen lineare Ungleichungen:

  • $2x-3(x+1)>1$
  • $2x\le 3(x+1)$
  • $-2x-3\ge 3x-1$.

  Keine lineare Ungleichung sind

  • $2x-3(x+1)^2>1$; dies ist eine quadratische Ungleichung.
  • $\frac2x\le 3(x+1)$; hier kommt die Unbekannte im Nenner vor.
  • $-2x-3= 3x-1$; dies ist eine Gleichung.

• Ordne jeder der Ungleichungen die Lösungsmenge zu.

  Tipps

  Beachte, dass bei den Relationen $\le$ sowie $\ge$ der Kreis an dem Pfeil ausgefüllt sein muss.

  Betrache zu jeder der Ungleichungen den Bereich, in welchem die Geraden zu dem jeweiligen Term der angegebenen Relation entspricht.

  Zu jeder der Ungleichungen gehört eine Lösungsmenge, die durch einen Pfeil sichtbar gemacht wird.

  Lösung

  Wenn man lineare Ungleichungen grafisch lösen möchte, kann man die Terme links und rechts des Relationszeichens in ein Koordinatensystem einzeichnen. Mit Hilfe des Schnittpunktes kann die Lösungsmenge grafisch bestimmt und als Pfeil angezeigt werden. Dabei gilt, dass bei den Relationen $\le$ sowie $\ge$ der Punkt am Anfang des Pfeils ausgefüllt sein muss.

  • $3x+3>3-x$: Dies sind die rote und grüne Gerade. An dem Bild ist zu erkennen, dass diese Ungleichung für alle $x>0$ gilt. Dies wird durch den zweiten Pfeil von oben angezeigt, jedoch darf der Kreis nicht ausgefüllt sein.
  • $-\frac23x+4>2$: Dies sind die violette und blaue Gerade. Die violette Gerade liegt oberhalb der blauen für $x<3$. Dies entspricht dem oberen Pfeil.
  • $2\le 3-x$: Die blaue Gerade liegt unterhalb der grünen für $x\le 1$. Dies entspricht dem unteren Pfeil.
  • $3x+3\ge2$: Die rote Gerade liegt oberhalb der blauen für $x\ge -\frac13$. Dies entspricht dem dritten Pfeil von oben. Jedoch muss hier der Kreis ausgefüllt sein.

• Ergänze die Erklärung zu linearen Ungleichungen.

  Tipps

  Zum Beispiel ist $x<4$ eine Ungleichung und $x=4$ eine Gleichung.

  Die Ungleichungen werden nach der höchsten Potenz benannt:

  • $2x-4>5$ ist eine lineare und
  • $2x^2-4>5$ ist eine quadratische Ungleichung.

  Lösung

  Was sind lineare Ungleichungen?

  • Linear bedeutet, dass die Unbekannte, zum Beispiel $x$, nur in der ersten Potenz und nicht im Nenner vorkommt.
  • Ungleichungen bilden Größenvergleiche ab. Diese werden durch Relationszeichen dargestellt.

  $a<b$ bedeutet, dass $a$ kleiner als $b$ ist.

  $a\le b$ bedeutet, dass $a$ kleiner oder gleich $b$ ist.

  $a>b$ bedeutet, dass $a$ größer als $b$ ist.

  $a\ge b$ bedeutet, dass $a$ größer oder gleich $b$ ist.

• Ermittle die Lösungsmenge der linearen Ungleichung.

  Tipps

  Zeichne die Geraden zu $y=3(x+2)-4x$ sowie $y=x-1$ in ein Koordinatensystem ein.

  Falls du die Ungleichung rechnerisch löst, achte darauf, dass das Multiplizieren mit oder das Dividieren durch eine negative Zahl dazu führt, dass das Relationszeichen umgedreht werden muss.

  Du kannst auch die zugehörige Gleichung lösen und dann prüfen, für welche $x$ die Ungleichung erfüllt ist.

  Lösung

  Es soll die lineare Ungleichung $3(x+2) - 4 x > x - 1$ gelöst werden. Beachte, dass hinter der Geraden $y=3(x+2)-4x$ die Funktion $y=6-x$ steckt.

  In dem nebenstehenden Bild sind die Terme links und rechts des Relationszeichens als Geraden zu sehen. Bei $x=3,5$ und $y=2,5$ schneiden sich die beiden Geraden. Die rote Gerade liegt links von $x=3,5$ oberhalb der grünen.

  Der Pfeil zeigt die Lösungsmenge an $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x<3,5\}$.