Lineare Ungleichungen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Einleitung lineare Ungleichungen
• Linearität
• Äquivalenzumformungen
• Lösen von linearen Ungleichungen
  • Beispiel 1
  • Beispiel - Ungleichheitszeichen dreht sich um
  • Spezialfälle lineare Ungleichungen

Einleitung lineare Ungleichungen

Lineare Ungleichungen behandelst du fast genauso wie lineare Gleichungen. Der einzige Unterschied ist das Ungleichheitszeichen zwischen den Termen, welches das Gleichheitszeichen ersetzt.

Linearität

Was bedeutet es, wenn eine (Un-)Gleichung linear ist? Das ist ganz einfach: In der Funktion kommen keine Terme wie $x^2$, $x^3$ oder noch höheren Grades vor. Es gibt nur Ausdrücke wie $x$, $2x$ oder $1$ und $-3$.

Eine Ungleichung könnte so aussehen: $2x + 8 > 12$. Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung besteht aus allen $x$, mit denen die Ungleichung eine wahre Aussage ergibt. Im Gegensatz zur linearen Gleichung, bei der – abgesehen von den Spezialfällen – höchstens eine Zahl als Lösung herauskommt, besteht die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung aus einer Menge von Zahlen, für die man eine Bedingung angibt. Die Ungleichung $2x + 8 > 12$ hat beispielsweise die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{x | x > 2\}$: Dies ist „die Menge aller $x$, für die $x > 2$ gilt“.

Äquivalenzumformungen

Um die Lösung einer Ungleichung zu ermitteln, verwendest du Äquivalenzumformungen. Dies funktioniert wie bei Gleichungen: Du formst eine Ungleichung solange um, bis $x$ auf einer Seite der Ungleichung isoliert steht.

Nur beim Multiplizieren und Dividieren der Ungleichung mit einer negativen Zahl musst du aufpassen. Ist der Faktor oder der Divisor negativ, so muss das Ungleichheitszeichen „umgedreht“ werden. Aus $<$ wird $>$ und aus $>$ wird $<$. Das gilt auch für $\le$ und $\ge$.

Lösen von linearen Ungleichungen

Genau wie bei Gleichungen besteht die Strategie für das Lösen einer Ungleichung darin, die Variable auf einer Seite zu isolieren. Am Ende steht eine Ungleichung der Form $x > a$ bzw. $x < a$. Dabei ist $a$ irgendeine Zahl.

Betrachten wir ein paar Beispiele.

Beispiel 1

Gegeben ist die Ungleichung $6(x – 1) + 1 > 3x + 13$.

Beide Seiten vereinfachst du zunächst so weit wie möglich, indem wir ausmultiplizieren und dann zusammenfassen:

$\begin{array}{lllll} 6(x – 1) + 1 & > & 3x + 13 &~&\\ 6x – 6 + 1 & > & 3x + 13 &~&\\ 6x – 5 & > & 3x + 13 &|&~ –3x + 5\\ 3x &>& 18 &|& :3\\ x &>& 6 &~& \end{array}$

Wir konnten diese Ungleichung genauso lösen, wie wir Gleichungen lösen. Es musste auch nie das Ungleichheitszeichen umgedreht werden, weil wir nicht mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert haben.

Die Lösungsmenge besteht also aus allen Zahlen, die größer als $6$ sind: $\mathbb{L} = \{x | x > 6\}$.

Beispiel - Ungleichheitszeichen dreht sich um

Betrachten wir ein Beispiel, in dem sich das Ungleichheitszeichen umdreht, Schritt für Schritt:

$5 – x < 2(4 + x)$.

Zunächst wollen wir den Klammerterm auf der rechten Seite ausmultiplizieren:

$5 – x < 8 + 2x$.

Dann wollen wir weiter zusammenfassen. Wir subtrahieren $2x$ und $5$:

$–3x < 3$.

Nun kommt ein entscheidender Schritt. Wir müssen durch eine negative Zahl, $-3$, dividieren. Dabei dreht sich das Ungleichheitszeichen um:

$x > –1$.

Die Lösungsmenge lautet: $\mathbb{L} = \{x | x > –1\}$.

Spezialfälle lineare Ungleichungen

Folgende Spezialfälle können bei linearen Ungleichungen auftreten:

• Eine Ungleichung ist unabhängig vom Wert, der eingesetzt wird, immer falsch: $\mathbb{L}=\{~\}$
• Eine Ungleichung ist unabhängig vom Wert, der eingesetzt wird, immer richtig: $\mathbb{L}=\{ x \in \mathbb{R} \}$

Betrachten wir jeweils ein Beispiel:

Bei der Ungleichung $3x + 7 > 3x + 8$ steht auf beiden Seiten der Term $3x$. Wenn wir $3x$ subtrahieren, fällt die Variable $x$ weg und die Ungleichung lautet $7>8$. Diese Aussage ist immer falsch. Es gibt kein $x$, durch welches die Ungleichung stimmen würde: $\mathbb{L}=\{~\}=\emptyset$

Die Ungleichung $2x – 5 < –4 +2x$ lässt sich äquivalent umformen zu $–5 < –4$. Diese Aussage ist immer richtig, egal welchen Wert du für $x$ einsetzt. Die Lösungsmenge besteht also aus allen (reellen) Zahlen.