Lösen von linearen Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen

Lösen von linearen Ungleichungen durch Äquivalenzumformungen Übung

• Bestimme für die Ungleichung die richtige Lösungsmenge.

  Tipps

  Wichtig: Wenn du eine Lösungsmenge mit einer Probe überprüfst, solltest du einen Wert wählen, der nur in dieser Lösungsmenge vorkommt.

  Bsp.: Ungleichung $x > 3$

  Welche Lösungsmenge ist korrekt?

  • $~\mathbb{L}=\{x~|~x > 0\}~$
  • $~\mathbb{L}=\{x~|~x > 3\}~$

  Wählst du für die Probe der ersten Lösungsmenge, zum Beispiel $x =4$, und überprüfst die Ungleichung, erhältst du: $\textbf 4$ > $\textbf 3$.

  Das ist korrekt. Die 4 kommt in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x > 0\}$ vor, jedoch auch in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x > 3\}$ vor.

  Du solltest also einen Wert für $x$ wählen, der nur in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x > 0\}$ vorkommt.

  Beispielsweise $x = 2$. Dies führt zu einer falschen Aussage: $\textbf 2$ > $\textbf3$.

  Wähle Werte innerhalb der vorgeschlagenen Lösungsmengen und führe mit ihnen die Probe durch.

  Ein Wert innerhalb der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~| x < -1,5\}$ wäre z. B. $x=-2$.

  Erhältst du bei einer Probe eine falsche Aussage, ist die untersuchte Lösungsmenge falsch.

  Lösung

  Um die vorgeschlagenen Lösungsmengen zu überprüfen, wählen wir Werte aus ihnen und setzen sie in die ursprüngliche Ungleichung ein.

  Die Ungleichung lautet: $-2x + 5 > 8$.

  Die erste mögliche Lösungsmenge ist $~\mathbb{L}=\{x~|~x<-1,5\}$. Wir setzen als Probe $-2$ ein:

  $\begin{align} -2(-2) + 5 &> 8 \\ 4 + 5 &> 8 \\ 9 &>8. \end{align}$

  Das ist eine wahre Aussage. $~\mathbb{L}=\{x~|~x<-1,5\}$ kommt also als mögliche richtige Lösungsmenge in Frage. Überprüfen wir noch die anderen.

  $~\mathbb{L}=\{x~|~x > -1,5\}$. Hierzu setzen wir $-1$ ein:

  $\begin{align} -2(-1) + 5 &> 8 \\ 3 + 5 &> 8 \\ 8 &>8. \end{align}$

  Das ist eine falsche Aussage, da $8=8$ gilt. Nun zur letzten Lösungsmenge $~\mathbb{L}=\{x~|~x>0\}$. Wir setzen $1$ ein:

  $\begin{align} -2(1) + 5 &> 8 \\ -2 + 5 &> 8 \\ 3 &>8. \end{align}$

  Auch das führt zu einer offensichtlich falschen Aussage.

  Die einzig richtige Lösungsmenge ist also $~\mathbb{L}=\{x~|~x<-1,5\}$.

• Bestimme zur vorgegebenen Lösungsmenge die korrekte Darstellung am Zahlenstrahl.

  Tipps

  Ist eine Zahl an der Zahlengerade eingekreist, gehört sie nicht zur Lösungsmenge.

  Alle Zahlen, die zur Lösungsmenge gehören, werden an der Zahlengerade mit einer roten Gerade markiert.

  Lösung

  Wir möchten die Lösungsmenge an der Zahlengerade darstellen.

  Doch wie kommt man hier auf die richtige Lösung, so wie im Bild?

  Die Lösungsmenge lautet: $~\mathbb{L}=\{x~|~x > -1,5\}~$.

  Das bedeutet, dass alle Zahlen, die größer sind als $-1,5$ zu unserer Lösungsmenge gehören. Damit gehört aber $-1,5$ selbst nicht mehr dazu. Daher umkreist man diesen Wert an der Zahlengerade, weil dort die Lösungsmenge beginnt, die Zahl selbst aber nicht dazugehört.

  Der Strahl geht nach rechts weiter, da wir alle Zahlen zur Lösungsmenge zählen, die größer sind als unser bekannter Wert.

  Das Bild mit dem Kreis um $-1$ ist falsch, weil $-1$ zwar größer ist als $-1,5$, jedoch alle Werte dazwischen, wie z. B. $-1,2$, die auch zur Lösungsmenge gehören, wegfallen würden.

  Die anderen Bilder zeigen Ähnliches bzw. geht der Strahl dort nach links, zeigt also fälschlicherweise kleinere Werte.

• Ermittle die Lösungsmenge der Ungleichung.

  Tipps

  Versuche die Lösung durch Äquivalenzumformungen zu finden. Musst du dabei durch eine negative Zahl dividieren, also das Relationszeichen umdrehen?

  Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten der Ungleichung durchgeführt und verändern die Lösungsmenge nicht.

  Alternativ kannst du mit Hilfe einer Probe die gegebenen Lösungsmengen überprüfen.

  Wähle dazu einen Wert, welcher nur in der einen Lösungsmenge vorkommt und setze diesen für die Variable $x$ ein.

  Lösung

  Betrachten wir die Ungleichung.

  Man muss versuchen, mit Hilfe von Äquivalenzumformungen das $x$ auf eine Seite der Ungleichung zu bringen. Hierbei darf aber die Lösungsmenge nicht verändert werden.

  Ein möglicher Lösungsweg sieht so aus:

  $\begin{align} 5x + 16 &< x-4 &|&-x \\ 4x + 16 &< -4 &|&-16 \\ 4x &< -20 &|&:4 \\ x &< -5. & \end{align}$

  Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also $\mathbb{L}=\{x~|~x <-5\}$.

  Das überprüfen wir, indem wir zum Beispiel $x=-6$ einsetzen:

  $\begin{align} 5 \cdot (-6) + 16 &< (-6) -4 \\ -30 + 16 &< -10 \\ -14 &<-10. \end{align}$

  Es entsteht eine wahre Aussage. Unser Ergebnis stimmt.

  Aber warum ist dann die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x \le -5\}$ keine Lösungsmenge für die Ungleichung? Die $-6$ ist doch auch in dieser Lösungsmenge vorhanden.

  Um dies zu überprüfen, setzen wir einen Wert ein, welcher nur in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x \le -5\}$ vorkommt, jedoch nicht in der Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x < -5\}$.

  Dieser Wert ist die $\textbf {-5}$. Die Probe zeigt, dass eine falsche Aussage herauskommt:

  $\begin{align} 5 \cdot (-5) + 16 &< (-5) -4 \\ -25 + 16 &< -9 \\ -9 &<-9. \end{align}$

  Also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x \le -5\}$ nicht korrekt.

• Ordne den Ungleichungen die richtige Lösungsmenge zu.

  Tipps

  Du kannst die Ungleichungen lösen und so ihre Lösungsmengen ermitteln.

  Du kannst die vorgegebenen Lösungsmengen durch eine Probe überprüfen und auch so den passenden Partner finden.

  Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten der Ungleichung durchgeführt und verändern die Lösungsmenge nicht.

  Lösung

  Um diese Aufgabe zu lösen, wählen wir den schnellen und sicheren Weg. Das bedeutet, dass wir jede Ungleichung selbst lösen, statt die vorgegebenen Lösungsmengen durch Probe zu überprüfen.

  Fangen wir mit der ersten Ungleichung an:

  $- \frac{1}{4}x - 4 < -0,25x + 5$.

  Addieren wir auf beiden Seiten $\frac{1}{4}x$ bzw. $0,25x$, erhalten wir:

  $\begin{align} - \frac{1}{4}x - 4 &< -0,25x + 5 &|& +0,25x\\ -4 &< 5. \end{align}$

  Das $x$ wurde eliminiert, übrig bleibt eine wahre Aussage, die mit jeder Lösung für $x$ nicht verändert wird. Daher gehören alle rationalen Zahlen zu der Lösungsmenge:

  $\mathbb{L}=\{\mathbb{Q}\}$.

  Bei der zweiten Ungleichung wurden zwei Vorzeichen vertauscht. Führt man hier die gleiche Umformung durch wie bei der ersten Ungleichung, erhält man:

  $\begin{align} - \frac{1}{4}x + 4 &< -0,25x - 5 &|& +0,25x\\ 4 &< - 5. \end{align}$

  Dies ist in jedem Fall ein Widerspruch, es kann keine Lösung für $x$ geben. Daher ist die Lösungsmenge die leere Menge:

  $\mathbb{L}=\{~\}$.

  Die dritte Ungleichung können wir durch einige Äquivalenzumformungen lösen:

  $\begin{align} 13 + 4x &> x - 8 &|&-x \\ 13 + 3x &> -8 &|&-13 \\ 3x &> -21 &|&:3 \\ x &> -7. \end{align}$

  Die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x~|~x > -7\}$ kommt auch als mögliche Lösungsmenge in der Aufgabe vor, weshalb wir ohne Probe davon ausgehen können, dass sie zur dritten Ungleichung gehört.

  Auch die vierte und letzte Ungleichung lässt sich durch einfache Äquivalenzumformungen lösen:

  $\begin{align} -x + 8 &< -2x + 20 &|& +2x \\ x + 8 &< +20 &|& -8 \\ x &< 12. \end{align}$

  Auch hier können wir auf die Probe verzichten, die gesuchte Lösungsmenge der vierten Ungleichung lautet:

  $\mathbb{L}=\{x~|~x < 12\}$.

• Zeige auf, wie die Lösungsmenge am Zahlenstrahl dargestellt werden kann.

  Tipps

  Es ist üblich, die Werte einzukreisen, bei denen die Lösungsmenge beginnt, der Startwert aber nicht mehr dazugehört.

  $x > 3$ und $x \ge 3$ unterscheiden sich!

  $-5$ ist kleiner als $-2$.

  Lösung

  Zunächst betrachten wir die Lösungsmenge.

  Sie lautet: $~\mathbb{L}=\{x~|~x < -1,5\}~$.

  Das bedeutet, dass alle kleineren Zahlen dazugehören. Das sind $-4$, $-15$ oder $-145$. Sie sehen größer aus, aber da wir uns im negativen Bereich bewegen, werden diese Zahlen immer kleiner.

  Daher müssen wir alle Zahlen links von unseren $-1,5$ am Zahlenstrahl einfärben (Bild).

  Wichtig ist, dass die $-1,5$ nicht mehr zur Lösungsmenge dazugehört, denn es heißt $<$ und nicht $\le$.

  Zahlen, die nicht zur Lösungsmenge gehören, bei denen aber die Lösungsmenge beginnt, kreist man am Zahlenstrahl ein (Bild).

• Entscheide, welche Lösungsmenge korrekt ist.

  Tipps

  Äquivalenzumformungen werden auf beiden Seiten der Ungleichung durchgeführt und verändern die Lösungsmenge nicht.

  Du kannst die vorgegebenen Lösungsmengen mit Hilfe einer Probe überprüfen.

  Wird bei einer Ungleichung durch eine negative Zahl dividiert oder mit ihr multipliziert, dreht sich das Relationszeichen um.

  Lösung

  Bei dieser Aufgabe begegnest du einer Sonderregel.

  Doch bevor wir dazu kommen, betrachten wir die möglichen Lösungen für $x$. Man könnte sie anhand der Probe auf ihre Richtigkeit testen. Wenn man jedoch erst die Ungleichung löst, spart man eine Menge Zeit.

  Nun zur Besonderheit: Im Rahmen unserer Äquivalenzumformungen werden wir durch eine negative Zahl teilen müssen. Immer, wenn bei Ungleichungen durch eine negative Zahl dividiert oder mit einer negativen Zahl multipliziert wird, dreht sich das Relationszeichen (Rechenzeichen) um.

  Das sieht dann so aus:

  $\begin{align} -0,5x + 8 &\ge 16 &|&-8 \\ -0,5x &\ge 8 &|&:(-0,5) \\ x &\le -16. & \end{align}$

  Unsere Lösungsmenge für die Ungleichung lautet also:

  $\mathbb{L}=\{x~|~x \le -16\}$.

  Es können also nur Zahlen sein, die kleiner oder gleich $-16$ sind. Somit stimmen

  $x=-16$ und $x=-20$.

  Man kann jedoch die Sonderregel umgehen und trotzdem das richtige Ergebnis erhalten, wenn man so rechnet:

  $\begin{align} -0,5x + 8 &\ge 16 &|&+0,5x \\ 8 &\ge 16+0,5x &|&-16 \\ -8 &\ge 0,5x &|&:0,5 \\ -16 &\ge x & \\ x &\le -16. & \end{align}$