Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten – Übung

Grafisches Lösen von linearen Ungleichungen mit 2 Unbekannten – Übung Übung

• Stelle die lineare Ungleichung in Abhängigkeit von $x$ dar.

  Tipps

  Forme die Ungleichung äquivalent so um, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.

  Beachte: Falls du

  • mit einer negativen Zahl multiplizierst oder
  • durch eine negative Zahl dividierst,

  so musst du das Relationszeichen umdrehen.

  Lösung

  Die Ungleichung $8x+4y<20$ soll nach $y$ aufgelöst werden. Dabei kann so vorgegangen werden, wie bei einer Gleichung:

  \begin{align*} 8x+4y&<20&|&-8x\\ 4y&<-8x+20&|&:4\\ y&<-2x+5. \end{align*}

  Die Gleichung $y=-2x+5$ gehört zu einer Geraden, der Randgeraden. Diese kann in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Alle Punkte, die unterhalb dieser Geraden liegen, dies sind unendlich viele, erfüllen die Ausgangsungleichung.

• Beschreibe, wo die Lösungsmenge liegt.

  Tipps

  Forme die Ungleichung um wie eine Gleichung. Beachte:

  • das Multiplizieren mit einer oder
  • das Dividieren durch eine

  negative Zahl führt dazu, dass sich das Relationszeichen umkehrt.

  Eine lineare Gleichung führt zu einer Geraden. Auf dieser liegen alle Punkte, die die Gleichung erfüllen.

  Eine Gerade teilt die Koordinatenebene in 2 Halbebenen:

  • eine in der die Lösungen der Ungleichung liegen und
  • die dieser Halbebene gegenüberliegende. Deren Punkte erfüllen die Ungleichung nicht.

  Lösung

  Zunächst wird die Ungleichung nach $y$ umgeformt:

  \begin{align*} -3y+12x&<15&|&-12x\\ -3y&<-12x+15&|&:(-3)\\ y&>4x-5. \end{align*}

  Hier wurde durch eine negative Zahl dividiert. Deshalb muss das Relationszeichen umgedreht werden.

  Die Gleichung $y=4x-5$ führt zu der Randgeraden. Diese kann man in ein Koordinatensystem zeichnen.

  Alle Punkte, die oberhalb der Randgeraden liegen, bilden eine Halbebene, in welcher alle Lösungen der Ungleichung liegen. Die Randgerade gehört nicht zu der Lösungsmenge.

  Die Randgerade sowie die Lösungsmenge sind in dem Bild zu sehen.

• Bestimme die Gleichung der Randgeraden.

  Tipps

  Forme die Ungleichung um wie eine Gleichung.

  Bei Ungleichungen muss beachtet werden, dass das Multiplizieren mit einer negativen Zahl und das Dividieren durch eine negative Zahl dazu führt, dass das Relationszeichen getauscht wird.

  Die Gleichung der Randgeraden erhält man dadurch, dass in der nach $y$ umgeformten Ungleichung das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt wird.

  Lösung

  Man formt die Ungleichung so um, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht:

  \begin{align*} 6x-2y &\ge2&|&-6x\\ -2y&\ge-6x+2&|&:(-2)\\ y&\le3x-1. \end{align*}

  Wichtig ist, zu beachten, dass hier durch $-2$ dividiert wurde, weshalb das Relationszeichen von $\ge$ zu $\le$ umgekehrt wurde.

  Die Gleichung der Randgeraden ist gegeben durch $y=3x-1$.

• Ermittle die graphische Lösungsmenge der Ungleichung.

  Tipps

  Die Randgerade teilt die Koordinatenebene in 2 Halbebenen.

  In welcher liegen die Lösungen?

  Du kannst mit einzelnen Punkten die Probe durchführen, ob sie die Ungleichung lösen oder nicht.

  Alle Punkte, die auf der Randgeraden liegen, erfüllen die Gleichung der Randgeraden.

  Lösung

  Die Kenntnis der Randgeraden alleine reicht nicht aus. Es muss auch die entsprechende Ungleichung bekannt sein. Diese kann aus der obigen Ungleichung wie folgt hergeleitet werden:

  \begin{align*} 6x-2y &\ge2&|&-6x\\ -2y&\ge-6x+2&|&:(-2)\\ y&\le3x-1. \end{align*}.

  Wegen des Dividieren durch $-2$ wurde das Relationszeichen umgedreht

  Die Gleichung der Randgeraden lautet: $y=3x-1$.

  In dem Bild ist die Randgerade dieser Ungleichung zu erkennen. Da die Relation $\le$ lautet, ist die Lösungsmenge die Halbebene unterhalb der Randgeraden, eingeschlossen die Randgerade selbst.

• Beschreibe, was Ungleichungen sind.

  Tipps

  Eine lineare Gleichung ist zum Beispiel durch $2x+3y=6$ gegeben. Wie formst du diese nach $y$ um?

  Es gilt $2<3$. Was passiert, wenn man auf beiden Seiten mit $-2$ multipliziert?

  Lösung

  Eine Ungleichung sieht so ähnlich aus wie eine Gleichung. Statt des Gleichheitszeichens steht hier ein Relationszeichen: $>$, $<$, $\ge$ oder $\le$.

  Gelöst werden Ungleichungen so ähnlich wie Gleichungen. Es ist dabei darauf zu achten, dass sowohl beim Multiplizieren mit einer als auch beim Dividieren durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgedreht werden muss.

  Die Ungleichung wird nach $y$ umgeformt. Die zugehörige Gleichung ist eine lineare Gleichung, deren Graph eine Gerade ist. Diese nennt man Randgerade. Mit Hilfe dieser Randgeraden kann grafisch die Lösungsmenge angegeben werden.

• Ordne der Ungleichung die umgeformte Ungleichung zu.

  Tipps

  Forme jede der Ungleichungen so um, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.

  Gehe dabei so vor wie beim Lösen linearer Gleichungen.

  Der Unterschied zum Lösen von linearen Gleichungen besteht darin, dass das Relationszeichen umgedreht werden muss, wenn

  • mit einer negativen Zahl multipliziert oder
  • durch eine negative Zahl dividiert wird.

  Lösung

  Um lineare Ungleichungen zu lösen, müssen diese so umgeformt werden, dass $y$ auf der linken Seite alleine steht.

  • Dies geschieht durch äquivalente Umformungen wie beim Lösen von linearen Gleichungen.
  • Zu beachten ist dabei, dass das Relationszeichen umgedreht werden muss, wenn mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch eine negative Zahl dividiert wird.

  Wenn in dieser umgeformten Ungleichung das Relationszeichen durch das Gleichheitszeichen ersetzt wird, erhält man die Gleichung der Randgeraden. Mit Hilfe der Randgeraden kann die Lösungsmenge angegeben werden. Diese ist

  • die Halbebene oberhalb der Randgeraden bei $>$ Relationen,
  • bei $\ge$ gehört die Randgerade dazu oder
  • die Halbebenen unterhalb der Randgeraden bei $<$ Relationen, wobei
  • die Randgerade bei $\le$ dazu gehört.

  Die angegebenen Ungleichungen können wie folgt umgeformt werden:

  \begin{align*} 2x-y&\ge x+3&|&-2x\\ -y&\ge-x+3&|&\cdot(-1)\\ y&\le x-3. \end{align*}

  \begin{align*} x+y&\ge 2x+3&|&-x\\ y&\ge x+3. \end{align*}

  \begin{align*} x+2y&\ge y-3&|&-x\\ 2y&\ge-x+y-3&|&-y\\ y&\ge -x-3. \end{align*}

  \begin{align*} x-2y&\ge 2x-y-3&|&-x\\ -2y&\ge x-y-3&|&+y\\ -y&\ge x-3&|&\cdot(-1)\\ y&\le-x+3. \end{align*}