Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (2)

Lineare Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen (2) Übung

• Schildere, was beim Lösen von linearen Ungleichungen zu beachten ist.

  Tipps

  Es gilt $4>3$, allerdings ist $-4<-3$.

  Äquivalenzumformungen sind

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Du kannst Ungleichungen ähnlich behandeln wie Gleichungen. Es gibt zwei Rechenoperationen, bei welchen du aufpassen musst.

  Lösung

  Ähnlich wie bei Gleichungen, dürfen bei Ungleichungen Äquivalenzumformungen durchgeführt werden. Diese sind

  1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
  2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
  3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

  Es gibt die folgenden Relationszeichen:

  $<$, $\le$, $>$ oder $\ge$.

  Wichtig ist zu beachten, dass

  • bei der Division durch oder
  • der Multiplikation mit

  einer negativen Zahl das Relationszeichen sich umkehrt.

  Zum Beispiel:

  $\begin{array}{lcc} & -2x&\le 4&|:(-2)\\ \Leftrightarrow & x&\ge -2& \end{array}$

• Bestimme die Lösungsmenge der linearen Ungleichung.

  Tipps

  Behandle die lineare Ungleichung wie eine Gleichung.

  Du musst nur darauf achten, dass beim Multiplizieren mit oder Dividieren durch eine negative Zahl, das Relationszeichen umgekehrt werden muss.

  In diesem Fall wird einmal durch eine negative Zahl geteilt.

  Zur Probe kannst du eine Zahl aus der Lösungsmenge in der Ausgangsungleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.

  Lösung

  Es soll die Lösungsmenge der Ungleichung

  $-2x+3\ge0,25x-1,5$

  angegeben werden. Hierfür werden Äquivalenzumformungen angewendet, welche in der folgenden Rechnung zu sehen sind:

  $\begin{align*} &&-2x+3&\ge0,25x-1,5&|&-3\\ &\Leftrightarrow&-2x&\ge0,25x-4,5&|&-0,25x\\ &\Leftrightarrow&-2,25x&\ge-4,5&|&:(-2,25) \end{align*}$

  An dieser Stelle muss man aufpassen, da durch eine negative Zahl dividiert wird. Das bedeutet, das Relationszeichen dreht sich um:

  $\Leftrightarrow x\le 2$.

  Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{x\in \mathbb{R}|x\le 2\}$.

• Leite die Lösung der linearen Ungleichung her.

  Tipps

  Auch wenn diese Gleichung aussieht, als sei sie nicht linear, so ist sie es doch.

  Wende die 1. binomische Formel auf der linken Seite an und multipliziere auf der rechten Seite die Klammer aus.

  Im nächsten Schritt kannst du $x^2$ subtrahieren und erhältst eine lineare Ungleichung.

  Diese lineare Ungleichung kannst du mit Äquivalenzumformungen lösen.

  Lösung

  Die Ungleichung $(x+1)^2\le x\cdot (x-1)$ sieht zunächst nicht linear aus. Man kann mit der 1. binomischen Formel auf der linken sowie Ausmultiplizieren der Klammer auf der rechten Seite wie folgt umformen:

  $x^2+2x+1\le x^2-x$.

  Durch Subtraktion von $x^2$ auf beiden Seiten erhält man eine lineare Ungleichung

  $2x+1\le-x$.

  Nun kann auf beiden Seiten $1$ subtrahiert werden, was zu

  $2x\le1-x$

  führt. Die Addition von $x$ führt zu

  $3x\le1$.

  Indem man durch $3$ dividiert, gelangt man zu

  $x\le \frac13$

  und damit zu der Lösungsmenge

  $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le \frac13\}$.

• Bestimme die Lösungsmenge der linearen Ungleichung.

  Tipps

  Stelle zunächst die Ungleichung auf. Die gesuchte Zahl sei $x$.

  Löse die Ungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen.

  Achte darauf, dass beim Multiplizieren mit oder Dividieren durch eine negative Zahl das Relationszeichen umgedreht wird.

  Lösung

  Zunächst muss der oben angegebene Text in eine Ungleichung übersetzt werden:

  • Die gesuchte Zahl sei $x$,
  • das Vierfache der Zahl ist $4x$ und
  • das Zehnfache $10x$.

  Nun kann die lineare Ungleichung aufgestellt werden:

  $4x+12\ge10x$.

  Diese kann nun mit Hilfe von Äquivalenzumformungen gelöst werden:

  $\begin{align*} &&4x+12&\ge10x&|&-12\\ &\Leftrightarrow&4x&\ge 10x-12&|&-10x\\ &\Leftrightarrow&-6x&\ge-12&|&:(-6)\\ &\Leftrightarrow&x&\le2. \end{align*}$

  Hier wurde durch $-6$, also eine negative Zahl, dividiert, weshalb das Relationszeichen umgedreht wurde.

  Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le 2\}$.

• Gib die Lösungsmenge der linearen Ungleichung an.

  Tipps

  Führe Äquivalenzumformungen zur Lösung dieser linearen Ungleichung durch.

  Du kannst am Ende deiner Rechnung eine Probe durchführen. Setze ein Element aus der Lösungsmenge in der Ausgangsungleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

  Die Lösungsmenge ist eine Menge. Diese wird in geschweiften Klammern geschrieben.

  Lösung

  Es soll die lineare Ungleichung

  $\frac13x-5\le\frac14x+3$

  gelöst werden. Hierfür werden Äquivalenzumformungen, so wie bei Gleichungen, angewendet, um $x$ auf einer Seite schließlich alleine stehen zu haben:

  $\begin{align*} &&\frac13x-5&\le\frac14x+3&|&+5\\ &\Leftrightarrow&\frac13x&\le\frac14x+8&|&-\frac14x\\ &\Leftrightarrow&\frac1{12}x&\le8&|&\cdot 8\\ &\Leftrightarrow&x&\le96. \end{align*}$

  Somit kann die Lösungsmenge wie folgt angegeben werden:

  $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x\le 96\}$.

• Prüfe, ab welcher Zahl von Musiktiteln der Anbieter $A$ günstiger ist als der Anbieter $B$.

  Tipps

  Stelle zunächst die linearen Gleichungen auf, durch welche die Kosten bei Anbieter $A$ und $B$ ermittelt werden können.

  Die Kosten bei Anbieter $A$ sind gegeben durch $10+0,49x$.

  Es muss gelten, dass die Kosten bei $A$ niedriger sind als die von $B$. Das bedeutet $<$.

  Dies führt zu einer linearen Ungleichung.

  Lösung

  Die Kosten von Anbieter $A$ und $B$ können jeweils als lineare Terme bestimmt werden:

  • $A$: $10+0,49x$ und
  • $B$: $5+0,59x$.

  Dies führt zu der linearen Ungleichung

  $10+0,49x<5+0,59x$,

  welche mit Äquivalenzumformungen gelöst werden kann:

  $\begin{align*} &&10+0,49x&<5+0,59x&|&-10\\ &\Leftrightarrow&0,49x&<-5+0,59x&|&-0,59x\\ &\Leftrightarrow&-0,1x&<-5&|&:(-0,1)\\ &\Leftrightarrow&x&>50. \end{align*}$

  Hier wurde durch $-0,1$ geteilt, also durch eine negative Zahl. Deshalb dreht sich das Relationszeichen um.

  Die Lösungsmenge dieser Gleichung ist $\mathbb{L}=\{x\in\mathbb{R}|x>50\}$.

  Das bedeutet ab $50$ Musiktiteln ist der Anbieter $A$ günstiger für Paul.