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Lineare Funktionen – Steigung 08:20 min

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Transkript Lineare Funktionen – Steigung

Hallo. Was ist die Steigung einer linearen Funktion? Das ist unsere Frage. Es wäre natürlich gut, wenn du schon weißt, was lineare Funktionen sind. Lineare Funktionen sind Funktionen mit Funktionsgleichungen in der Form y = m×x + b. Und kurz zusammengefasst die Steigung einer solcher Funktion ist gleich m beziehungsweise die Zahl, die man für m einsetzt, wenn man dann eben eine konkrete Funktion vor sich hat. Das geht natürlich noch ein bisschen ausführlicher und dazu habe ich hier mal ein paar Funktionsgraphen mitgebracht, die haben alle Funktionsgleichungen der Form von y= m×x + 2. Hier für b ist überall zwei eingesetzt worden und für m haben wir unterschiedliche Zahlen eingesetzt. Jetzt müssen wir uns überlegen, was bedeutet denn so eine Steigung eigentlich? Und da kann man sich das folgendermaßen vorstellen: wir halten das Koordinatensystem vertikal und gehen jetzt hier von links nach rechts die Funktionsgraphen entlang, ja? Und wenn ich den Funktionsgraphen hier entlang gehe, stelle ich fest, dass der steil ist, deshalb ist die Steigung groß. Der hier ist nicht steil, die Steigung ist geringer, ja? Ich muss mich, wenn ich hier hoch gehe, weniger anstrengen. Und hier ist die Steigung sogar so gering, dass sie negativ ist, das heißt hier könnte man quasi direkt runterrutschen. Das ist jetzt eine etwas rustikale Vorstellung. Oft ist ja Mathematik auch ein bisschen abstrakt. Aber hier ist wirklich so, dass man sich vorstellt, man läuft Graphen hoch. Wir können hier die Vermutung haben, dass die Steigung etwas mit dem m zu tun hat und nicht so viel mit dem b zu tun hat. Da können wir uns jetzt mal weitere Funktionsgraphen dazu ansehen. Wir haben hier Funktionsgraphen von Funktionsgleichungen der Form y = m×x - 3 und wenn man hier jetzt mal diese Graphen vergleichen, dann sehen wir: Naja, hier ist ein anderes b als da. Das m ist gleich und die Steigung ist auch gleich. Hier gilt das gleiche m, die Steigung ist gleich, das b ist unterschiedlich, macht aber nichts. Ebenso hier und da. Das kann man jetzt so munter weiter machen. Ja, auch mit diesen Funktionsgraphen. Wir haben Funktionsgraphen mit Funktionsgleichungen der Form von y = m×x + 0. Ja, auch 0 kann man ja hier einsetzen für für b, aber dann schreibt man es meist nicht hin. Und wir sehen wieder: hier ist m = 2, hier ist m = 2, die Steigung ist gleich. Das b ist unterschiedlich, das macht aber der Steigung nichts. Und das gilt für die anderen hier natürlich auch. Um unsere Vermutung jetzt bestätigen zu können oder vielleicht auch zu widerlegen, müssen wir uns etwas genauer überlegen, wie so eine Steigung berechnet wird. Und ich möchte das einmal graphisch-optisch zeigen und dann gehen wir richtig in die Rechnung rein und rechnen so eine Steigung aus. Was passiert graphisch dabei? Wir machen das mit dem Steigungsdreieck. Ja, und Steigungsdreieck kommt folgendermaßen zustande: Wir gehen zu einem Punkt des Graphen, zum Beispiel zu dem hier. Gehen parallel zur x-Achse nach rechts und gehen von hier parallel zur y-Achse zum nächstmöglichen Punkt des Graphen. Der ist dann hier. Dann teilen wir diese Streckenlänge durch diese Streckenlänge und die Zahl, die da rauskommt, das ist die Steigung. Das geht mit dieser Funktion genauso. Mit diesem Funktionsgraphen. Wir gehen parallel zur x-Achse von einen Punkt des Graphen nach rechts, irgendwohin ist völlig egal, können da abbrechen und dann gehen wir parallel zur y-Achse zum nächstmöglichen Punkt des Graphen, das ist hier. Jetzt teilen wir im Prinzip auch diese Streckenlänge geteilt durch diese Streckenlänge. Aber weil wir hier nach unten gegangen sind, zählt diese Streckenlänge negativ. Wir rechnen also minus diese Streckenlänge durch diese Streckenlänge und das ist die Steigung. Und da kommt dann auch ein negatives Ergebnis heraus. So werden wir doch mal konkret. Wir können eine bestimmte Funktionsgleichung verwenden. Die habe ich vorbereitet. y= -1/4x - 3 und da ist schon einmal eine Wertetabelle dazu. Die Steigung berechnen wir jetzt folgendermaßen: Wir nehmen einen y-Wert. Zum Beispiel den hier. Das ist -3,25 und wir nehmen einen weiteren y-Wert. Ich möchte den nehmen. Ihr könnt auch einen anderen nehmen, es ist völlig egal. -3,5 und diese beiden y-Werte werden abgezogen. Das heißt ich muss hier ein Minuszeichen hinsetzen und weil keine zwei Minuszeichen hintereinander stehen sollen, kommt hier die Klammer drum. Und dann kommt ein Bruchstrich dazu und jetzt nehmen wir die zugehörigen x-Werte und ziehen die voneinander ab und schreiben das in den Nenner. Hier ist der x-Wert 1. Es wird abgezogen der andere x-Wert nämlich 2. Und dieser Bruch, der sagt uns jetzt wie groß die Steigung ist. Was rauskommt ist -1/4. Und siehe da: -1/4 ist auch das, was wir für m eingesetzt haben. Also hier passt das alles zusammen. Man kann sogar allgemein beweisen, dass bei dieser Rechnung immer genau m rauskommt. Das geht in manchen Schulen und in manchen Bundesländern über den regulären Unterrichtsstoff hinaus. Ich möchte es aber trotzdem zeigen. Und zwar kann man sich folgendes vorstellen: wenn wir irgendein x nehmen. Das nennen wir mal x1 und den Funktionswert an dieser Stelle berechnen. Dann rechnen wir ja m×x1 + b. Wenn wir einen weiteren x-Wert nehmen, x2 zum Beispiel und berechnen den Funktionswert. Dann rechnen wir m×x2 + b. Wenn wir die nun voneinander abziehen sieht das so aus. Dann kommt der Bruchstrich dazu und hier steht dann x1 - x2. Genauso wie wir das gerade auch gemacht haben. Dann können wir erst einmal die Klammer hier auflösen. Dann haben wir (m×x1 + b - m×x2 - b)/x1 - x2). +b und -b addiert sich zu 0. Das brauchen wir nicht mehr. Wir können hier m ausklammern und erhalten dann m×(x1 - x2)/(x1 - x2). Das hier kann man kürzen und m bleibt übrig. So wie gesagt: Auch wenn dieser Beweis jetzt nicht unbedingt Pflichtlehrstoff ist und wenn du das in der Schule so nicht machst und auch wenn du den Beweis nicht sofort auswendig lernst, ist es trotzdem vielleicht ganz interessant so ein Ding mal gesehen zu haben. Wir wissen jetzt auf jeden Fall, was die Steigung einer linearen Funktion ist. Die ist nämlich gleich m beziehungsweise die Zahl, die man für m dann konkret in die Funktionsgleichung einsetzt. Dann sind wir hier fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

11 Kommentare
  1. Sehr informativ und gut erklärt

    Von Maximilian G., vor etwa 2 Monaten
  2. Hallo Familie Basel!
    Mit dem "nächsten möglichen Punkt" ist hier der Punkt gemeint, der von dem x-Wert aus erreicht wird, der schon mit der Breite des Steigungsdreieckes festgelegt wurde (x=-1). Man könnte aber tatsächlich auch den Punkt (-2/-4) als zweiten Punkt des Steigungsdreieckes verwenden, die Steigung bleibt die gleiche.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor fast 2 Jahren
  3. Bei Minute 3:30-35 ist doch noch ein anderer Punkt der nächst möglcieh nämlich (-2/-4) oder irre ich mich da?

    Von Familie Basel, vor fast 2 Jahren
  4. Vielen dank mir hat das sehr viel gebracht auch eine andere Erklärung zu hören und es ist sehr gut verständlich !!

    Von Bebeto, vor etwa 3 Jahren
  5. Danke!!! Hast mir sehr geholfen....
    Bine123 du must den ton von deinem Gerät lauter machen. Sofatutor halt im allgemeinen nämlich einen geringen Ton.

    Von Lars Ulrich03, vor mehr als 3 Jahren
  1. Danke!!! Hast mir sehr geholfen....
    Bine123 du must den ton von deinem Gerät lauter machen. Sofatutor halt im allgemeinen nämlich einen geringen Ton.

    Von Lars Ulrich03, vor mehr als 3 Jahren
  2. Der ton ist zu leise, man hört kaum was.

    Von Bine123, vor fast 4 Jahren
  3. Wirklich ein gutes Video ,ich habe alles verstanden ! Danke :)

    Von Holger Dettmer, vor mehr als 4 Jahren
  4. Sehr hilfreich

    Von Leonie G., vor mehr als 4 Jahren
  5. @Maas0804: Das liegt möglicherweise an deinen Audio-Einstellungen. Prüfe einmal nach, ob du den Ton überall laut gemacht hast, nicht nur am Video selbst. Ansonsten wende dich bitte an unseren Support unter support@sofatutor.com.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  6. Ton ist viel zu leise :(

    Von LiDonDe M., vor mehr als 4 Jahren
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Lineare Funktionen – Steigung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Steigung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Bedeutung der Steigung einer linearen Funktion.

    Tipps

    Zeichne die Funktionen

    • $y=2x$,
    • $y=2x-3$
    in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

    Zeichne die Funktionen

    • $y=2x-3$,
    • $y=x-3$ und
    • $y=-0,3x-3$
    in ein Koordinatensystem. Was fällt dir auf?

    Einer der beiden Größen $m$ oder $b$ steht für den y-Achsenabschnitt. Dort schneidet die Gerade die y-Achse.

    Lösung

    Wenn man verschiedene Geraden zu den Funktionsgleichungen $y=m\cdot x-3$ betrachtet, kann man feststellen, dass

    • bei betragsmäßig größerer Steigung die Gerade steiler verläuft,
    • bei negativer Steigung die Gerade fällt.
    Da die y-Achsenabschnitte $b$ jeweils gleich sind, beeinflusst der Faktor vor dem $x$ die Steigung des Funktionsgraphen.

    Dies ist in dem Bild zu erkennen:

    • Die blaue $y=2x$ und grüne $y=2x-3$ Gerade haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y-Achsenabschnitte: Sie verlaufen parallel zueinander.
    • Die grüne, rote und gelbe Gerade haben den gleichen y-Achsenabschnitt und verschiedene Steigungen.

  • Skizziere das Vorgehen zum Bestimmen der Steigung einer Geraden zu einer linearen Funktion.

    Tipps

    Ein Punkt auf einem Funktionsgraphen einer linearen Funktion hat zu $x$ die $y$-Koordinate $y=m\cdot x+b$.

    Zeichne dir die Gerade zu $y=-\frac14x-3$ in ein Koordinatensystem sowie die Punkte $(1|-3,25)$ und $(2|-3,5)$.

    Du kannst nun ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, wobei die beiden Punkt die Endpunkte der Hypotenuse sind.

    Lösung

    Am Beispiel der Funktion $y=-\frac14x -3$ soll mit Hilfe einer Wertetabelle die Steigung berechnet werden:

    • Für einen $y$-Wert, zum Beispiel $-3,25$, und einen anderen $-3,5$ wird die Differenz gebildet.
    • Es wird ebenfalls die Differenz der zugehörigen $x$-Werte gebildet.
    • Der Quotient dieser beiden Differenzen ist gerade die Steigung:
    $\frac{-3,25-(-3,5)}{1-2}=\frac{0,25}{-1}=-\frac14$.

    Dies ist auch gerade der Faktor vor dem $x$ in der obigen Gleichung.

  • Bestimme jeweils die Steigung der Geraden.

    Tipps

    Merke dir: Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$.

    Beachte, dass die Reihenfolge auch vertauscht werden kann:

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion könnte auch geschrieben werden als

    $y=b+m\cdot x$.

    Womit muss man einen Term multiplizieren, um den gleichen Term zu erhalten?

    Womit muss man einen Term multiplizeren, um $0$ zu erhalten?

    Lösung

    Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet $y=m\cdot x+b$.

    • Der Faktor $m$ vor der Variablen $x$ ist die Steigung und
    • $b$ der y-Achsenabschnitt.
    Hier geht es um die Steigung:

    Es ist wichtig, die Steigung und den y-Achsenabschnittes zu erkennen, da mittels dieser Größen der Graph einer linearen Funktion gezeichnet werden kann.

    1. $y=2-x$: Hier ist $m=-1$.
    2. $y=-0,5x+4$: Hier ist $m=-0,5$.
    3. $y=2+x$: Hier ist $m=1$.
    4. $y=4$: Hier ist $m=0$.
    5. $y=3-0,3x$: Hier ist $m=-0,3$.

  • Erkläre, wie die Steigung berechnet werden kann.

    Tipps

    Übertrage diese Gerade in ein Koordinatensystem und messe die jeweiligen Längen ab.

    In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Steigung der Quotient aus Gegen- und Ankathete.

    Die Steigung kann natürlich noch gekürzt werden.

    Die Gerade steigt. Das bedeutet, dass $m$ positiv sein muss.

    Lösung

    Die rot eingezeichnete Gerade schneidet die y-Achse in der Höhe $1$, dies ist der y-Achsenabschnitt.

    Die Steigung dieser Gerade lässt sich durch den Quotienten aus

    • der Differenz der y-Werte, dies ist die senkrechte Kathete, und
    • der Differenz der x-Werte, dies ist die waagerechte Kathete,
    berechnen:

    $m=\frac24=\frac12=0,5$.

    Da der y-Achsenabschnitt abgelesen werden kann, ist die Funktionsgleichung gegeben durch

    $y=0,5x+1$.

  • Gib an, welcher Teil der linearen Funktionsgleichung für die Steigung steht.

    Tipps

    Die Steigung ist kein Relationszeichen und kein Operationszeichen.

    $b$ ist der y-Achsenabschnitt.

    Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$ bzw. der Wert, welcher für diese Variable eingesetzt wird.

    Lösung

    Wie sieht die Gleichung einer linearen Funktion aus?

    Eine lineare Funktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der Form $y=m\cdot x+b$ hat.

    Dabei ist

    • $m$ die Steigung,
    • $b$ der y-Achsenabschnitt,
    • $y$ der Funktionswert,
    • $x$ die Variable;
    • $=$ das Relationszeichen und
    • $+$ das Operationszeichen für die Addition.

  • Leite die Steigung der linearen Funktion her, die durch die gegebenen Punkte $P$ und $Q$ verläuft.

    Tipps

    Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem.

    Du erhältst ein Steigungsdreieck.

    Dieses Dreieck ist rechtwinklig. Die Kathetenlängen sind die Differenzen der $x$- sowie $y$-Koordinaten der Punkte.

    Die Steigung in einem rechtwinkligen Dreieck ist gegeben als der Quotient aus Gegen- und Ankathete.

    Bilde die Differenz der $y$- und $x$-Koordinaten der Punkte und danach den Quotienten. Beachte dabei die Reihenfolge. Der Quotient wird auch als Differenzenquotient bezeichnet.

    Lösung

    Um die Steigung einer Gerade zu berechnen, welche durch zwei Punkte gegeben ist, wird die Differenz der $y$-Koordinaten durch die der $x$-Koordinaten dividiert.

    Warum dies so ist, kann man sich an dem Steigungsdreieck, welches in dem Bild zu erkennen ist, klarmachen. Die Steigung ist der Quotient aus der Gegen- und Ankathete. Die Gegenkathete hat als Länge die Differenz der $y$-Koordinaten und die Ankathete die der $x$-Koordinaten.

    Somit ist

    $m=\frac{5-2}{4-3}=\frac31=3$.

    Man hätte sowohl im Zähler als auch im Nenner die Reihenfolge ändern können:

    $m=\frac{2-5}{3-4}=\frac{-3}{-1}=3$;

    dadurch ändert sich die Steigung nicht.

    Der y-Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen eines der beiden Punkte in der Funktionsgleichung $y=3x+b$:

    $\begin{aligned} 2&=3\cdot3+b&|&-9\\ -7&=b \end{aligned}$

    Die Funktionsgleichung lautet also $y=3x-7$.