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Kreuzprodukt – Definition

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Giuliano Murgo
Kreuzprodukt – Definition
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Grundlagen zum Thema Kreuzprodukt – Definition

Kreuzprodukt – Definition

Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, ist eine Rechenoperation, die aus zwei Vektoren einen dritten Vektor berechnet. Dieser neu berechnete Vektor erfüllt bestimmte Eigenschaften.

Das Kreuzprodukt hat als Ergebnis einen Vektor. Daher kommt der Name. Es wird auch als vektorielles Produkt, Vektorprodukt oder äußeres Produkt bezeichnet.

Wir fassen zunächst diese Eigenschaften zusammen, um uns dann mit der Rechenvorschrift und den Rechenregeln für Kreuzprodukte zu beschäftigen.

Wusstest du schon?
Das Kreuzprodukt wird in der Informatik verwendet, um Computergrafiken zu erstellen. Wenn du ein Videospiel spielst, hilft das Kreuzprodukt dabei, die Position und Ausrichtung von Objekten im Raum zu berechnen. Dank dieser mathematischen Operationen wirken Szenen in Videospielen besonders lebendig und realistisch!

Kreuzprodukt – Vektoren

Ein Vektor, zum Beispiel a\vec a, in dem euklidischen Raum R3\mathbb{R}^3 hat drei Koordinaten. Diese Koordinaten werden entweder mit den Indizes 11, 22, 33 oder auch mit xx, yy, zz bezeichnet und spaltenweise aufgeschrieben.

Der Vektor a\vec a sieht im R3\mathbb{R}^3 so aus:

a=(a1a2a3)=(axayaz)\vec a=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_x \\ a_y\\ a_z \end{pmatrix}.

Das Kreuzprodukt ist nur für Vektoren im R3\mathbb{R}^3 definiert.

Kreuzprodukt – Eigenschaften

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} ordnet diesen einen Vektor c\vec{c} zu, der die folgenden Eigenschaften hat:

  1. Der Vektor c\vec{c} steht senkrecht auf den Vektoren a\vec{a} und b\vec{b}:
    cR3 mit ca und cb\vec{c} \in \mathbb{R}^{3} ~ \text{mit} ~ \vec{c} \perp \vec{a} ~ \text{und} ~ \vec{c} \perp \vec{b}
  2. Die Vektoren a\vec{a}, b\vec{b} und c\vec{c} bilden ein Rechtssystem.
  3. Die Länge des Vektors c\vec{c} entspricht der Fläche des von a\vec{a} und b\vec{b} aufgespannten Parallelogramms: c=absin((a,b))| \vec{c} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin (\angle (a,b))

Das Rechtssystem können wir uns folgendermaßen veranschaulichen: Wenn der Daumen der rechten Hand in Richtung des Vektors a\vec{a} zeigt und der Zeigefinger in Richtung des Vektors b\vec{b}, dann zeigt der senkrecht dazu ausgestreckte Mittelfinger in Richtung des Vektors c\vec{c}.

Kreuzprodukt anschaulich

Fehleralarm
Das Kreuzprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. Ein gängiger Fehler ist die Anwendung auf zweidimensionale. Im Zweidimensionalen gibt es jedoch nur das Skalarprodukt.

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Kreuzprodukt – Formel

Das Kreuzprodukt der Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} kann nach folgender Rechenvorschrift berechnet werden:

(a1a2a3)×(b1b2b3)=(a2b3a3b2a3b1a1b3a1b2a2b1)=(c1c2c3) \begin{pmatrix} a_1\\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1\\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}

Wusstest du schon?
Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ– das gilt auch für das Rechnen mit Matrizen. Das bedeutet, dass das Kreuzprodukt von Vektor a\vec{a} mit Vektor b\vec{b} zu einem anderen Ergebnis führt als das Kreuzprodukt von Vektor b\vec{b} mit Vektor a\vec{a} – also:

a×bb×a\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}

Das ist ein wenig wie die Chiralität deiner Hände: Du kannst die linke Hand nicht so drehen, dass sie mit der rechten Hand deckungsgleich wird.

Kreuzprodukt – Herleitung

Die Herleitung des Kreuzprodukts bzw. der Formel zur Berechnung erfolgt anhand der genannten Bedingungen, insbesondere (1) und (3).
Eine vereinfachte Form der Herleitung, die lediglich auf der ersten Eigenschaft des Kreuzprodukts beruht, haben wir an anderer Stelle gezeigt.

Kreuzprodukt – Beispiel

Wir berechnen ein einfaches Beispiel, um die Rechenvorschrift zu üben. Gegeben seien die folgenden Vektoren:

a=(100) und b=(010) \vec{a} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ~ \text{und} ~ \vec{b} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}

Wir wenden auf diese beiden Vektoren die Regel zur Berechnung des Kreuzprodukts an:

(100)×(010)=(000100101100)=(001)=c \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 0 \cdot 1\\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{c}

An diesem Beispiel sehen wir, dass die oben genannten Eigenschaften durch den berechneten Vektor erfüllt sind: Die Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} zeigen gerade in die Richtungen der xx- und yy-Achsen eines dreidimensionalen Koordinatensystems, der Vektor c\vec{c} in Richtung der zz-Achse – sie stehen also alle im rechten Winkel zueinander. Dieses Koordinatensystem ist außerdem ein Rechtssystem. Die Länge des Vektors c\vec{c} beträgt genau 11. Das entspricht der Fläche des von a\vec{a} und b\vec{b} aufgespannten Parallelogramms. Da die Vektoren a\vec{a} und b\vec{b} im rechten Winkel zueinander stehen, spannen sie gerade ein Quadrat mit Seitenlänge 11 auf.

Ausblick – das lernst du nach Kreuzprodukt

Weiter geht es mit Linearkombinationen! Darauf aufbauend führen dich Vektorräume tiefer hinein in die faszinierende Welt der Vektorrechnung. Erfahre, wie das Kreuzprodukt zur Lösung realer Probleme beiträgt. Lerne weiter und erlebe Mathematik hautnah!

Zusammenfassung des Kreuzprodukts

  • Das Kreuzprodukt ist eine Operation mit zwei Vektoren, welche einen dritten Vektor zum Ergebnis hat.
  • Der Ergebnisvektor steht senkrecht auf den beiden Vektoren des Kreuzproduktes.
  • Das Kreuzprodukt gilt nur im R3\mathbb{R}^3.
  • Eine Herleitung der Formel des Kreuzproduktes ist möglich über den Sachverhalt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren null ist, wenn diese senkrecht zueinander stehen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreuzprodukt

8 Kommentare
  1. Crazy 🤪

    Von Jonas, vor 7 Monaten
  2. Kurze Frage von meinen SuS: Wie hast du die Videos aufgenommen?

    Von Miriam Mannino, vor etwa 4 Jahren
  3. Du hast in dem Gleichungssystem nur 2 Gleichungen, aber 3 Variablen. Du kannst hier eine der drei Variablen frei wählen, da du das Gleichungssystem sonst nicht lösen kannst. In dem Fall ist es nicht wichtig, welche der Variablen du wählst. Du kannst dir einfach eine aussuchen. Man hätte also auch n1 oder n2 wählen können. Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Saskia Huebner, vor fast 5 Jahren
  4. Was bedeutet : Die Komponenten des Normalenvektors n1, n2 und n3 erfüllen eine Gleichungssystem mit zwei Gleichungen. ?

    Von Yoon Sojina, vor fast 5 Jahren
  5. Warum ist n3 gleich 1? (at ca. 2:05)

    Von Yoon Sojina, vor fast 5 Jahren
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