Kredit und Tilgung – Übung

Kredit und Tilgung – Übung Übung

• Gib die grundlegenden Formeln der Zinsrechnung an.

  Tipps

  Die Grundformel und die Berechnung des Zinssatzes sind identisch.

  Das Kapitel $K$ und die Jahreszinsen $Z$ können wir jeweils durch Umformung der Grundformel bestimmen.

  Lösung

  Dir Grundformel der Zinsrechnung ist der Quotient aus den Jahreszinsen $Z$ und dem Kapitel $K$. Gleichermaßen berechnen wir den Zinssatz $p~\%$ ($\frac{p}{100}$). Wir benutzen also als Grundformel bzw. für die Berechnung des Zinssatzes die Formel $\frac{Z}{K}=\frac{p}{100}$.

  Das Kapitel $K$ und die Jahreszinsen $Z$ können wir jeweils durch Umformung der Grundformel bestimmen:

  • Kapital $K=\frac{Z \cdot 100}{p}$
  • Jahreszinsen $Z=\frac{p \cdot K}{100}$.

  Der Zinsfaktor $q$ wird durch die Addition des Wertes $1$ zum Zinssatz errechnet und ist durch folgende Formel gegeben: $q=1+\frac{p}{100}$.

  Wenn man die Ratenhöhe in Abhängigkeit von der Laufzeit ausrechnen will, benutzt man folgende Formel: $R=K \cdot q^n \cdot \frac{q-1}{q^n-1}$. Hierbei entspricht n der Laufzeit (in Monaten).

• Bestimme den Tilgungsplan für Frau Klever.

  Tipps

  $Z=\frac{p \cdot K}{100}$

  Um die Tilgung auszurechnen, müssen wir die anfallenden Zinsen von der Rate abziehen.

  Lösung

  Bei der Aufstellung eines Tilgungsplanes geht man schrittweise vor. Wir rechnen Monat für Monat die neue Restschuld aus, indem wir jeweils die anfallenden Zinsen von der monatlichen Rate abziehen und somit die Tilgung für den entsprechenden Monat ausrechnen. Die Tilgung wird dann von der alten Restschuld abgezogen und wir erhalten die neue Restschuld.

  Für den Tilgungsplan von Frau Klever sieht das ganze folgendermaßen aus:

  Gegeben sind folgende Konditionen:

  • Darlehen: $K=100~010,00~€$
  • Monatliche Rate: $R=4~000,00~€$
  • Zinssatz: $p~\%=5~\%$ p.a.

  Die Zinsen für den ersten Monat rechnen wir wie folgt aus:

  $Z=\frac{5 \cdot 100~010~€}{100} \cdot \frac{1}{12}=416,71~€$.

  Die Tilgung ergibt sich durch Rate minus Zinsen:

  $4~000~€-416,71~€=3~583,29~€$.

  Nun ziehen wir diesen Betrag von der alten Restschuld ab und wir erhalten eine neue Restschuld von $96~426,71~€$.

  Diese Rechnungen wiederholen sich für die gesamte Laufzeit. Nur der letzte Monat weicht von dieser Rechnung ab.

  Zunächst rechnen wir wieder die Zinsen nach der bekannten Formel aus. Die Restschuld beträgt vor dem letzten Monat $1~826,35~€$:

  $Z= \frac{5\cdot 1~826,35~€}{100} \cdot \frac{1}{12}=7,61~€$.

  Wenn wir nun die ausgerechneten Zinsen mit der Restschuld (neu) addieren, erhalten wir die letzte Rate:

  $1~826,35~€+7,61~€=1~833,96~€$.

  Und die Tilgung ergibt sich durch Rate minus Zinsen:

  $1~833,96~€-7,61~€=1~826,35~€$.

  Restschuld und Tilgung sind gleich und damit ist das Darlehen abbezahlt.

• Bestimme die Laufzeit der Tilgung, wenn die monatliche Rate $6~000~€$ betrüge.

  Tipps

  Rate minus Zinsen ist gleich Tilgung.

  Um die Laufzeit $t$ in Monaten zu errechnen, teilen wir die Tilgung durch das Darlehen.

  Lösung

  1. Berechnung der monatlichen Zinsen:

  $Z=\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{1}{12}=\frac{5 \cdot 100~010~€}{100} \cdot \frac{1}{12}=416,71~€$.

  2. Berechnung der monatlichen Tilgung:

  Rate minus Zinsen ist gleich Tilgung:

  $6~000~€ - 416,71~€ = 5~583,29~€ \approx 5~583~€$.

  3. Berechnung der Laufzeit $t$ in Monaten:

  Um die Laufzeit $t$ in Monaten zu errechnen, teilen wir die Tilgung durch das Darlehen

  (Hierbei gehen wir davon aus, dass die Tilgung über alle Monate hinweg konstant bleibt, damit wir einfacher rechnen können.):

  $t=\frac{K}{Tilgung}=\frac{100~010~€}{5~584~€}\approx18$.

  4. Antwortsatz:

  Bei einer monatlichen Rate von $6~000~€$ beträgt die Laufzeit $t$ $18$ Monate, um ein Darlehen von $100~010~€$ bei einem Prozentsatz von $5~\%$ zu tilgen.

• Berechne die Ratenhöhe bei gegebener Laufzeit.

  Tipps

  Bsp.:

  • Darlehenshöhe: $K=100~010~€$

  • Laufzeit (in Monaten): $n=13$

  • Zinssatz p.a.: $p~\%=5~\%$

  • Zinsfaktor: $q=1,00417$

  • $R=100~010~€ \cdot 1,00417^{13} \cdot \frac{0,00417}{1,00417^{13} -1} \approx 7~920~€ \approx 8~000~€$

  Lösung

  Um die monatliche Rate bei angegebener Laufzeit zu berechnen, können wir auf folgende Formel zurückgreifen:

  $R=K \cdot q^n \cdot \frac{q-1}{q^n-1}$.

  Dabei gibt K die Darlehenshöhe, q den Zinsfaktor (pro Monat): $q=1+\frac{p}{100 \cdot 12}$ und n die Laufzeithöhe in Monaten an.

  Bezogen auf den Fall von Herrn Müller haben wir folgende Werte:

  $K=500~000~€$

  $q=1,00417$

  $n=20$.

  Diese Werte müssen wir nun noch in die Formel einsetzen und wir erhalten:

  $R=500~000~€ \cdot 1,00417^{20} \cdot \frac{1,00417-1}{1,00417^{20}-1}=47~160~€$.

  Damit Herr Müller sein Darlehen in $20$ Monaten vollständig getilgt hat, muss er also monatlich $47~160~€$ an die Bank zurückzahlen.

• Gib eine geeignete Formel für die Berechnung der Zinsen für $t$ Tage an.

  Tipps

  Im Bankwesen gilt: 1 Jahr = 360 Tage und 1 Monat = 30 Tage.

  $Z=\frac{p \cdot K}{100} \cdot t$

  ist eine geeignete Formel für die Berechnung der Zinsen für $t$ Jahre.

  $Z=\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$

  ist eine geeignete Formel für die Berechnung der Zinsen für $t$ Monate.

  Lösung

  Eine geeignete Formel für die Berechnung der Zinsen für $t$ Tage ist folgende:

  $Z=\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{360}$.

  Im Bankwesen gilt: 1 Jahr = 360 Tage und 1 Monat = 30 Tage.

  Wenn wir die rechte Seite der Formel mit 30 multiplizieren, erhalten wir einen Ausdruck für die Berechnung der Zinsen für $t$ Monate. Multiplizieren wir diesen Ausdruck mit 12, erhalten wir eine Formel für die Berechnung der Zinsen für $t$ Jahre.

• Gib einen Tilgungsplan für Frau Stein an.

  Tipps

  $Z=\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{1}{12}$

  Tilgung = Rate - Zinsen

  Um die neue Restschuld auszurechnen, ziehen wir die Tilgung von der alten Restschuld ab.

  Lösung

  Um die Lücken auszufüllen, müssen wir Monat für Monat zunächst die Zinsen, dann die Tilgung und schließlich die Restschuld ausrechnen.

  Monat 1:

  $Z=\frac{5 \cdot 50~000~€}{100} \cdot \frac{1}{12}=208,39€$

  Tilgung = Rate - Zinsen:

  $2~000~€ - 208,39~€ = 1~791,61~€$.

  Um die neue Restschuld auszurechnen, ziehen wir die Tilgung von der alten Restschuld ab:

  $50~000~€ - 1~791,61~€ = 48~208,39~€$.

  Monat 2:

  $Z=\frac{5 \cdot 48~208,39~€}{100} \cdot \frac{1}{12}=200,87~€$

  Tilgung = Rate - Zinsen:

  $2~000~€ - 200,87~€ = 1~799,13~€$.

  Um die neue Restschuld auszurechnen, ziehen wir die Tilgung von der alten Restschuld ab:

  $48~208,39~€ - 1~799,13~€ = 46~409,26~€$.

  Monat 3:

  $Z=\frac{5 \cdot 46~409,26~€}{100} \cdot \frac{1}{12}=193,37~€$

  Tilgung = Rate - Zinsen:

  $2~000~€ - 193,37~€ = 1~806,63€$.

  Um die neue Restschuld auszurechnen, ziehen wir die Tilgung von der alten Restschuld ab:

  $46~409,26~€ - 1~806,63~€ = 44~602,63~€$.