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Prozentrechnung und Zinsrechnung

Oh je: Prozentrechnung. Oh ja: Prozentrechnung. Damit du wirklich gut klar kommst mit der Prozentrechnung.

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Themenübersicht in Prozentrechnung und Zinsrechnung

Anteile und Brüche in Prozent ausdrücken

Brüche und Dezimalbrüche kennst du bereits:

  • $\frac12$ ist ein Bruch.
  • $\frac 5{10}$ ist ein Dezimalbruch.
  • $0,5$ ist eine Dezimalzahl oder auch Kommazahl.

Wie kannst du nun Anteile und Brüche in Prozent ausdrücken?

Um das zu verstehen, schauen wir uns noch einmal einige Begriffe aus der Prozentrechnung an: Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert.

Betrachte die Formel $\frac{W}{G}=\frac{p}{100}$. Du kannst statt dieser auch $\frac{W}{G}=p\%$ schreiben. Dabei sind:

  • $G$ der Grundwert,
  • $W$ der Prozentwert und
  • $p\%$ der Prozentsatz, wobei $p$ die Prozentzahl ist.

Beispiel: Sind $G=200$ und $W=100$ gegeben, so ergibt sich die Prozentzahl zu $~p=\frac{100}{200}\cdot 100=50$. Der Prozentsatz ist dann $p~\%=50~\%$.

Brüche und Dezimalbrüche in Prozente umwandeln und umgekehrt

Willst du Brüche in Prozente umwandeln, gehst du so vor:

  • Erweitere den Bruch mit $100$ und kürze so, dass im Nenner $100$ steht: $\frac34=\frac{3\cdot \not 100}{\not 4\cdot 100}=\frac{3\cdot 25}{100}=\frac{75}{100}$.
  • Ist dies nicht möglich, kannst du den Bruch zunächst als Kommazahl schreiben $\frac34=0,75$ und dann die resultierende Kommazahl mit $100$ multiplizieren. So erhältst du die Prozentzahl $0,75\cdot 100=75$.
  • Beide Vorgehensweisen liefern den Prozentsatz $p~\%=75~\%$ und die Prozentzahl $p=75$.

Umgekehrt schreibst du einen Prozentsatz so als Bruch $p~\%=\frac{p}{100}$. „Prozent“ steht nämlich für „von Hundert“, also den Anteil an $100$. Den Dezimalbruch $\frac{p}{100}$ kannst du entweder zu einem gemeinen Bruch kürzen oder zum Erhalten einer Dezimalzahl schriftlich dividieren.

Prozentrechnung: Anwendungsaufgaben

Es gibt viele Anwendungsaufgaben zur Prozentrechnung: Paul möchte sich ein neues Fahrrad kaufen, welches $550~€$ kostet. Sein Großvater sagt, dass er ihm $20~\%$ dazu gibt. Paul möchte wissen, welchem Prozentwert dieser Prozentsatz entspricht. Er rechnet $W=\frac{p\cdot G}{100}=\frac{20\cdot550~€}{100}=110~€$.

Zinsrechnung

Eine sehr eigenständige Anwendung der Prozentrechnung ist die Zinsrechnung. Dabei geht es um Geld, welches du zum Beispiel auf ein Sparbuch legst. Du kannst dann berechnen, wie viele Zinsen du für dieses angelegte Geld bekommst. Du rechnest ebenso wie bei der Prozentrechnung. Es gibt bei der Zinsrechnung allerdings eigene Begriffe:

  • Der Grundwert ist in der Zinsrechnung das Kapital $K$ oder das Guthaben oder ein Kredit.
  • Der Prozentwert wird in der Zinsrechnung als Zinsen $Z$ bezeichnet.
  • Der Prozentsatz heißt bei der Zinsrechnung Zinssatz $p$.

Zinsen werden üblicherweise für ein Jahr berechnet. Dies wird mit „p.a.“ für „per annum“ abgekürzt und steht für „pro Jahr“. Du kannst aber auch Tageszinsen und Zinseszinsen berechnen.