Kommutativgesetz und Assoziativgesetz (2)

Hallo! Du kennst das Kommutativgesetz. Es lautet: a+b=b+a. Und du kennst auch das Assoziativgesetz. Das lese ich jetzt nicht alles vor, du siehst es ja hier. Und wenn man es genau nimmt, müsste man sagen: Das ist das Kommutativgesetz der Addition und das ist hier das Assoziativgesetz der Addition, denn es gibt beide Gesetze auch für die Multiplikation. Rein zufällig habe ich die hier mal Liegen. Das ist das Kommutativgesetz für die Multiplikation. Es lautet einfach: a×b=b×a. Und das Assoziativgesetz für die Multiplikation ist hier. Es lautet (a×b)×c=a×(b×c)=a×b×c. Und auch diese Gesetze, diese Formeln, funktionieren wie die Formeln der Addition. Du kannst für die Variablen, also hier für diese Buchstaben, Zahlen einsetzen. Hier, für dieses und dieses a zum Beispiel jeweils die 7. Du kannst auch andere Zahlen nehmen. Es müssen nur gleiche Variablen auch gleiche Zahlen bekommen. Für die beiden b möchte ich jetzt jeweils die 9 einsetzen. Und dann entsteht eine richtige Gleichung, nämlich:7×9=63. 9×7 ist auch 63. Die Gleichung ist richtig. Du kannst hier alle möglichen Zahlen einsetzen für a oder für b. Immer entsteht eine richtige Gleichung. Das Gleiche möchte ich auch noch einmal zeigen beim Assoziativgesetz der Multiplikation. Und zwar können wir einsetzen für a können wir die 2 einsetzen, für b die 3, für c die 8. Warum nicht? Für c die 8, haben wir gesagt, für b die 3, für a die 2. Für b die 3, für c die 8 und für a die 2. Jeweils das a hat die 2, das b hat jeweils die 3 und das c jeweils die 8. Wie muss man jetzt hier rechnen? Das zeige ich eben, wie das geht, in welcher Reihenfolge. Es ist so wie bei dem Assoziativgesetz der Addition auch. Hier rechnet man zunächst die Klammer aus. Es gilt ja, erst Klammern ausrechnen und dann alles andere. Wir rechnen:2×3. Das ist 6. Und rechnen danach:6×8. Das ist 48. Und wir können aber auch das Ganze so ausrechnen: Wir rechnen zunächst 3×8. 3×8=24. Und 2×24 bedeutet ja nichts anderes als 24+24. Und das ist auch 48. Und so sehen wir, dass zunächst mal hier diese Gleichung richtig ist. Dann sagt man sich: Na ja, wenn es sowieso egal ist, wo man die Klammern hinsetzt, dann kann man sie auch gleich weglassen. Wir rechnen einfach: 2×3×8. Und es kommt auch 48 heraus. Dann ändert sich am Ergebnis nichts, wenn man die Klammern einfach weglässt. Das ist unter anderem der Grund dafür, warum es dieses Assoziativgesetz gibt, weil man nämlich die Klammern weglassen kann. Übrigens: Mit dem Kommutativgesetz zusammen folgt aus diesen Gesetzen, dass man Faktoren beliebig vertauschen kann innerhalb eines Produktes. Oder auch, dass man Summanden vertauschen kann. Das folgt dann aus den beiden Gesetzen. Also nicht nur vertauschen, sondern dass man sie in beliebiger Reihenfolge anordnen kann. Da kommt später noch einiges zu. Möchte ich jetzt hier nicht weiter vertiefen. Aber jetzt habe ich hier Platz für eine neue Sache, und zwar für ein Gesetz, das "das Distributivgesetz" heißt. Distributivgesetz deshalb, weil es einen lateinischen Begriff gibt, der so ähnlich lautet und der heißt "verteilen". Deshalb heißt es auch "Verteilungsgesetz". Und das geht so: a×(b+c)=a×b+a×c. Das ist das Distributivgesetz oder auch Verteilungsgesetz. Hier kommen jetzt die Addition und die Multiplikation vor. Es gibt hier noch eine Sache anzumerken, zu diesem Distributivgesetz: Das gibt es nämlich in verschiedenen Versionen. Und zwar gibt es auch: a×(b-c)=a×b-a×c. Es gibt auch noch weitere Versionen davon, nämlich kann die Klammer auch als erstes stehen. Dann könnte man zum Beispiel schreiben: (a+b)×c=a×c+b×c. Und auch das gibt es mit einem Minuszeichen, nämlich: (a-b)×c=a×c-b×c. Damit nicht genug. Es gibt noch die Version hier, dass man da ein Geteiltzeichen hinschreiben kann. Das geht allerdings nicht, wenn man dieses hier verwendet. Dann kann man kein Geteiltzeichen hinschreiben. Deshalb lasse ich das auch ganz weg mit dem Geteiltzeichen. Manche Lehrer verwenden es, manche nicht. Ich habe mich hier entschieden, es nicht zu verwenden. Das ist ein bisschen Geschmackssache, ob man das macht oder nicht. An dem Gesetz selber ändert sich nichts. Später, wenn du die Zahlen besser kennenlernst und wenn du noch mehr Zahlen kennenlernst, wirst du auch feststellen, dass das gar nicht nötig ist.  Es gibt hier noch etwas zu zu sagen, nämlich: Vielleicht sieht es jetzt für dich ein bisschen kompliziert aus, weil es ja quasi gleich 4 Gesetze sind. Aber das kann man auch ein bisschen vereinfachen, nämlich mit einer solchen Schablone. Hier ist sie. Das ist quasi eine Formelschablone und die kann man auch drehen und wenden und vertauschen und sonst was machen. Das möchte ich kurz mal vormachen. Ich fange mal hier mit der unteren Version an. Dann haben wir erst eine Klammer und dann a-b und das ist dann a×c-b×c. Und da kann ich jetzt einfach hier die Buchstaben einsetzen. Auf grün kommt das c hin und auf pink oder lila das a und das b sitzt hier auf gelb. Dann habe ich genau diese Version, die hier steht. Ich kann aber auch ein Pluszeichen hier hinschreiben, dann ist das auch richtig. Die c sind verkehrt herum. So, jetzt ist es aber richtig. Was aber auch möglich ist: Man kann diese Schablone hier umdrehen - übrigens, wenn du auch so eine haben willst, brauchst du nicht selber malen, kannst du dir herunterladen, die ist auf meiner Homepage. Mathematikwerkstatt heißt die Homepage. Da kannst du das einfach herunterladen und für dich verwenden und ausdrucken. Auch das ist möglich, wenn ich jetzt a, b und c einsetze. A, b, c, dann haben wir hier a×(b+c)=a×b+a×c. Wo ist das a geblieben? Das a ist hier, so a×c, da ist es. Dann haben wir hier wieder die obere Version. Und wenn ich jetzt hier das Pluszeichen zu einem Minuszeichen werden lasse, dann gibt es diese Version hier auch. Du kannst aber auch einfach hier Zahlen einsetzen, das Gleiche wie bei den anderen Gesetzen auch. Du kannst zum Beispiel einfach hier für grün die 2 einsetzen, für gelb die 3 und für pink die 4. Warum nicht? Hier ein Pluszeichen vielleicht. Dann muss hier auf grün auch die 2 hin, auf gelb die 3, ein Pluszeichen haben wir hier, auf grün die 2 und auf pink die 4. Auch dann entsteht eine richtige Gleichung. Hierzwischen ist jetzt so ein Gleichheitszeichen. Dann steht hier nämlich: wir müssen zuerst rechnen 3+4, das ist 7. Und 2×7=14. Ebenso gilt:2×3=6. Dann rechnen wir hier weiter, es geht ja Punktrechnung vor Strichrechnung. 2×4=8. Und 6+8=14. Das heißt, bei beiden Termen kommt das gleiche Ergebnis heraus und das ist das Distributivgesetz. Das leistet das Distributivgesetz. Du kannst irgendwelche Zahlen einsetzen, es ist immer richtig. Es kommt immer das Richtige heraus. Das ist quasi der König der Formeln, der Gesetze. Das wird noch häufig vorkommen. Viel Spaß damit. Bis bald. Tschüss.