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Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz 09:57 min

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Transkript Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz

Hallo und herzlich willkommen zu diesem Rechnen-Video. Es geht hier um das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. An Vorkenntnissen solltet ihr die Grundrechenarten beherrschen. Ihr kennt die Punkt-vor-Strich-Regel und ihr könnt mit Klammern rechnen. Das Ziel des Videos ist es, dass ihr die drei Rechengesetze verstehen und anwenden könnt. Der Inhalt des Videos besteht aus folgenden Abschnitten: Erstens: Brauchen wir Rechengesetze. Zweitens: das Kommutativgesetz. Drittens: das Assoziativgesetz. Viertens: das Distributivgesetz. Und fünftens: Und? Erstens: Brauchen wir Rechengesetze? Da ist ja auch schon Fidibus! "Hallo Fidibus!" - "Hallo!" - "Ich denke, man benötigt Rechengesetze." - "Wozu eigentlich? Die sind doch langweilig. Und vielleicht für unsere Lehrerin." Ist das wirklich so? Nunja, wir werden schon sehen. Zweitens: Das Kommutativgesetz. "Fidibus, was hast du denn so im Sommer gemacht?" - "Oh, Fußball gespielt." - "Na, das kostet aber eine Menge Geld." - Na, aber sicher! Ich brauche einen Fußball, Stutzen." - "Na, und sicher eine Turnhose." - "Ja, die auch." - "Hier können wir schon rechnen." - "Wie denn?"  - "Naja, zum Beispiel mit dem Kommutativgesetz." - "Aha." - "Also, den Fußball nehmen wir erst mal weg" - "Aber den möchte ich behalten!" - "Darfst du auch, nur zum Rechnen. Bleiben Stutzen und Turnhose. Wie viel haben die denn gekostet?" - "Die Stutzen 10 Euro, die Turnhose 5 Euro." - "Also 5 Euro + 10 Euro." - "Nein, nein, nein, nein, nein, 10 Euro + 5 Euro!" - "Fidibus" - "Ja" - "Rechne doch mal!" - 5 + 10 sind nhnh, 10 + 5 sind nhnh. Mann!" - "Eben!" - "Das ergibt immer 15 Euro, ob ich so oder so rechne." - "Also können wir oben ein Gleichheitszeichen setzen. Damit haben wir das Kommutativgesetz der Addition." - "Was sagt das?" - "Bei der Addition darf man die Summanden vertauschen." - "Au fein: 5 + 10 = 10 + 5." -"Fein Fidibus! Fidibus?" - "Hmhm? Ja?" - "Wie hast du denn für die Stutzen bezahlt? Mit einem 10 Euro-Schein?" - "Nein, nein, das waren 5 × 2 Euro." - "Also 2 × 5 Euro." - "Nein, nein, nein, nein, nein! Das waren 5 × 2 Euro." - "Na, dann rechne mal!" - "Ja! 2 × 5 hmhm, Mann!" - "Eben!" - Das Ergebnis ist immer 10 Euro!" - "Also: 2 × 5 = 5 × 2. Das ist das Kommutativgesetz der Multiplikation. Bei der Multiplikation darf man die Faktoren vertauschen." Drittens: Das Assoziativgesetz. "Sag mal, Fidibus, wie viel hat denn dein Fußball gekostet?" - "20 Euro!" - "Aha! Und die Stutzen 10 Euro." - "Und die Turnhose 5 Euro" - "Also 20 + 10 + 5. Die Geldscheine müssen wir addieren: 20 + 10 + 5. So, und jetzt setze ich eine Klammer." - "Das stimmt nicht! Ich habe den Fußball zusammen mit den Stutzen gekauft!" - "Na dann, setz doch die Klammern anders!" - "Ist es so richtig?" - "Sehr schön! Und jetzt setzen wir mal gar keine Klammern!" - "Ist denn das wirklich immer gleich?" - "Rechne doch mal!" - "Mann! Das ergibt immer 35 Euro!" - "Das ist das Assoziativgesetz. Beim mehrfachen Addieren darf man Klammern umsetzen oder weglassen. Fidibus, wie viel Restgeld hast du denn noch?" - "Ich hatte 3 × 4 Euro und das zweimal." - "Na, dann setze doch mal die Klammern! Und jetzt werde ich einmal Klammern setzen! Und jetzt setzt ihr Mal gar keine Klammern" - "Ist das nicht falsch?" - "Rechne doch mal!" - "Mann, das ergibt immer 24 Euro!" - "Das ist das Assoziativgesetz der Multiplikation. Beim mehrfachen Multiplizieren darf man Klammern umsetzen oder weglassen." Viertens: das Distributivgesetz. "Fidibus, wie viel Taschengeld hast du denn bekommen?" - "Von Oma 4 Euro, von Opa 3 Euro. Von beiden zweimal." - "Das ergibt eine schöne Gleichung. Links zweimal Oma und Opa und rechts zweimal Oma und zweimal Opa." - "2 × (4 + 3)" - "Und rechts?" - "2 × 4 + 2 × 3. Mann, das ergibt immer 14 Euro." - "Wir schreiben das Gleichheitszeichen. Das ist das Distributivgesetz. Es verbindet die Multiplikation mit der Addition." So, und fünftens: Es bleibt die Frage zu stellen: Und? "Na Fidibus, was haben wir gelernt?" - "Das Kommutativgesetz." - "3 + 4 = 4 + 3. Das Kommutativgesetz der Addition. Oder 3 × 4 = 4 × 3, das Kommutativgesetz der Multiplikation. Man nennt dieses Gesetz auch Vertauschungsgesetz." - " Das Assoziativgesetz." - "Danach kann man Klammern unterschiedlich setzen oder sie weglassen. Das Beispiel gilt für die Addition." - "Für die Multiplikation gilt es aber auch!" - "Richtig, Fidibus! Dieses Gesetz nennt man auch Verbindungsgesetz." - "Das Distributivgesetz" - "Auch Verknüpfungsgesetz genannt. Es verknüpft die Multiplikation mit der Addition. 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Wenn wir nach rechts rechnen, nennt man das auch "Ausmultiplizieren". Rechnen wir nach links, spricht man vom "Ausklammern". Ich denke, alle haben ein Lob verdient. Auch wir, Fidibus." - "Fein" - "So, dann wünsche ich euch alles Gute und viel Erfolg! Tschüss!" - "Tschüss!"

67 Kommentare
  1. 🤩

    Von Catarinaribeiro 81, vor 2 Monaten
  2. Die Erklärung ist super habe alles verstanden

    Von Catarinaribeiro 81, vor 2 Monaten
  3. kommt auf die merkliste

    Von Catarinaribeiro 81, vor 2 Monaten
  4. der geht sonder schule dieser fidibus

    Von Moritz H., vor 3 Monaten
  5. Im happy you a good

    Von Viktor P., vor 6 Monaten
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Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kommutativ-, Assoziativ-, Distributivgesetz kannst du es wiederholen und üben.

  • Verwende das Kommutativgesetz bei den Termen.

    Tipps

    Rechne einmal $5+2$. Was ist das Ergebnis? Was passiert mit dem Ergebnis, wenn du die Summanden vertauscht?

    Bei einer Multiplikation darfst du die Faktoren vertauschen.

    Beim mehrfachen Addieren darfst du auch alle Summanden vertauschen. Prüfe aber, dass du die Summanden nicht doppelt geschrieben hast und auch, dass du keine Zahl vergessen hast.

    Lösung

    Das Kommutativgesetz der Addition besagt, dass du in einer Summe die Summanden vertauschen darfst. Also kannst du schreiben:
    $3 + 4 = 4 + 3=7$.

    Das Kommutativgesetz der Multiplikation besagt, dass du auch die Faktoren vertauschen darfst. Hier das Zahlenbeispiel:
    $4 \cdot 3 = 3 \cdot 4=12$.

    Beim mehrfachen Addieren bzw. Multiplizieren darfst du auch alle Summanden bzw. Faktoren vertauschen. Alle Terme haben das Ergebnis $10$.
    $3 + 5 + 2 = 5 + 3 + 2 = 3 + 2 + 5 = 5 + 2 + 3=10$

  • Ordne die Begriffe und Terme dem entsprechenden Gesetz zu.

    Tipps

    Was sind die Ergebnisse von $2+5$ und $2\cdot 5$ sowie $5+2$ und $5\cdot 2$?

    Die Addition ist die Grundrechenart mit dem Plus $\large{+}$. Die Multiplikation ist die Grundrechenart mit dem Mal $\large{\cdot}$.

    Bei welchem Gesetz werden die Summanden oder Faktoren vertauscht?

    Das Distributivgesetz verknüpft die Multiplikation mit der Addition.

    Lösung

    Die Grundrechenarten bilden die Grundlage der Mathematik. Die korrekte Anwendung der Rechengesetze gehört wie das Lesen und Schreiben zur Grundbildung eines jeden Schülers.

    Das Kommutativgesetz, auch Vertauschungsgesetz genannt, besagt, dass in Summen und Produkten die Reihenfolge der Summanden bzw. der Faktoren keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Demnach gilt: $3 + 4 = 4 + 3$ oder $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$.

    Das Assoziativgesetz, auch Verbindungsgesetz genannt, besagt, dass die Klammern bei Summen und Produkten unterschiedlich gesetzt oder weggelassen werden können, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Demnach gilt: $(3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5)=3+4+5$.

    Das Distributivgesetz, auch Verknüpfungsgestz genannt, verbindet die Multiplikation mit der Addition. Demnach gilt: $3 \cdot (4 + 5) = 3\cdot 4 + 3\cdot 5$.

  • Bestimme die Termumformung unter Anwendung des Kommutativ-, Assoziativ- oder Distributivgesetzes.

    Tipps

    Es ist möglich zwei Gesetze gleichzeitig anzuwenden. Du kannst beispielsweise das Kommunikativgesetz und das Assoziativgesetz anwenden bei $(2\cdot 3) + 4$, indem du die Klammern weglässt und die Faktoren 2 und 3 vertauschst: $(2\cdot3) + 4 = 3\cdot 2 + 4$.

    Beim Kommutativgesetz dürfen Summanden und Faktoren vertauscht werden.

    Das Distributivgesetz verbindet die Multiplikation mit der Addition. Hier ein Beispiel:
    $2\cdot (3+5)=2 \cdot 3 + 2 \cdot 5$.

    Lösung

    Es ist wichtig, dass du dir die Terme genau anschaust. Oft kann es dir zur Kontrolle helfen, beide Seiten auszurechnen und das Ergebnis zu vergleichen.

    Bei dem Beispiel $(1 + 1) + 2=1+1+2 =1+2+1= (1 + 2) +1$ haben wir das Kommutativ- und das Assoziativgesetz angewendet. Wir haben die Reihenfolge der Zahlen vertauscht und die Klammer an eine andere Stelle gesetzt. Du könntest auch die Klammer weglassen oder um den gesamten Term setzen, ohne das Ergebnis zu verändern.

    Beachte jedoch, dass $3(4 + 5) \neq 4(3 + 5)$. Es gibt kein Gesetz, welches diese Umformung zulässt.

    • $3(4 + 5) = 3\cdot 4 + 3 \cdot 5$ (Distributivgesetz) $= 12 + 15 = 27$
    • $4(3 + 5) = 4\cdot 3 + 4 \cdot 5$ (Distributivgesetz) $= 12 + 20 = 32$
    Die anderen Paare ergeben sich so.

    • $3+7+2=2+3+7$ (Kommutativgesetz)
    • $(1+2)+2=1+2+2=1+(2+2)$ (Assoziativgesetz)
    • $(2+2)\cdot 2=2\cdot 2+2\cdot 2$ (Distributivgesetz)
    • $(2\cdot 2)+2=2\cdot2+2=2+2\cdot 2$ (Assoziativ- und Kommutativgesetz)
  • Wende das Kommutativ- und Assoziativ- und Distributivgesetz an.

    Tipps

    Beachte, dass du keinen Term vergisst. Terme können sehr lang werden, entwickle dein eigenes Schema, um nicht den Überblick zu verlieren.

    Verwende das Distributivgesetz. Es verbindet die Multiplikation mit der Addition.

    Lösung

    Der Einfachheit halber schreiben wir ein $*$ statt eines $\cdot$. Hier sind die Termumformungen und die verwendeten Gesetze einmal aufgeschrieben:

    • $2*(4+3) = 2*4 + 2 * 3$ (Distributivgesetz)
    • $2*(2 + 3) + 2 = 2 + 2 * 2 + 2 * 3$ (Kommutativ- und Distributivgesetz)
    • $2*(2 + 3) + (2 * 4) = 4* 2 + 2* 2 + 2 * 3$ (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz)
    • $2*(22 + 11 + 33) + 44 = 2 * 22 + 2*(11 + 33) + 44 = 44 + 2* 22 + 2 *11 + 2 *33$ (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz)

  • Ergänze die Terme unter Anwendung des Kommutativ- und Assoziativgesetzes.

    Tipps

    In einer Multiplikation darfst du die Faktoren vertauschen (Kommutativgesetz), zum Beispiel :

    $8 \cdot 6 = 6 \cdot 8 $

    und

    $\begin{align} 8 \cdot 6 \cdot 3 &= 6 \cdot 8 \cdot 3 \\ &= 6 \cdot 3 \cdot 8 \\ &= 3 \cdot 6 \cdot 8 \\ &= 3 \cdot 8 \cdot 6 \\ &= 8 \cdot 3 \cdot 6 \end{align}$.

    In einer Summe darfst du Klammern beliebig setzen oder weglassen (Assoziativgesetz), zum Beispiel :

    $48 + 3 + 7 = (48 + 3) + 7 = 48 + (3 + 7) $.

    Das kann das Berechnen viel einfacher machen!

    Lösung

    Das Assoziativgesetz besagt, dass du in einer Summe die Klammern beliebig setzen oder weglassen kannst, also:

    $20 + 10 + 5 = 20 + (10 + 5) = (20 + 10) + 5$.

    Das Kommutativgesetz besagt, dass du in einer Multiplikation die Faktoren vertauschen kannst. Also:

    $\begin{align} 2 \cdot 3 \cdot4 &= 2 \cdot 4 \cdot 3 \\ &= 3 \cdot 2 \cdot 4 \\ &= 4 \cdot 3 \cdot 2 \end{align}$

  • Bestimme die Anzahl der Sticker, die Lisa von Ihren Tanten erhält.

    Tipps

    Schreibe dir die Anzahl der Sticker auf ein Blatt Papier auf oder stelle einen passenden Term auf und rechne ihn aus.

    Lisa bekommt zusätzlich jeweils zwei Sticker von Tante Inge und Gisela. Sie bekommt also $2 \cdot 2 $ Sticker zusätzlich.

    Lisa bekommt mehr als $15$ Sticker.

    Lösung

    Um die Anzahl der Sticker zu bestimmen, die Lisa bekommen hat, gehen wir den Text Schritt für Schritt durch, um keinen Sticker zu vergessen.

    Von Tante Inge hat Lisa $2$ Sticker bekommen und von Tante Gisela und von Tante Berta jeweils $2$ Packungen. Die Sticker von Tante Gisela $3$ und Berta $4$ in jeder Packung müssen wir verdoppeln, da sie ja zwei Packungen bekommt. Damit hat Lisa schon: $ 2 + 2\cdot (3 + 4) = 2 + 2\cdot3 + 2\cdot 4 = 2 + 6 + 8 = 16$ Sticker.

    Zusätzlich schenken ihr Tante Inge und Gisela noch jeweils $2$ Blumensticker. Lisa bekommt also $2 \cdot 2 = 4 $ dazu.

    Insgesamt erhält Lisa: $ 2 + 2\cdot (3 + 4) + 2\cdot 2 =16+4= 20$ Sticker.