Klammern auflösen - Distributivgesetz - Begründung 04:24 min
Transkript Klammern auflösen - Distributivgesetz - Begründung
Hallo, wenn du weißt wie das Distributivgesetz aussieht, dann können wir uns jetzt mal überlegen, warum dieses Distributivgesetz gilt. Schauen wir uns zunächst mal an, was es überhaupt zu begründen gibt. Mit dem Distributivgesetz löst man Klammern auf ja, hier ist eine Klammer und da ist sie nicht mehr, deshalb ist sie aufgelöst. Und die Behauptung ist jetzt, wenn wir hier für die Variablen Zahlen einsetzen und hier für a, b und c die gleichen Zahlen einsetzen, dann kommt hier das gleiche Ergebnis heraus wie hier. Und das soll für alle Zahlen gelten. Na, wie können wir das wissen? Wir können das nicht für alle Zahlen ausprobieren, weil es dafür einfach viel zu viele Zahlen gibt. Aber wir können schwarze Punkte auf gelbes Papier malen. Wir haben hier ein Rechteck aus schwarzen Punkten und wir können zum Beispiel hier eine schwarze Linie ziehen. Das wäre auch woanders möglich gewesen, hier oder hier, völlig egal. Wir haben jetzt hier eine bestimmte Anzahl von Zeilen. Und die soll mal a heißen. Wir haben hier eine bestimmte Anzahl von Spalten und die soll b heißen. Und hier haben wir noch eine bestimmte Anzahl von Spalten und diese Anzahl soll c heißen. Das Distributivgesetz zeigt uns jetzt zwei Möglichkeiten, die Anzahl dieser Punkte hier zu zählen. Fangen wir mit der linken Seite an. Wir haben hier die Klammer, die Klammer wird zuerst ausgerechnet. Das heißt wir rechnen b plus c, das sind b Punkte, wir fangen also hier an zu zählen. Und wenn wir dann plus c rechnen zählen wir hier weiter, bis dahin und haben dann b plus c. Das Ganze machen wir a-mal. Also b plus c plus b plus c plus b plus c und weiter, bis wir dann die Anzahl der Punkte haben, also das Ganze a-mal gemacht haben. Auf der Seite gehen wir anders vor. Wir haben hier b Punkte und die addieren wir a-mal. Das heißt, wir rechnen b plus b plus b plus b plus b, bis wir hier unten angekommen sind haben wir dann a-mal b Punkte addiert. Dann haben wir hier diese c Punkte und die addieren wir auch a-mal, bis wir dann hier unten angekommen sind und dann werden beide Ergebnisse addiert. Also letzten Endes zählen wir dann hier entlang, wenn wir da angekommen sind zählen wir hier weiter und addieren die Punkte alle hinzu. Das Distributivgesetz behauptet letzten Endes, wenn wir in der Reihenfolge zählen, also so, kommt das gleiche Ergebnis heraus wie beim Zählen in dieser Reihenfolge, nämlich so. So und jetzt kommt wieder die Frage, gilt das für alle Zahlen. Also, ich würde sagen ja, denn egal wie viele Zeilen hier stehen und egal wie viele Spalten hier stehen, die Reihenfolge des Zählens ändert nichts am Ergebnis. Das ist unser Alltagswissen, das sind wir gewohnt, alles andere wäre jetzt auch eine Überraschung gewesen. Das gilt übrigens auch, falls du jetzt Brüche gehabt hast oder rationale Zahlen, das gilt auch, wenn wir hier, was weiß ich, 42 ein Drittel Zeilen haben oder 13,758 Spalten, dann funktioniert das genauso, das kann man sich alles genauso überlegen, also die Reihenfolge des Zählens ändert nichts am Ergebnis und deshalb können wir mit diesem Distributivgesetz hier weiterhin vernünftig Mathematik machen. Viel Spaß damit, tschüss.
Videobeschreibung
Das Distributivgesetz lautet: a(b+c)=ab+a*c. Es beschreibt, wie wir mit Klammern rechnen. Wir können uns überlegen, warum dieses Gesetz gilt. Das Distributivgesetz sagt letztlich nur, dass wir eine Menge von Dingen auf zwei unterschiedliche Weisen abzählen können. Im Video sehen wir uns das mit einer Menge von schwarzen Punkten an. Da die Anzahl von Dingen aber ohnehin unabhängig von der Reihenfolge des Zählens ist, ist das Distributivgesetz für uns keine Überraschung.
Der Tutor:
Mathematik / mathematische Logik
Klammern auflösen - Distributivgesetz - Begründung
Klammern auflösen - Distributivgesetz - Begründung Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Klammern auflösen - Distributivgesetz - Begründung kannst du es wiederholen und üben.
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Ergänze die Erklärung zum Distributivgesetz.
Tipps
Schaue dir dieses Beispiel für das Distributivgesetz an:
$3(4+2)=3\cdot 4+3 \cdot 2$.
Man multipliziert also den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer und addiert schließlich die Produkte.
Du kannst auch umgekehrt gemeinsame Faktoren ausklammern:
$3x+4x=(3+4)x=7x$.
Lösung
Das Distributivgesetz lautet
$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Mit diesem Gesetz kann man Klammern auflösen.
Wenn auf der linken und rechten Seite für die Variablen $a$, $b$ und $c$ Zahlen einsetzt, muss auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche stehen.
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Beschreibe das Distributivgesetz anschaulich.
Tipps
Es ist egal, wie du die Kreise zählst, du erhältst jedes Mal die gleiche Anzahl.
Hier siehst du das Distributivgesetz.
Der eine Weg, die Anzahl der Kreise zu zählen, führt zu der linken Seite des Distributivgesetzes und der andere zu der rechten Seite.
Lösung
Schauen wir uns zunächst die Anzahl der Kreise von links nach rechts in einer Zeile an. Diese ist $b+c$.
Da es insgesamt $a$ Zeilen mit $b+c$ Kreisen gibt, führt dies zu $a\cdot(b+c)$. Dies ist die Gesamtzahl der Kreise.
Man kann ebenso zunächst die Gesamtzahl der roten Kreise und dann die Gesamtzahl der blauen Kreise bestimmen und diese Anzahlen addieren:
- Es gibt $a\cdot b$ rote Kreise und
- $a\cdot c$ blaue Kreise, also
- zusammen $a\cdot b+a\cdot c$ Kreise.
$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Dies ist das Distributivgesetz.
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Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen.
Tipps
Bei den Beispielen mit Zahlen kannst du die jeweiligen Ergebnisse auch überprüfen.
Du hast zwei Möglichkeiten. Entweder du multiplizierst den Faktor mit jedem Summanden und addierst am Ende diese Produkte oder du berechnest zunächst den Term in der Klammer und multiplizierst diese Summe mit dem Faktor.
- $7\cdot (3+4)=7\cdot 3+7\cdot 4=21+28=49$
- $7\cdot (3+4)= 7 \cdot 7 = 49$
Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz mit einer Variablen:
$3\cdot (y+2)=3y+3\cdot 2=3y+6$.
Lösung
Beim Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ können für $a$, $b$ und $c$ verschiedene Werte oder Variablen eingesetzt werden.
- $4\cdot (2+3)=4\cdot 2+4\cdot 3=8+12=20$
- $5\cdot (1+6)=5\cdot 1+5\cdot 6=5+30=35$
- $2\cdot (x+5)=2x+2\cdot 5=2x+10$
- $3\cdot (z+4)=3z+3\cdot 4=3z+12$
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Ermittle, wie sich mit dem Distributivgesetz das Produkt $(a\pm b)\cdot(c\pm d)$ auflösen lässt.
Tipps
Das Distributivgesetz gilt für alle Zahlen $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$.
Da die Multiplikation kommutativ (vertauschbar) ist, gilt auch
$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.
Beachte: „Minus mal minus gleich plus.“
Lösung
Wenn Summen multipliziert werden, muss das Distributivgesetz mehrmals angewendet werden. Das ist gar nicht viel anders.
Wir behandeln $(a+b)$ einfach wie den Faktor $a$ im „normalen“ Distributivgesetz:
$(a+b)\cdot (c+d)=(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d$.
Die Multiplikation ist kommutativ. Das bedeutet, dass die Faktoren – hier $(a+b)$ und $c$ bzw. $d$ – auch vertauscht werden können. Wir wenden dann das Distributivgesetz ein zweites Mal an:
$(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d$.
Übrigens können wir auch das Produkt von Differenzen berechnen:
$\begin{align} (a-b)\cdot (c-d) & = (a-b) \cdot c - (a-b) \cdot d\\ & = a \cdot c - b \cdot c - a \cdot d - (-b) \cdot d\\ & = a\cdot c-b\cdot c-a\cdot d+b\cdot d \end{align}$.
Damit können auch die binomischen Formeln
- $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ sowie
- $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
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Gib das Distributivgesetz an.
Tipps
Schaue dir dieses Beispiel an:
- Einerseits gilt $3\cdot (4+7)=3\cdot 11=33$ und
- andererseits gilt $3\cdot 4+3\cdot 7=12+21=33$.
Hier siehst du ein weiteres Beispiel für das Distributivgesetz.
Lösung
Wenn du einen Faktor $a$ mit einer Summe multiplizierst, kannst du diesen Faktor $a$ auch mit jedem Summanden multiplizieren und die Produkte addieren.
Hier sind ein paar Beispiele zu sehen:
- Einerseits gilt $3\cdot (4+7)=3\cdot 11=33$ und
- andererseits gilt $3\cdot 4+3\cdot 7=12+21=33$.
- $2\cdot (x+2)=2x+2\cdot 2=2x+4$ und
- $x\cdot (y+3)=x\cdot y+3x$.
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Leite die erste binomische Formel für $(a+b)^2$ mit Hilfe des Distributivgesetzes her.
Tipps
Es können auch Summen miteinander multipliziert werden:
$(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d$.
Das Distributivgesetz
$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
gilt auch, wenn für $a$ eine Summe eingesetzt wird.
Es gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation
$ab=ba$.
Lösung
Mit Hilfe des Distributivgesetzes können auch die binomischen Formeln nachgewiesen werden. Es gibt insgesamt drei binomische Formeln.
Die erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$\begin{align} (a+b)^2 & =(a+b)\cdot(a+b)\\ & =a^2+ab+ab+b^2\\ & =a^2+2ab+b^2 \end{align}$
Der Vollständigkeit halber sind hier noch die beiden anderen binomischen Formeln zu sehen.
Die zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
Ebenso kann die zweite binomische Formel nachgewiesen werden:
$\begin{align} (a-b)^2 & =(a-b)\cdot(a-b)\\ & =a^2-ab-ab+b^2\\ & =a^2-2ab+b^2 \end{align}$
Die dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$
Es gilt $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$.
8 Kommentare
Gut erklärt
Hallo Naebischer,
wenn du Probleme beim Lösen der Übungsaufgaben hast, kannst Du Dich an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
Ich kann die Aufgaben leider immer noch nicht lösen...
Danke🙂
echt gut erklärt!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!11
echt super erklärt ich hoffe es hilft mir morgen für die Mathe kA
Tolles Video!!!!
Echt suuuupi erklärt!!!!
;-)
:-)
supiiiii