Klammern auflösen – Distributivgesetz – Begründung

Klammern auflösen – Distributivgesetz – Begründung Übung

• Ergänze die Erklärung zum Distributivgesetz.

  Tipps

  Schaue dir dieses Beispiel für das Distributivgesetz an:

  $3(4+2)=3\cdot 4+3 \cdot 2$.

  Man multipliziert also den Faktor vor der Klammer mit jedem Summanden in der Klammer und addiert schließlich die Produkte.

  Du kannst auch umgekehrt gemeinsame Faktoren ausklammern:

  $3x+4x=(3+4)x=7x$.

  Lösung

  Das Distributivgesetz lautet

  $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Mit diesem Gesetz kann man Klammern auflösen.

  Wenn auf der linken und rechten Seite für die Variablen $a$, $b$ und $c$ Zahlen einsetzt, muss auf beiden Seiten der Gleichung das Gleiche stehen.

• Beschreibe das Distributivgesetz anschaulich.

  Tipps

  Es ist egal, wie du die Kreise zählst, du erhältst jedes Mal die gleiche Anzahl.

  Hier siehst du das Distributivgesetz.

  Der eine Weg, die Anzahl der Kreise zu zählen, führt zu der linken Seite des Distributivgesetzes und der andere zu der rechten Seite.

  Lösung

  Schauen wir uns zunächst die Anzahl der Kreise von links nach rechts in einer Zeile an. Diese ist $b+c$.

  Da es insgesamt $a$ Zeilen mit $b+c$ Kreisen gibt, führt dies zu $a\cdot(b+c)$. Dies ist die Gesamtzahl der Kreise.

  Man kann ebenso zunächst die Gesamtzahl der roten Kreise und dann die Gesamtzahl der blauen Kreise bestimmen und diese Anzahlen addieren:

  • Es gibt $a\cdot b$ rote Kreise und
  • $a\cdot c$ blaue Kreise, also
  • zusammen $a\cdot b+a\cdot c$ Kreise.

  Da die Gesamtzahl der Kreise in beiden Fällen gleich ist, führt dies zu

  $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

  Dies ist das Distributivgesetz.

• Wende das Distributivgesetz an, um die Klammern aufzulösen.

  Tipps

  Bei den Beispielen mit Zahlen kannst du die jeweiligen Ergebnisse auch überprüfen.

  Du hast zwei Möglichkeiten. Entweder du multiplizierst den Faktor mit jedem Summanden und addierst am Ende diese Produkte oder du berechnest zunächst den Term in der Klammer und multiplizierst diese Summe mit dem Faktor.

  1. $7\cdot (3+4)=7\cdot 3+7\cdot 4=21+28=49$
  2. $7\cdot (3+4)= 7 \cdot 7 = 49$

  Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz mit einer Variablen:

  $3\cdot (y+2)=3y+3\cdot 2=3y+6$.

  Lösung

  Beim Distributivgesetz $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ können für $a$, $b$ und $c$ verschiedene Werte oder Variablen eingesetzt werden.

  • $4\cdot (2+3)=4\cdot 2+4\cdot 3=8+12=20$
  • $5\cdot (1+6)=5\cdot 1+5\cdot 6=5+30=35$
  • $2\cdot (x+5)=2x+2\cdot 5=2x+10$
  • $3\cdot (z+4)=3z+3\cdot 4=3z+12$

• Ermittle, wie sich mit dem Distributivgesetz das Produkt $(a\pm b)\cdot(c\pm d)$ auflösen lässt.

  Tipps

  Das Distributivgesetz gilt für alle Zahlen $a$, $b$, $c \in \mathbb{R}$.

  Da die Multiplikation kommutativ (vertauschbar) ist, gilt auch

  $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$.

  Beachte: „Minus mal minus gleich plus.“

  Lösung

  Wenn Summen multipliziert werden, muss das Distributivgesetz mehrmals angewendet werden. Das ist gar nicht viel anders.

  Wir behandeln $(a+b)$ einfach wie den Faktor $a$ im „normalen“ Distributivgesetz:

  $(a+b)\cdot (c+d)=(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d$.

  Die Multiplikation ist kommutativ. Das bedeutet, dass die Faktoren – hier $(a+b)$ und $c$ bzw. $d$ – auch vertauscht werden können. Wir wenden dann das Distributivgesetz ein zweites Mal an:

  $(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d=a\cdot c+b\cdot c+a\cdot d+b\cdot d$.

  Übrigens können wir auch das Produkt von Differenzen berechnen:

  $\begin{align} (a-b)\cdot (c-d) & = (a-b) \cdot c - (a-b) \cdot d\\ & = a \cdot c - b \cdot c - a \cdot d - (-b) \cdot d\\ & = a\cdot c-b\cdot c-a\cdot d+b\cdot d \end{align}$.

  Damit können auch die binomischen Formeln

  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ sowie
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  nachgewiesen werden.

• Gib das Distributivgesetz an.

  Tipps

  Schaue dir dieses Beispiel an:

  • Einerseits gilt $3\cdot (4+7)=3\cdot 11=33$ und
  • andererseits gilt $3\cdot 4+3\cdot 7=12+21=33$.

  Hier siehst du ein weiteres Beispiel für das Distributivgesetz.

  Lösung

  Wenn du einen Faktor $a$ mit einer Summe multiplizierst, kannst du diesen Faktor $a$ auch mit jedem Summanden multiplizieren und die Produkte addieren.

  Hier sind ein paar Beispiele zu sehen:

  • Einerseits gilt $3\cdot (4+7)=3\cdot 11=33$ und
  • andererseits gilt $3\cdot 4+3\cdot 7=12+21=33$.

  Weitere Beispiele sind:

  • $2\cdot (x+2)=2x+2\cdot 2=2x+4$ und
  • $x\cdot (y+3)=x\cdot y+3x$.

• Leite die erste binomische Formel für $(a+b)^2$ mit Hilfe des Distributivgesetzes her.

  Tipps

  Es können auch Summen miteinander multipliziert werden:

  $(a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d$.

  Das Distributivgesetz

  $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

  gilt auch, wenn für $a$ eine Summe eingesetzt wird.

  Es gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation

  $ab=ba$.

  Lösung

  Mit Hilfe des Distributivgesetzes können auch die binomischen Formeln nachgewiesen werden. Es gibt insgesamt drei binomische Formeln.

  Die erste binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

  $\begin{align} (a+b)^2 & =(a+b)\cdot(a+b)\\ & =a^2+ab+ab+b^2\\ & =a^2+2ab+b^2 \end{align}$

  Der Vollständigkeit halber sind hier noch die beiden anderen binomischen Formeln zu sehen.

  Die zweite binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

  Ebenso kann die zweite binomische Formel nachgewiesen werden:

  $\begin{align} (a-b)^2 & =(a-b)\cdot(a-b)\\ & =a^2-ab-ab+b^2\\ & =a^2-2ab+b^2 \end{align}$

  Die dritte binomische Formel: $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Es gilt $(a+b)\cdot (a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$.