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Hypothesentest – Einführung

"Hypothesentests leicht verständlich erklärt" Erfahre, wie ein Hypothesentest funktioniert und wie er zwischen Bananen verschiedener Qualität unterscheiden kann. Verstehe die Begriffe Nullhypothese, kritischer Wert und Irrtumswahrscheinlichkeit. Interessiert? All das und mehr kannst du im folgenden Text entdecken!

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Team Digital
Hypothesentest – Einführung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Hypothesentest – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Hypothesentest – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Bezeichnungen der Größen beim Hypothesentest an.

    Tipps

    Die Nullhypothese besagt, dass die Vermutung über den Wert der Trefferwahrscheinlichkeit gilt.

    Die Alternativhypothese besagt, dass die Nullhypothese nicht gilt.

    Lösung

    Einem Hypothesentest liegt in der Schulmathematik meistens eine Binomialverteilung zugrunde. Diese beruht auf einem Bernoulli-Experiment, also einem Zufallsexperiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit eines der beiden Ergebnisse ist die Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
    $\Rightarrow$ Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt hier $\boldsymbol{p=0,\!72}$.

    Mit einem Hypothesentest wird die Gültigkeit einer Hypothese über diese Trefferwahrscheinlichkeit getestet, also einer Aussage über den Wert von $p$. Das ist die Nullhypothese $H_0$.
    $\Rightarrow$ Die Nullhypothese $H_0$ ist die Aussage $\boldsymbol{H_0}$: $\boldsymbol{p=0,\!72}$.

    Die Alternativhypothese $H_1$ ist die Negation der Nullhypothese $H_0$.
    $\Rightarrow$ Die Alternativhypothese lautet also $\boldsymbol{H_1}$: $\boldsymbol{p\neq 0,\!72}$.

    Bei der Durchführung des Hypothesentests werden Daten erhoben. Der Umfang des Datensatzes heißt Stichprobenumfang $n$.
    $\Rightarrow $ Der Stichprobenumfang beträgt $\boldsymbol{n=100}$.

  • Beschreibe das Vorgehen bei Hypothesentests.

    Tipps

    Die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeiten von Trefferanzahlen bei mehrmaliger Durchführung von Bernoulli-Experimenten.

    Die Nullhypothese beim Werfen einer fairen Münze ist die Annahme $p=0,\!5$.

    Zur Auswertung des Hypothesentests wird die Trefferzahl in einer Stichprobe erhoben.

    Lösung

    Ein Hypothesentest kann verwendet werden, um Zweifel an einer gängigen Annahme zu bestätigen oder auszuräumen. In der Schulmathematik liegt einem Hypothesentest meistens eine Binomialverteilung zugrunde. Getestet wird eine Annahme über den Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $\boldsymbol{p}$ des zugehörigen Bernoulli-Experiments.

    Zur Konstruktion eines Hypothesentests wird zuerst eine sogenannte Nullhypothese $\boldsymbol{H_0}$ benötigt. Dies ist eine Annahme über den Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $p$, zum Beispiel die Annahme $H_0$: $p=0,\!72$. Anhand des Hypothesentests wird diese Annahme bestätigt oder verworfen.

    Der Verdacht, dass die Annahme falsch ist, wird als Alternativhypothese $\boldsymbol{H_1}$ formuliert. In unserem Beispiel ist die Alternativhypothese beispielsweise die Aussage $H_1$: $p \neq 0,\!72$.

    Bei der Durchführung eines Hypothesentests wird eine Stichprobe untersucht. Die Feststellung, ob die Stichprobe zum Annahmebereich oder zum Ablehnungsbereich des Tests gehört, ergibt das Testergebnis.

  • Interpretiere den Hypothesentest auf Basis der Stichprobe.

    Tipps

    Es sind drei Aussagen korrekt.

    Der Ablehnungsbereich besteht aus allen Werten $k$, bei denen die Nullhypothese abgelehnt wird.

    Bei dieser Stichprobe führt ein Wert von $k=85$ zum Ablehnen der Nullhypothese.

    Der Wert $k$ mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist nicht der einzige Wert, für den die Nullhypothese beibehalten wird.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:


    • Bei einem Wert von $k=67$ wird die Nullhypothese verworfen.
    $\Rightarrow$ Denn der Wert $k=67$ liegt im Ablehnungsbereich des Hypothesentests.


    • Bei einem Wert von $k=51$ wird die Nullhypothese beibehalten.
    $\Rightarrow$ Dieser Wert liegt im Annahmebereich $[49,62]$ des Hypothesentests.


    • Die Trefferzahl $k=56$ gehört als Erwartungswert zum Annahmebereich.
    $\Rightarrow$ Die Trefferzahl $k=56$ entspricht genau dem Erwartungswert $\mu = n \cdot p = 80 \cdot 0{,}7 = 56$, um den sich der Annahmebereich erstreckt.



    Folgende Aussagen sind falsch:


    • Ein Wert von $k=56$ bestätigt die Alternativhypothese.
    $\Rightarrow$ Der Wert $k=56$ gehört zum Annahmebereich $[49,62]$, daher wird bei diesem Wert die Nullhypothese bestätigt.


    • Nur dann, wenn $k=56$ ist, wird die Nullhypothese bestätigt.
    $\Rightarrow$ Die Nullhypothese wird durch jeden Wert im Annahmebereich $[49,62]$ bestätigt, also nicht nur durch den Wert $k=56$.
  • Stelle das Vorgehen für einen Hypothesentest bei dieser neuen Studie dar.

    Tipps

    Lege bei einem Hypothesentest immer zuerst die Nullhypothese fest.

    Zur Bestimmung des Annahmebereichs $A$ und des Ablehnungsbereichs $\overline A$ benötigst du die Binomialverteilung.

    Verwerfen oder Behalten der Nullhypothese sind die beiden letzten Schritte des Hypothesentests.

    Lösung

    Zur Durchführung eines Hypothesentests auf Grundlage einer Binomialverteilung benötigst du zuerst eine Nullhypothese $H_0$ über den Wert $p$ der Trefferwahrscheinlichkeit. Die Alternativhypothese $H_1$ ist dann die Negation dieser Annahme. In unserem Beispiel lautet die Nullhypothese $H_0$: $p=0,\!57$ und die Alternativhypothese ${H_1}$: ${p\neq 0,\!57}$.

    Hast du die Hypothesen formuliert, berechnest du die Binomialverteilung mit den Parametern $n$ (Stichprobenumfang) und $p$ (Trefferwahrscheinlichkeit). In dieser Aufgabe ist $p=0,\!57$ und $n=100$.

    Mit dem Histogramm der Binomialverteilung legst du den Annahmebereich $A$ und den Ablehnungsbereich $\overline A$ der Nullhypothese fest. Erst danach nimmst du die Stichprobe und bestimmst die Trefferzahl $x$.

    Du prüfst nun, ob der Treffer der Stichprobe zum Annahmebereich $A$ oder zum Ablehnungsbereich $\overline A$ der Nullhypothese gehört, das heißt, ob $x \in A$ oder $x\in \overline A$ gilt.

    Ist $x \in \overline A$, liegt also die Stichprobe im Ablehnungsbereich der Nullhypothese, wird die Nullhypothese $H_0$ zugunsten der Alternativhypothese $H_1$ verworfen. Andernfalls behältst du die Nullhypothese bei.


    Du erhältst somit folgende korrekte Reihenfolge:

    1) Formuliere Nullhypothese $H_0$: $p=0,\!57$ und Alternativhypothese $H_1$: $p\neq 0,\!57$.

    2) Bestimme die Binomialverteilung mit $n=100$ und $p=0,\!57$.

    3) Lege den Annahmebereich $A$ und den Ablehnungsbereich $\overline A$ fest.

    4) Ziehe eine Stichprobe und ermittle die Trefferzahl $x$.

    5) Überprüfe, ob $x \in A$ oder $x \in \overline A$ gilt, und entscheide entsprechend, die Nullhypothese beizubehalten oder zu verwerfen.

  • Benenne die Bereiche des Hypothesentests im Histogramm.

    Tipps

    Der Erwartungswert der Verteilung gehört zum Annahmebereich.

    Der Ablehnungsbereich besteht aus besonders unwahrscheinlichen Ereignissen.

    Der Annahmebereich liegt in der Mitte des Histogramms.

    Lösung

    Zur Durchführung eines Hypothesentests legt man den Annahmebereich und den Ablehnungsbereich der Nullhypothese fest. Der Ablehnungsbereich kann auch aus mehreren einzelnen Bereichen bestehen.

    Im Histogramm ist der Annahmebereich grün dargestellt. Liegt das Testergebnis in diesem Bereich, gilt die Nullhypothese als bestätigt.
    Der Ablehnungsbereich ist rot dargestellt und besteht hier aus zwei einzelnen Bereichen. Liegt das Testergebnis im Ablehnungsbereich, wird die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese verworfen.

    Im Bild siehst du die korrekt bezeichneten Bereiche.

  • Analysiere die Aussagen zu Hypothesentests.

    Tipps

    Zwei Aussagen sind korrekt.

    Bei einem Hypothesentest bezieht sich die Entscheidung über Bestätigen oder Verwerfen immer auf die Nullhypothese und nicht auf die Alternativhypothese.

    Ein Hypothesentest ist in der Regel nicht symmetrisch.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:


    • Ein Hypothesentest kann Zweifel an der Nullhypothese bestätigen, liefert aber keine hundertprozentige Sicherheit.
    $\Rightarrow$ Denn die ausgeschlossene Hypothese ist nicht unmöglich, sondern nur unwahrscheinlich. Der Test hat (möglichst gering gehaltene) Irrtumswahrscheinlichkeiten.


    • Nur dann, wenn der Hypothesentest Zweifel an der Nullhypothese bestätigt, wird die Nullhypothese verworfen
    $\Rightarrow$ Um sicherzugehen, dass eine bewährte Nullhypothese nicht leichtfertig abgelehnt wird, wird der Test so eingerichtet, dass die Nullhypothese nur dann abgelehnt wird, wenn ihre Wahrheit angesichts der Stichprobe sehr unwahrscheinlich ist.



    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Ein Hypothesentest erlaubt die Entscheidung zwischen drei Alternativen.
    $\Rightarrow$ Der Test erlaubt nur eine Unterscheidung zwischen der Nullhypothese und einer Alternativhypothese.
    Für eine weitere Alternativhypothese wird ein zusätzlicher Test benötigt.


    • Bei einem Hypothesentest wird die Alternativhypothese bestätigt oder verworfen.
    $\Rightarrow$ Die Entscheidungsregel eines Hypothesentests bezieht sich immer auf die Nullhypothese, nicht auf die Alternativhypothese. Soll die Hypothese $H_1$ bestätigt werden, muss sie als neue Nullhypothese eines weiteren Tests angesetzt werden.


    • Bei der Konstruktion eines Hypothesentests kann man Nullhypothese und Alternativhypothese beliebig vertauschen.
    $\Rightarrow$ Der Hypothesentest ist nicht symmetrisch, sondern bezieht sich immer auf die Nullhypothese. Nur diese kann bestätigt oder verworfen werden. Daher dürfen Nullhypothese und Alternativhypothese nicht vertauscht werden.