Hypothesentest – Fehler erster und zweiter Art

"Jeder macht mal Fehler." Den Spruch hast du sicherlich schonmal gehört. Gerade in der Mathematik gehören Fehler zum Lernprozess. Und manche Fehler sind sogar so wichtig, dass sie ihren eigenen Namen bekommen. In diesem Video schauen wir uns mal an, was man unter den "Fehlern erster und zweiter Art beim Hypothesentest" versteht. Wenn wir einen Hypothesentest durchführen, ist es das Ziel, eine klare Entscheidung zu fällen. Und zwar, ob wir die betrachtete Nullhypothese verwerfen oder beibehalten. Dafür führen wir eine "Stichprobe" durch und entscheiden anhand vorher festgelegter Kriterien, ob die Stichprobe zu der Nullhypothese PASST oder nicht. Zu der Grundidee von Hypothesentests ist uns bereits aufgefallen, dass diese mit einer gewissen "Irrtumswahrscheinlichkeit" einhergeht. Und genau hier liegt auch die Quelle für eine gewisse Fehleranfälligkeit. DAS schauen wir uns mal an einem konkreten Beispiel an. Ein bekanntes Medikament weist erfahrungsgemäß eine Wirksamkeit von achtzig Prozent auf. Ein neues, vielversprechendes Medikament soll eine höhere Wirksamkeit haben. Als Nullhypothese zum neuen Medikament wird für p ein Wert von maximal 0,8 angesetzt. Die Alternativhypothese, die ja das Augenmerk darauf legen soll, ob sich die Wirksamkeit verbessert hat, lautet, dass p GRÖẞER als 0,8 ist. Es wird eine Stichprobe mit dem Umfang "n gleich einhundert" durchgeführt. Das passende Histogramm mit p gleich 0,8 sieht dann SO aus. Als Signifikanzniveau werden fünf Prozent angesetzt, wodurch wir diesen Annahme- und diesen Ablehnungsbereich erhalten. Landet unsere Stichprobe im Annahmebereich, bleiben wir bei der Nullhypothese. Landet sie aber im ABLEHNUNGSbereich, gehen wir aufgrund der signifikanten Abweichung davon aus, dass die Nullhypothese NICHT zutrifft und verwerfen sie zu Gunsten der Alternativhypothese. Diese Entscheidung geht immer mit einer gewissen Irrtumswahrscheinlichkeit einher. Denn auch wenn ein Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, ist sein Zustandekommen ja unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, nicht unmöglich. Wenn das Medikament zum Beispiel bei achtundachtzig Testpersonen angeschlagen hat, gehen wir davon aus, dass die Wirksamkeit des neuen Medikaments größer ist als die des alten. Tatsächlich tritt dieses Ergebnis aber auch bei einer zugrundeliegenden Trefferwahrscheinlichkeit von "p gleich 0,8" mit einer Wahrscheinlichkeit von circa 1,3 Prozent ein. Es ist zwar unwahrscheinlich, aber es bleibt ein Restrisiko, eben die Irrtumswahrscheinlichkeit, dass wir das Ergebnis erhalten haben, OBWOHL die Nullhypothese zutrifft. In diesem Fall haben wir also im Vorhinein alles richtig gemacht, alles richtig berechnet und uns an die aufgestellte Entscheidungsregel gehalten und haben TROTZDEM einen Fehler begangen. Wenn das passiert, wir die Nullhypothese also verwerfen, obwohl sie in Wirklichkeit zutrifft, sprechen wir vom Fehler "erster Art", auch "Alpha-Fehler" genannt. Und wo es einen Fehler "erster Art" gibt, da gibt es auch einen Fehler "zweiter Art". Dieser tritt ein, wenn die Nullhypothese NICHT zutrifft, die Stichprobe aber zufälligerweise im Annahmebereich landet und die Nullhypothese daher fälschlicherweise angenommen wird. Der Fehler "zweiter Art" wird auch "Beta-Fehler" genannt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit "Beta" gibt also unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese NICHT zutrifft, an, wie wahrscheinlich es zum fälschlichen Nicht-Ablehnen der Nullhypothese kommt. Hier gibt es aber einen entscheidenden Unterschied zur Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha. Während wir Alpha konkret berechnen können, indem wir die Gesamtwahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches bestimmen, ist die konkrete Berechnung von BETA nicht ohne Weiteres möglich. Da es sich bei der Irrtumswahrscheinlichkeit Beta um eine bedingte Wahrscheinlichkeit handelt, die voraussetzt, dass die Nullhypothese NICHT zutrifft, können wir die angegebene Trefferwahrscheinlichkeit p auch nicht als zugrundeliegenden Wert für unsere Berechnungen nutzen. Die Berechnung von Beta wäre also nur möglich, wenn wir die TATSÄCHLICHE Trefferwahrscheinlichkeit kennen würden. Was wir aber festhalten können, ist, dass die Größe des Ablehnungsbereiches einen direkten Einfluss auf die Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art hat: Während die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha kleiner wird, wenn wir den Ablehnungsbereich verkleinern und die Nullhypothese tatsächlich zutrifft, wird die Irrtumswahrscheinlichkeit Beta, vorausgesetzt die Nullhypothese trifft nicht zu, dadurch größer. Oft kann die tatsächliche Wahrscheinlichkeit des Beta-Fehlers nicht berechnet werden, da die zugrundeliegende Trefferwahrscheinlichkeit p nicht bekannt ist. Eine Option, ihn möglichst klein zu halten, liegt darin, den Umfang der Stichprobe deutlich zu vergrößern. Aber auch ein großer Stichprobenumfang hat seine Nachteile, so ist er zum Beispiel in der Realität häufig mit hohen Kosten verbunden. Wie du siehst, haben Hypothesentests so ihre Tücken. Wir fassen nochmal auf einen Blick zusammen, was schiefgehen kann, und zwar selbst dann, wenn wir alles richtig machen. Bei Hypothesentests kann es zu zwei grundlegenden Fehlern kommen. Um diese schön kompakt in einer Tabelle zusammenfassen zu können, betrachten wir die Situation aus einer "allwissenden Perspektive", tun also so, als ob wir bereits wüssten, ob die Nullhypothese zutrifft oder nicht. Unter der Voraussetzung, dass die Nullhypothese zutrifft, können wir diese entweder annehmen, dann hat alles seine Richtigkeit, oder wir lehnen sie fälschlicherweise ab, da die Stichprobe zufälligerweise in den Ablehnungsbereich fällt. In diesem Fall begehen wir den Fehler "erster Art", den sogenannten "Alpha-Fehler". Trifft die Nullhypothese hingegen in Wirklichkeit nicht zu, begehen wir einen Fehler, wenn wir sie trotzdem beibehalten. Wir sprechen dann vom Fehler "zweiter Art" beziehungsweise dem "Beta-Fehler". Lehnen wir eine falsche Nullhypothese ab, ist die Welt hingegen in Ordnung und der Hypothesentest hat seinen Job gemacht. Fehler gehören also nicht nur zum Leben, sondern insbesondere auch zur Mathematik! Wichtig ist nur, dass wir uns ihnen bewusst sind!