Goldener Schnitt

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Die Autor*innen

Thekla Haemmerling

Goldener Schnitt

lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Goldener Schnitt

Hallo! Hast du schon einmal etwas vom "Goldenen Schnitt" gehört? Der Goldene Schnitt ist ein Verhältnis von Strecken, das für das menschliche Auge besonders ästhetisch wirkt. Du kannst es in der Natur, in der Kunst und Architektur und vielen weiteren Bereichen des Lebens wiederfinden. Dieses Video gibt dir einen Einblick zum Thema "Goldener Schnitt" und zeigt dir, wie du eine Strecke im Goldenen Schnitt teilen kannst. Außerdem erhältst du eine ausführliche Konstruktionsbegründung, also eine Art Beweis des Goldenen Schnittes. Viel Spaß!

Transkript Goldener Schnitt

Hallo! Ich bin Thekla! Heute möchte ich dir einen mathematischen Zusammenhang vorstellen, der sich sowohl in der Natur als auch in der Kunst und im Gebäudebau wieder findet: Den goldenen Schnitt!

Schau dir zum Beispiel mal diese Biene an: Ihr Körper lässt sich in ein kürzeres Stück vorne und ein längeres Stück hinten teilen.

Bei diesem Bild vom Alten Rathaus in Leipzig kannst du sehen, dass der Turm nicht in der Mitte des Gebäudes liegt. Aber er befindet sich an einer besonderen Stelle: Er teilt das Rathaus im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Auch das Geschehen auf vielen Gemälden ist im Verhältnis des goldenen Schnittes angeordnet.

Dieses Verhältnis ist in der Natur und für unser Auge besonders ästhetisch, das heißt ansprechend. Mit dem Goldenen Schnitt bezeichnet man ein ganz bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Strecken a und b.

Nehmen wir als Beispiel das Alte Rathaus in Leipzig. Der Turm teilt das Gebäude in eine längere Strecke a und eine kürzere Strecke b.

Man spricht davon, dass zwei Teilstrecken einer Gesamtstrecke im Verhältnis des Goldnenen Schnittes zueinander liegen, wenn folgende Formel gilt:

a durch b ist gleich a plus b durch a. In Worten bedeutet das: Zwei Teilstrecken a und b einer Strecke s sind dann im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn die längere Strecke a zur Strecke b im gleichen Verhältnis steht wie die Gesamtstrecke a + b zur längeren Strecke a. Lass uns nun selbst mal eine Strecke im Goldenen Schnitt teilen. Dazu zeichnen wir hier eine Strecke s, die ??? cm lang ist. Den Anfangspunkt nennen wir A, den Endpunkt B. Nun zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck ABC, sodass die Strecke BC halb so lang ist, wie die Strecke s. Jetzt legen wir den Zirkel an C an und zeichnen einen Kreis mit dem Radius BC. Der Kreis schneidet die Hypotenuse AC im Punkt P. Anschließend legen wir den Zirkel bei A an und tragen die Länge AP auf der Strecke s bzw AB ab.

Diesen Punkt nennen wir T. Er teilt die Strecke s gleich AB im Goldenen Schnitt! Dass das auch wirklich stimmt, kann man mithilfe des Satzes des Pythagoras begründen. Erinnere dich: Damit eine Seite im Goldenen Schnitt geteilt wird, muss gelten: a durch b gleich a plus b durch a, wobei a und b Teilstrecken der Gesamtstrecke s sind und a die längere von beiden.

Das wollen wir auch hier zeigen. Die Strecke AT nennen wir a, da sie die längere der beiden Teilstrecken ist. TB nennen wir b. Aus unser vorherigen Konstruktion ergibt sich, dass wir auch diese Strecke a und diese Strecke s/2 nennen können. Da die Strecke s und a größer als Null sind, darf ich die Wurzel auf beiden Seiten ziehen. Nach a umgestellt und nach Ausklammern von s. Wir wissen aber auch, das s = a + b gilt. s setzen wir nun in die Gleichung ein. Wenn wir jetzt noch mit dem Kehrwert von multiplizieren und durch a teilen, erhalten wir: Nun formst du die Gleichung in die Form a/b um, indem du beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Bruches multiplizierst und durch b teilst. Wir erweitern den Bruch nun. Dadurch können wir im Zähler die dritte binomische Formel anwenden. Klammern wir zum Schluss noch die 2 aus und kürzen sie. Insgesamt haben wir also gezeigt, dass die Formel ungefähr 1,62 ist. Du kannst also sehen, dass du deine Strecke s tatsächlich im Goldenen Schnitt geteilt hast! Du hast heute ein wunderbares Beispiel dafür kennen gelernt, wie ein mathematischer Zusammenhang - der Goldene Schnitt - Kunst, Architektur und auch die Natur beeinflusst.

Der Goldene Schnitt - das ist Verhältnis von Strecken! Ein Strecke s wird im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die längere Teilstrecke a zur kürzeren Teilstrecke b genauso verhält wie die Gesamtstrecke, also a plus b, zur längeren Teilstrecke a.

Vielleicht bist du ja selbst Künstler oder möchtest gerne Architekt werden. Du wirst sehen, dass dir der Goldene Schnitt dort und auch im alltäglichen Leben häufig begegnen wird - manchmal, ohne dass du es bemerkst!

Ich freue mich auf’s nächste Mal!

Tschüss!

3 Kommentare

3 Kommentare

hehehehehehehehheheheheheheheheheheheheheheheheheheheheh ich haps verstanden

Von Paul, vor 12 Monaten
ICH AUCH NICHT

Von Rotorschlee, vor mehr als 2 Jahren
das Video ist sehr gut und hilfreich, aber ich verstehe den Grund nicht, warum wir die Binomische Formel verwenden

Von Ginny231, vor fast 8 Jahren

Goldener Schnitt Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Goldener Schnitt kannst du es wiederholen und üben.

Vervollständige den Text über den Goldenen Schnitt.

Tipps

Versuche, die Formel einmal selbst in Worte zu fassen.

Die Gesamtstrecke wird durch $s=a+b$ beschrieben, wobei $a$ länger ist als $b$.

Das Verhältnis wird angegeben in "längere Strecke durch kürzere Strecke".

Lösung

Der Turm des Alten Rathauses in Leipzig teilt das Gebäude in einem ganz besonderen Verhältnis. Du kannst erkennen, dass der Rathausturm nicht ganz in der Mitte steht, was auf den Betrachter eine besondere Wirkung hat.
Das Gebäude wird von dem Turm in eine längere Strecke $a$ und eine kürzere Strecke $b$ geteilt. Das Längenverhältnis der beiden Strecken nennt sich Goldener Schnitt.
Die Formel lautet $\frac {a}{b}= \frac{a+b}{a}$.
In Worten bedeutet dies, dass zwei Teilstrecken $a$ und $b$ einer Strecke $s$ dann im Verhältnis des Goldenen Schnittes diese Strecke teilen, wenn die längere Strecke $a$ zur Strecke $b$ im gleichen Verhältnis steht wie die Gesamtstrecke $a+b$ zur längeren Strecke $a$.
Forme die Gleichung schrittweise um, bis du das Verhältnis des Goldenen Schnittes erhältst.

Tipps

Das Verhältnis des Goldenen Schnittes ist $\frac {a+b}{a} = \frac{2}{\sqrt5 -1}$.

Gehe die Rechenschritte selbst einmal auf einem Zettel durch.

Lösung

Eine Strecke $s$ wurde im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt.
Es gilt dabei $ s= a+b$.
Das Dreieck, das du siehst, ist rechtwinklig. Daher gilt der Satz des Pythagoras:
$s^2 + (\frac{s}{2})^2 = (a+ \frac{s}{2})^2$
$\begin{align} s^2 +\frac{s^2}{4}&= (a+ \frac{s}{2})^2 \\ s^2 (1+\frac{1}{4} )&= (a+ \frac{s}{2})^2 \\ s^2 \cdot \frac{5}{4} &= (a+ \frac{s}{2})^2 &|& \sqrt{~} \\ s \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} &=a + \frac{s}{2} &|& -\frac{s}{2} \\ s \cdot \frac{\sqrt5} {2} - \frac{s}{2}& = a \\ s \cdot ( \frac{\sqrt5} {2} - \frac{1}{2} )& = a \\ s \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2} & = a &|& \text{da } s=a+b \\ (a+b) \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2}& = a &|& :a \\ \frac {a+b}{a} \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2}& = 1 \\ \frac {a+b}{a} \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2}& = 1 &|& \cdot \frac{2}{\sqrt5 -1}\\ \frac {a+b}{a} & = \frac{2}{\sqrt5 -1} \end{align}$
Ermittle die fehlende Teilstrecke so, dass sich beide Teilstrecken im Goldenen Schnitt teilen.

Tipps

Achte darauf, die Einheit nicht zu vergessen.

Für eine Strecke $s=a+b$ gilt, sofern sie im Goldenen Schnitt geteilt wird:
$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$
Dabei ist $a$ die längere und $b$ die kürzere Teilstrecke.

Nutze den Ansatz aus dem zweiten Tipp und setze $a=3 ~cm$ ein. Löse dann die sich durch Umstellen ergebende quadratische Gleichung.

Lösung

Für eine Strecke $s=a+b$ gilt, sofern sie im Goldenen Schnitt geteilt wird:
$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$
Dabei ist $a$ die längere und $b$ die kürzere Teilstrecke.
Diesen Ansatz benutzt man, um die Aufgabe zu lösen.
Zuerst setzt man für $a$ die Länge $3$ ein und formt dann zur Normalform einer quadratischen Gleichung um.
$\begin{align} \frac{3}{b} & = \frac {3 + b}{3} &|& \cdot 3 \\ \frac{9}{b} & = 3 +b &|& \cdot b \\ 9 &= 3\cdot b + b^2 &|& - 9 \\ 0 & = b^2 + 3\cdot b - 9 &~& \end{align}$
Nun kann die Gleichung mittels der p-q-Formel oder auch mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden.
$\begin{align} b_{1/2} & = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 - (-9)} \\ & = -1,5 \pm \sqrt{1,5^2 +9} \\ & = -1,5 \pm \sqrt{2,25 +9} \\ & = -1,5 \pm \sqrt{11,25} \end{align}$
Daraus ergeben sich die zwei Lösungen:
$\begin{align} b_1 & =& -1,5 + \sqrt{11,25} \\ b_2 & =& -1,5 - \sqrt{11,25}. \end{align}$
Lösung $b_2 = -1,5 - \sqrt{11,25}$ kann bei dieser Aufgabe außer Acht gelassen werden, da sie negativ ist und Strecken immer positiv sind.
$b_1 = -1,5 + \sqrt{11,25} \approx 1,854$ ist die Lösung der Aufgabe.
Nun fehlt nur noch die Einheit: $b \approx 1,854~cm$.
Machen wir die Probe:
$\begin{align} \frac{3~cm}{1,854 ~cm} & = \frac{3~cm+1,854~cm}{3~cm} \\ 1,618 &= 1,618. \end{align} $
Entscheide, welche Darstellung des Verhältnisses $\Phi$ des Goldenen Schnittes richtig ist.

Tipps

Löse die Gleichung $x^2-x-1=0$ nach $x$ auf.

Es gilt: $x= \sqrt{1+x}$
Versuche nun, einen der oben aufgeführten Wurzelterme aufzustellen.

Lösung

Das Verhältnis $\Phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1,618$ ist Lösung der Gleichung $x^2-x-1=0$.
Löst man diese Gleichung nach $x$ auf, so erhält man:
$x= \sqrt{1+x}$
Setzt man nun für das $x$ im Radikanden wieder $\sqrt{1+x}$ ein, so ergibt sich der Term:
$x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}}$
Es gilt auch $x=\Phi$, da $\Phi$ Lösung der quadratischen Gleichung ist. Somit gilt:
$\Phi = \frac {1}{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1 + ...}}}}}$
Die zweite Lösung ist somit richtig.
Ermittle die Reihenfolge der Schritte, um eine Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes zu teilen.

Tipps

Mache dir noch einmal die gelernten Schritte zum Teilen einer Strecke im Goldenen Schnitt klar.

Bei allen Zeichnungen kannst du erkennen, ob eine andere Zeichnung vorher und nachher kommen müsste.

Die zweite Kathete hat im Vergleich zur längeren Kathete die Länge $\large{\frac s 2}$.

Lösung

Um eine Strecke $s$ im Verhältnis des Goldenen Schnittes zu teilen, zeichnet man zuerst ein rechtwinkliges Dreieck so, dass $s$ die längere Kathete ist und die andere Kathete $\frac{s}{2}$ lang ist.
Dann zeichnet man um den oberen Eckpunkt einen Kreis mit dem Radius $\frac{s}{2}$. Der Kreis schneidet die Hypotenuse, die längste Seite des Dreiecks, in einem Punkt $P$.
Nun setzt man den Zirkel an dem linken Eckpunkt an und zeichnet einen Kreis so, dass er den Punkt $P$ berührt. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Ausgangsstrecke $s$ ist hier mit $T$ bezeichnet.
$T$ teilt die Strecke $s$ im Goldenen Schnitt.
Begründe, weshalb das Seitenverhältnis von Schenkel zu Grundseite des Goldenen Dreiecks der Goldene Schnitt ist.

Tipps

Was gilt für die Innenwinkel eines Dreiecks?

In Dreiecken gilt der Innenwinkelsummensatz $\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

Lösung

Das Goldene Dreieck ist gleichschenklig. Die Winkel zwischen Grundseite und Schenkeln sind $72°$ groß. Dann ist der Winkel zwischen den beiden Schenkeln $36°$ groß.
Es gilt nämlich der Innenwinkelsummensatz: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ bzw. $\gamma = 180° - \alpha - \beta$.
Daraus ergibt sich, dass $\gamma$ hier $36°$ groß ist.
Zeichnet man nun eine Winkelhalbierende des Winkels bei Eckpunkt A, so entsteht ein zum Dreieck ABC ähnliches Dreieck ABD, weil beide Dreiecke gleich große Winkel haben.
Es gilt somit der Ähnlichkeitssatz www.
Für das nun entstandenen Dreieck ABD gilt: $BD = x-g$.
Das Dreieck ADC ist gleichschenklig, da die Winkel bei den Punkten A und C $36°$ groß sind. Deshalb hat die Strecke CD auch die Länge $g$ und die Strecke BD die Länge $x-g$.
Da die Dreiecke ABC und ABD ähnlich zueinander sind, gilt folgendes Seitenverhältnis: $\frac{x}{g} = \frac{g}{x-g}$.
Betrachtet man $x+g$ als eine Strecke, so bildet dieses Verhältnis den Goldenen Schnitt.