Goldener Schnitt

Goldener Schnitt Übung

• Vervollständige den Text über den Goldenen Schnitt.

  Tipps

  Versuche, die Formel einmal selbst in Worte zu fassen.

  Die Gesamtstrecke wird durch $s=a+b$ beschrieben, wobei $a$ länger ist als $b$.

  Das Verhältnis wird angegeben in "längere Strecke durch kürzere Strecke".

  Lösung

  Der Turm des Alten Rathauses in Leipzig teilt das Gebäude in einem ganz besonderen Verhältnis. Du kannst erkennen, dass der Rathausturm nicht ganz in der Mitte steht, was auf den Betrachter eine besondere Wirkung hat.

  Das Gebäude wird von dem Turm in eine längere Strecke $a$ und eine kürzere Strecke $b$ geteilt. Das Längenverhältnis der beiden Strecken nennt sich Goldener Schnitt.

  Die Formel lautet $\frac {a}{b}= \frac{a+b}{a}$.

  In Worten bedeutet dies, dass zwei Teilstrecken $a$ und $b$ einer Strecke $s$ dann im Verhältnis des Goldenen Schnittes diese Strecke teilen, wenn die längere Strecke $a$ zur Strecke $b$ im gleichen Verhältnis steht wie die Gesamtstrecke $a+b$ zur längeren Strecke $a$.

• Forme die Gleichung schrittweise um, bis du das Verhältnis des Goldenen Schnittes erhältst.

  Tipps

  Das Verhältnis des Goldenen Schnittes ist $\frac {a+b}{a} = \frac{2}{\sqrt5 -1}$.

  Gehe die Rechenschritte selbst einmal auf einem Zettel durch.

  Lösung

  Eine Strecke $s$ wurde im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt.

  Es gilt dabei $ s= a+b$.

  Das Dreieck, das du siehst, ist rechtwinklig. Daher gilt der Satz des Pythagoras:

  $s^2 + (\frac{s}{2})^2 = (a+ \frac{s}{2})^2$

  $\begin{align} s^2 +\frac{s^2}{4}&= (a+ \frac{s}{2})^2 \\ s^2 (1+\frac{1}{4} )&= (a+ \frac{s}{2})^2 \\ s^2 \cdot \frac{5}{4} &= (a+ \frac{s}{2})^2 &|& \sqrt{~} \\ s \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} &=a + \frac{s}{2} &|& -\frac{s}{2} \\ s \cdot \frac{\sqrt5} {2} - \frac{s}{2}& = a \\ s \cdot ( \frac{\sqrt5} {2} - \frac{1}{2} )& = a \\ s \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2} & = a &|& \text{da } s=a+b \\ (a+b) \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2}& = a &|& :a \\ \frac {a+b}{a} \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2}& = 1 \\ \frac {a+b}{a} \cdot \frac{\sqrt5 -1} {2}& = 1 &|& \cdot \frac{2}{\sqrt5 -1}\\ \frac {a+b}{a} & = \frac{2}{\sqrt5 -1} \end{align}$

• Ermittle die fehlende Teilstrecke so, dass sich beide Teilstrecken im Goldenen Schnitt teilen.

  Tipps

  Achte darauf, die Einheit nicht zu vergessen.

  Für eine Strecke $s=a+b$ gilt, sofern sie im Goldenen Schnitt geteilt wird:

  $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

  Dabei ist $a$ die längere und $b$ die kürzere Teilstrecke.

  Nutze den Ansatz aus dem zweiten Tipp und setze $a=3 ~cm$ ein. Löse dann die sich durch Umstellen ergebende quadratische Gleichung.

  Lösung

  Für eine Strecke $s=a+b$ gilt, sofern sie im Goldenen Schnitt geteilt wird:

  $\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

  Dabei ist $a$ die längere und $b$ die kürzere Teilstrecke.

  Diesen Ansatz benutzt man, um die Aufgabe zu lösen.

  Zuerst setzt man für $a$ die Länge $3$ ein und formt dann zur Normalform einer quadratischen Gleichung um.

  $\begin{align} \frac{3}{b} & = \frac {3 + b}{3} &|& \cdot 3 \\ \frac{9}{b} & = 3 +b &|& \cdot b \\ 9 &= 3\cdot b + b^2 &|& - 9 \\ 0 & = b^2 + 3\cdot b - 9 &~& \end{align}$

  Nun kann die Gleichung mittels der p-q-Formel oder auch mithilfe der Mitternachtsformel gelöst werden.

  $\begin{align} b_{1/2} & = - \frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 - (-9)} \\ & = -1,5 \pm \sqrt{1,5^2 +9} \\ & = -1,5 \pm \sqrt{2,25 +9} \\ & = -1,5 \pm \sqrt{11,25} \end{align}$

  Daraus ergeben sich die zwei Lösungen:

  $\begin{align} b_1 & =& -1,5 + \sqrt{11,25} \\ b_2 & =& -1,5 - \sqrt{11,25}. \end{align}$

  Lösung $b_2 = -1,5 - \sqrt{11,25}$ kann bei dieser Aufgabe außer Acht gelassen werden, da sie negativ ist und Strecken immer positiv sind.

  $b_1 = -1,5 + \sqrt{11,25} \approx 1,854$ ist die Lösung der Aufgabe.

  Nun fehlt nur noch die Einheit: $b \approx 1,854~cm$.

  Machen wir die Probe:

  $\begin{align} \frac{3~cm}{1,854 ~cm} & = \frac{3~cm+1,854~cm}{3~cm} \\ 1,618 &= 1,618. \end{align} $

• Entscheide, welche Darstellung des Verhältnisses $\Phi$ des Goldenen Schnittes richtig ist.

  Tipps

  Löse die Gleichung $x^2-x-1=0$ nach $x$ auf.

  Es gilt: $x= \sqrt{1+x}$

  Versuche nun, einen der oben aufgeführten Wurzelterme aufzustellen.

  Lösung

  Das Verhältnis $\Phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx 1,618$ ist Lösung der Gleichung $x^2-x-1=0$.

  Löst man diese Gleichung nach $x$ auf, so erhält man:

  $x= \sqrt{1+x}$

  Setzt man nun für das $x$ im Radikanden wieder $\sqrt{1+x}$ ein, so ergibt sich der Term:

  $x=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}}}}$

  Es gilt auch $x=\Phi$, da $\Phi$ Lösung der quadratischen Gleichung ist. Somit gilt:

  $\Phi = \frac {1}{ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1+ \sqrt{1 + ...}}}}}$

  Die zweite Lösung ist somit richtig.

• Ermittle die Reihenfolge der Schritte, um eine Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes zu teilen.

  Tipps

  Mache dir noch einmal die gelernten Schritte zum Teilen einer Strecke im Goldenen Schnitt klar.

  Bei allen Zeichnungen kannst du erkennen, ob eine andere Zeichnung vorher und nachher kommen müsste.

  Die zweite Kathete hat im Vergleich zur längeren Kathete die Länge $\large{\frac s 2}$.

  Lösung

  Um eine Strecke $s$ im Verhältnis des Goldenen Schnittes zu teilen, zeichnet man zuerst ein rechtwinkliges Dreieck so, dass $s$ die längere Kathete ist und die andere Kathete $\frac{s}{2}$ lang ist.

  Dann zeichnet man um den oberen Eckpunkt einen Kreis mit dem Radius $\frac{s}{2}$. Der Kreis schneidet die Hypotenuse, die längste Seite des Dreiecks, in einem Punkt $P$.

  Nun setzt man den Zirkel an dem linken Eckpunkt an und zeichnet einen Kreis so, dass er den Punkt $P$ berührt. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der Ausgangsstrecke $s$ ist hier mit $T$ bezeichnet.

  $T$ teilt die Strecke $s$ im Goldenen Schnitt.

• Begründe, weshalb das Seitenverhältnis von Schenkel zu Grundseite des Goldenen Dreiecks der Goldene Schnitt ist.

  Tipps

  Was gilt für die Innenwinkel eines Dreiecks?

  In Dreiecken gilt der Innenwinkelsummensatz $\alpha + \beta + \gamma = 180°$.

  Lösung

  Das Goldene Dreieck ist gleichschenklig. Die Winkel zwischen Grundseite und Schenkeln sind $72°$ groß. Dann ist der Winkel zwischen den beiden Schenkeln $36°$ groß.

  Es gilt nämlich der Innenwinkelsummensatz: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ bzw. $\gamma = 180° - \alpha - \beta$.

  Daraus ergibt sich, dass $\gamma$ hier $36°$ groß ist.

  Zeichnet man nun eine Winkelhalbierende des Winkels bei Eckpunkt A, so entsteht ein zum Dreieck ABC ähnliches Dreieck ABD, weil beide Dreiecke gleich große Winkel haben.

  Es gilt somit der Ähnlichkeitssatz www.

  Für das nun entstandenen Dreieck ABD gilt: $BD = x-g$.

  Das Dreieck ADC ist gleichschenklig, da die Winkel bei den Punkten A und C $36°$ groß sind. Deshalb hat die Strecke CD auch die Länge $g$ und die Strecke BD die Länge $x-g$.

  Da die Dreiecke ABC und ABD ähnlich zueinander sind, gilt folgendes Seitenverhältnis: $\frac{x}{g} = \frac{g}{x-g}$.

  Betrachtet man $x+g$ als eine Strecke, so bildet dieses Verhältnis den Goldenen Schnitt.