Gleichsetzungsverfahren – Erklärung

Gleichsetzungsverfahren – Erklärung Übung

• Beschreibe das Vorgehen beim Lösen eines LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren.

  Tipps

  Hier siehst du den ersten Schritt beim Anwenden des Gleichsetzungsverfahrens.

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} 2x+y &=& 3 \\ 3x+y &=& 4 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -2x \\ \vert -3x \\ \end{matrix} \end{array}$

  Hier kannst du die rechten Seiten der Gleichungen gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach $x$ auflösen.

  $\left| \begin{matrix} y &=& 3-2x \\ y &=& 4-3x \\ \end{matrix} \right| $

  Lösung

  An folgendem Beispiel üben wir nun die Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens:

  $\left| \begin{matrix} 2x+y &=& 3 \\ 3x+y &=& 4 \\ \end{matrix} \right|$

  Schritt 1

  Wir lösen beide Gleichungen jeweils nach derselben Variablen auf:

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} 2x+y &=& 3 \\ 3x+y &=& 4 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -2x \\ \vert -3x \\ \end{matrix} \end{array}$

  Wir erhalten:

  $\left| \begin{matrix} y &=& 3-2x \\ y &=& 4-3x \\ \end{matrix} \right| $

  Schritt 2

  Wir setzen die beiden Beziehungen für diese Variable gleich.

  $3-2x=4-3x$

  Schritt 3

  Die so erhaltene Gleichung stellen wir nach der einen noch enthaltenen Variablen um.

  $\begin{array}{llll} 3-2x &=& 4-3x & \vert +3x \\ 3+x &=& 4 & \vert -3 \\ x &=& 1 & \end{array}$

  Schritt 4

  Wir setzen die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und berechnen so die andere Variable.

  $y=3-2\cdot 1=1$

  Auch die andere Gleichung liefert diese Lösung:

  $y=4-3\cdot 1=1$

  Schritt 5

  Wir geben nun die Lösungsmenge an.

  $\mathbb{L}=\{(1;1)\}$

• Berechne die Unbekannten des linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Du erkennst an der nächsten Zeile einer Gleichungsumstellung, was du hinter den Strich in der Zeile davor schreiben musst.

  Du gibst die Lösungsmenge wie folgt an:

  • $\mathbb{L}\{(x;y)\}$

  Lösung

  Wir betrachten folgendes lineare Gleichungssystem:

  $\left| \begin{matrix} 2x-y &=& 5 \\ -x+y &=& -2 \\ \end{matrix} \right| $

  Schritt 1

  Wir lösen beide Gleichungen jeweils nach derselben Variablen auf:

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} 2x-y &=& 5 \\ -x+y &=& -2 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert - 2x \\ \vert + x \\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} -y &=& -2x+5 \\ y &=& x-2 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert \cdot (-1) \\ \\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\left| \begin{matrix} y &=& 2x-5 \\ y &=& x-2 \\ \end{matrix} \right| \\$

  Schritt 2

  Wir setzen die beiden Beziehungen für diese Variable gleich. Die so erhaltene Gleichung stellen wir nach der einen noch enthaltenen Variablen um.

  $\begin{array}{llll} 2x-5 &=& x-2 & \vert - x \\ x-5 &=& -2 & \vert + 5 \\ x &=& 3 & \\ \end{array}$

  Schritt 3

  Wir setzen die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und berechnen so die andere Variable.

  $y=2\cdot 3-5=1$

  Schritt 4

  Wir geben nun die Lösungsmenge an.

  $\mathbb{L}=\{ (3;1) \}$

• Ermittle die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme mittels Anwendung des Gleichsetzungsverfahrens.

  Tipps

  Stelle die Gleichungen zunächst nach derselben Variablen um. Setze dann die beiden Beziehungen, die du für diese Variable erhältst, gleich.

  In die Lösungsmenge trägst du erst den $x$- dann den $y$-Wert ein.

  Sie dir folgendes Beispiel an:

  Wir stellen die Gleichungen jeweils nach $y$ um:

  $\begin{array}{lll} & \left| \begin{matrix} -2x+y &=& -1 \\ x+y &=& 2 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert +2x \\ \vert -x \\ \end{matrix} \\ \\ \Leftrightarrow & \left| \begin{matrix} y &=& 2x-1 \\ y &=& -x+2 \\ \end{matrix} \right| & \end{array}$

  Nun setzen wir die Beziehungen für $y$ gleich:

  $\begin{array}{llll} 2x-1 &=& -x+2 & \vert +x \\ 3x-1 &=& 2 & \vert +1 \\ 3x &=& 3 & \vert :3 \\ x &=& 1 & \end{array}$

  Nun können wir $x=1$ in eine der Gleichungen einsetzen und $y$ berechnen.

  Lösung

  Wir lösen die beiden linearen Gleichungssysteme wie folgt:

  Lineares Gleichungssystem 1

  Schritt 1: Wir lösen beide Gleichungen jeweils nach derselben Variablen auf.

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} x+13 &=& 7y \\ x+4y &=& 20 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -13 \\ \vert -4y\\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\left| \begin{matrix} x &=& 7y-13 \\ x &=& 20-4y \\ \end{matrix} \right| $

  Schritt 2: Wir setzen die beiden Beziehungen für diese Variable gleich.

  $\begin{array}{llll} 7y-13 &=& 20-4y & \vert +4y \\ 11y-13 &=& 20 & \vert +13 \\ 11y &=& 33 & \vert :11 \\ y &=& 3 & \end{array}$

  Schritt 4: Wir setzen die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und berechnen so die andere Variable.

  $x = 7y - 13 = 7\cdot 3 - 13 = 8$

  Schritt 5: Wir geben nun die Lösungsmenge an.

  $\mathbb{L}=\{(8;3)\}$

  Lineares Gleichungssystem 2

  Schritt 1: Wir lösen beide Gleichungen jeweils nach derselben Variablen auf.

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} x+y &=& 5y-19 \\ 2x+4y &=& 34 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -y \\ \vert -4y\\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} x &=& 4y-19 \\ 2x&=& 34-4y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \\ \vert :2 \\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\left| \begin{matrix} x &=& 4y-19 \\ x &=& 17-2y \\ \end{matrix} \right| $

  Schritt 2: Wir setzen die beiden Beziehungen für diese Variable gleich.

  $\begin{array}{llll} 4y-19 &=& 17-2y & \vert +2y \\ 6y-19 &=& 17 & \vert +19 \\ 6y &=& 36 & \vert :6 \\ y &=& 6 & \end{array}$

  Schritt 4: Wir setzen die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und berechnen so die andere Variable.

  $x = 4y - 19 = 4\cdot 6 - 19 = 24 - 19 = 5$

  Schritt 5: Wir geben nun die Lösungsmenge an.

  $\mathbb{L}=\{(5;6)\}$

• Bestimme die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme.

  Tipps

  Gehe wie folgt vor:

  1. Löse beide Gleichungen jeweils nach derselben Variablen auf.
  2. Setze die beiden Beziehungen für diese Variable gleich.
  3. Stelle die so erhaltene Gleichung nach der einen noch enthaltenen Variablen um.
  4. Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und berechne so die andere Variable.
  5. Gib nun die Lösungsmenge an.

  Es gilt: $~a(b+c)=ab+ac$

  Lösung

  Wir betrachten das Vorgehen am Beispiel des ersten linearen Gleichungssystems. Genauso gehst du auch bei den übrigen LGS vor.

  Schritt 1: Löse beide Gleichungen jeweils nach derselben Variablen auf.

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} x+3y &=& 18 \\ 3x+6y &=& 39 \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \vert -3y \\ \vert -6y \\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\begin{array}{ll} \left| \begin{matrix} x &=& 18-3y \\ 3x &=& 39-6y \\ \end{matrix} \right| & \begin{matrix} \\ \vert :3 \\ \end{matrix} \\ \\ \end{array}$

  $\left| \begin{matrix} x &=& 18-3y \\ x &=& 13-2y \\ \end{matrix} \right|$

  Schritt 2: Setze die beiden Beziehungen für diese Variable gleich und stelle die so erhaltene Gleichung nach der einen noch enthaltenen Variablen um.

  $\begin{array}{llll} 18-3y &=& 13-2y & \vert +3y \\ 18 &=& 13+y & \vert -13 \\ 5 &=& y & \end{array}$

  Schritt 3: Setze die Lösung in eine der umgeformten Gleichungen aus dem ersten Schritt ein und berechne so die andere Variable.

  $x = 18-3y = 18-3\cdot 5=18-15 = 3$

  Schritt 4: Gib nun die Lösungsmenge an.

  $\mathbb{L}=\{(3;5)\}$

  Auf diese Weise erhalten wir auch die Lösungen der übrigen linearen Gleichungssysteme. Diese kannst du wie folgt zuordnen:

  Die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(2;3)\}$ erfüllt das folgende Gleichungssystem:

  $\left| \begin{matrix} 3x+6y &=& 24 \\ x+2y &=& 10-x \\ \end{matrix} \right|$

  Die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(6;2)\}$ können wir folgendem Gleichungssystem zuordnen:

  $\left| \begin{matrix} 2x+y &=& 14 \\ x+2y &=& 10 \\ \end{matrix} \right|$

  Die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{(4;3)\}$ erfüllt das Gleichungssystem:

  $\left| \begin{matrix} 2(x+y) &=& 14 \\ x+y &=& 10 - y \\ \end{matrix} \right|$

• Zeige mit Hilfe der Probe auf, dass die Lösungsmenge das lineare Gleichungssystem erfüllt.

  Tipps

  Setze den $x$-Wert der Lösungsmenge an Stelle $x$ und den $y$-Wert an Stelle $y$ der Gleichungen ein.

  Die Lösungsmenge gibst du wie folgt an: $~\mathbb{L}=\{(x;y)\}$

  Also ist der erste Wert der $x$-Wert und der zweite der $y$-Wert.

  Lösung

  Wir setzen den $x$-Wert der Lösungsmenge an Stelle $x$ und den $y$-Wert der Lösungsmenge an Stelle $y$ der Gleichungen ein. Wir beginnen mit der ersten Gleichung $ 2x-y = 5$ und erhalten mit $\mathbb{L}=\{(x;y)\}=\{(3;1)\}$ folgende Rechnung:

  • $2\cdot 3-1=5$

  Diese Gleichung wird also schon mal erfüllt. Nun überprüfen wir die zweite Gleichung $-x+y = -2$ und erhalten:

  • $-3+1 = -2$

  Auch für diese Gleichung ist die Lösungsmenge korrekt. Damit erfüllt diese Lösungsmenge das lineare Gleichungssystem.

• Erschließe die Lösungsmenge des gegebenen linearen Gleichungssystems.

  Tipps

  Wende das Distributivgesetz an, um die linke und rechte Seite der Gleichungen so weit wie möglich zu vereinfachen. Dieses lautet:

  $a(b+c)=ab+ac$

  Stelle dann die Gleichungen je nach derselben Variablen um.

  Das quadratische Glied hebt sich beim Umstellen der Gleichung auf.

  Lösung

  Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass es sich bei der ersten Gleichung um eine quadratische Gleichung handelt. Allerdings lässt sich die Gleichung vereinfachen. Nach der Vereinfachung erkennt man, dass es sich hierbei um eine lineare Gleichung handelt. Lass uns die erste Gleichung gemeinsam vereinfachen und nach $y$ auflösen:

  $ \begin{array}{rcll} 2x(3x-4)+5y &=& 6x^2+2x-2(6y-2) & \\ 6x^2-8x+5y &=& 6x^2+2x-12y+4 & \vert -6x^2 \\ -8x+5y &=& 2x-12y+4 & \vert +8x \\ 5y &=& 10x-12y+4 & \vert +12y \\ 17y &=& 10x+4 & \vert :17 \\ y &=& \dfrac{10}{17}x+\dfrac{4}{17} & \end{array} $

  Jetzt vereinfachen wir die zweite Gleichung und stellen auch diese nach $y$ um:

  $ \begin{array}{rcll} 5(x-y) &=& 3(y+2)-(4+x) & \\ 5x-5y &=& 3y+6-4-x & \\ 5x-5y &=& 3y+2-x & \vert -5x \\ -5y &=& 3y+2-6x & \vert -3y \\ -8y &=& 2-6x & \vert :(-8) \\ y &=& -\dfrac 14+\dfrac 34x & \end{array} $

  Nun setzen wir die rechten Seiten der erhaltenen Gleichungen gleich:

  $ \begin{array}{rcll} \frac{10}{17}x+\frac{4}{17} &=& -\frac 14+\frac 34x & \vert \cdot 17 \vert \cdot 4\\ 40x+16 &=& -17+51x & \vert -40x \\ 16 &=& -17+11x & \vert +17 \\ 33 &=& 11x & \vert :11 \\ 3 &=& x & \\ \end{array}$

  Diesen $x$-Wert setzen wir nun in eine der nach $y$ aufgelösten Gleichungen ein:

  $y = -\dfrac 14+\dfrac 34\cdot 3 = -\dfrac 14+\dfrac 94 = \dfrac 84 = 2$