Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen

Ganzrationale und gebrochenrationale Funktionen – Verhalten im Unendlichen Übung

• Gib an, wie der Grenzwert von ganzrationalen Funktionen bestimmt werden kann.

  Tipps

  Beachte, dass $\lim\limits_{x\to\infty} x^n=\infty$ für alle $n\in\mathbb{N}$ gilt.

  Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{Z}{x^n}=0$ mit $n\in\mathbb{N}$ und $Z\in\mathbb{R}$.

  Wenn ein Faktor gegen eine feste Zahl und der andere gegen $\infty$ strebt, dann strebt das Produkt gegen $\infty$.

  Lösung

  Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-5x^3+7x^2-8x+9$. Wenn du die einzelnen Grenzwerte $\lim\limits_{x\to\infty}$ der Potenzen betrachtest, stellst du fest, dass sowohl $+\infty$ als auch $-\infty$ dabei herauskommt. Du kannst so also nicht entscheiden, wogegen die ganzrationale Funktion strebt.

  Ein möglicher Trick ist es nun, die Potenz mit dem höchsten Exponenten auszuklammern. Du erhältst:

  $f(x)=x^4\cdot\left(1-\frac5x+\frac7{x^2}-\frac8{x^3}+\frac9{x^4}\right)$

  Schau dir nun zunächst den Grenzwert für den Term in der Klammer an:

  $\lim\limits_{x\to \infty}\left(1-\frac5x+\frac7{x^2}-\frac8{x^3}+\frac9{x^4}\right)=1-0+0-0+0=1$

  Warum ist das so? Wenn du eine feste Zahl durch eine Potenz in $x$ dividierest, geht der resultierende Term gegen $0$, wenn $x$ gegen $\infty$ geht.

  Da $\lim\limits_{x\to\infty} x^4 = \infty$ gilt, erhältst du auch insgesamt:

  $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$

  Aus diesem Ergebnis kannst du die Erkenntnis ziehen, dass bei ganzrationalen Funktionen der Summand mit dem größten Exponenten ausschlaggebend ist, wenn es um das Verhalten im Unendlichen geht.

• Fasse die Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen in einer Tabelle zusammen.

  Tipps

  Schau dir das Beispiel $f(x)=x^2$ an. Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Parabel.

  • Wenn du eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenzierst, ist das Ergebnis positiv.
  • Wenn du eine negative Zahl mit einem ungeraden Exponenten potenzierst, ist das Ergebnis negativ.

  Hier siehst du zum Beispiel den Funktionsgraphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^3$. Der größte (und einzige) Exponent ist ungerade.

  Beim geraden höchsten Exponenten stimmen die Grenzwerte für $x\to\infty$ und $x\to-\infty$ überein. Beim ungeraden höchsten Exponenten ändert sich das Verhalten.

  Lösung

  Hier siehst du die komplette Tabelle. Schreibe dir diese auf, dann kannst du die Grenzwerte immer direkt angeben.

  Ganzrationale Funktionen streben für $x\to\infty$ beziehungsweise $x\to-\infty$ immer gegen $+\infty$ oder $-\infty$.

  Du musst also jeweils entscheiden, welches Vorzeichen der Grenzwert hat. Dies hängt vom höchsten Exponenten sowie dem höchsten Koeffizienten ab.

  Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion siehst du hier:

  $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_2x^2+a_1x+a_0$

  Der höchste Exponent ist $n$ und der Koeffizient der größten Potenz ist $a_n$. Es muss $a_n\neq 0$ gelten.

  Du kannst nun die folgenden zwei Fälle (mit je zwei Fällen) unterscheiden:

  Exponent in der höchsten Potenz gerade

  Da eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert eine positive Zahl ergibt, folgt:

  • $a_n>0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$
  • $a_n<0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$

  Exponent in der höchsten Potenz ungerade

  Da eine negative Zahl mit einem geraden Exponenten potenziert eine negative Zahl ergibt, folgt:

  • $a_n>0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
  • $a_n<0$: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ sowie $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$

• Beschreibe, wie der Grenzwert einer gebrochenrationalen Funktion bestimmt wird.

  Tipps

  Beachte, dass $\dfrac1{x^n}$ für $x\to\pm\infty$ gegen $0$ geht. Dabei ist der Exponent $n\in\mathbb{N}$.

  Schau dir ein Beispiel für übereinstimmende höchste Potenzen an:

  $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{2x^2}{3x^2}=\frac{2}{3}$

  Zum Beispiel geht $f(x)=\dfrac{x^3+1}{-x+2}$ für $x\to \infty$ gegen $-\infty$.

  Lösung

  Betrachte die gebrochenrationale Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung:

  $f(x)=\frac{x^3-2x^2+1000}{x^5-6x+1}$

  Du siehst, dass für $x\to\infty$ sowohl der Term im Zähler als auch der im Nenner gegen $\infty$ geht. Du kannst also die Grenzwertsätze zur Berechnung des Grenzwertes von Quotienten nicht anwenden.

  Wenn du nun sowohl im Zählerterm als auch im Nennerterm $x^3$, also die kleinere der beiden jeweiligen größten Potenzen, ausklammerst, erhältst du:

  $f(x)=\dfrac{x^3\cdot\left(1-\frac2x+\frac{1000}{x^3}\right)}{x^3\cdot\left(x^2-\frac6{x^2}+\frac1{x^3}\right)}$

  Du kannst die Potenz $x^3$ nun kürzen und kommst so zu:

  $f(x)=\dfrac{1-\frac2x+\frac{1000}{x^3}}{x^2-\frac6{x^2}+\frac1{x^3} }$

  Für $x\to\infty$ geht der Term im Zähler gegen $1$ und der im Nenner gegen $\infty$. Insgesamt gilt also:

  $\lim\limits_{x\to\infty}=0$

  In diesem Beispiel ist die höchste Potenz im Zählerterm $(x^3)$ kleiner als die im Nennerterm $(x^5)$.

  Du kannst ganz allgemein drei Fälle unterscheiden. Hierfür schauen wir uns eine allgemeine gebrochenrationale Funktion $f$ an:

  $f(x)=\dfrac{a_nx^n+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+...+b_1x+b_0}$

  Dabei muss sowohl $a_n\neq 0$ als auch $b_m\neq0$ gelten.

  Erster Fall: Die höchste Potenz im Zählerterm ist kleiner als die im Nennerterm (also $n<m$). Dann gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$.

  Zweiter Fall: Die höchste Potenz im Zählerterm ist gleich der im Nennerterm (also $n=m$). Dann gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{a_n}{b_m}$, der Quotient der beiden höchsten Koeffizienten.

  Dritter Fall: Die höchste Potenz im Zählerterm ist größer als die im Nennerterm (also $n>m$). Dann gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty$.

  Wie kommst du zu dem Vorzeichen? Betrachte die Vorzeichen von $a_n$ sowie $b_m$. Sind beide identisch, ist der Grenzwert $+\infty$ und andernfalls $-\infty$.

• Ermittle jeweils den Grenzwert der Funktion.

  Tipps

  Ganzrationale Funktionen streben für $x\to\infty$ beziehungsweise $x\to-\infty$ immer gegen $+\infty$ oder $-\infty$.

  Die allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion $f$ sei:

  $f(x)=\frac{a_nx^n+...+a_1x+a_0}{b_mx^m+...+b_1x+b_0}$, $a_n\neq 0$ sowie $b_m\neq0$

  Du unterscheidest für das Verhalten im Unendlichen folgende Fälle:

  1. $n<m$, dann gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$
  2. $n=m$, dann gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{a_n}{b_m}$
  3. $n>m$, dann gilt $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty$

  Falls $n>m$ ist, entscheidest du das Vorzeichen des Grenzwertes wie folgt: Schau dir die Vorzeichen von $a_n$ sowie $b_m$ an. Sind beide identisch, ist der Grenzwert $+\infty$ und andernfalls $-\infty$.

  Lösung

  Zunächst schauen wir uns die beiden Beispiele der ganzrationalen Funktionen an. Hier ist jeweils die höchste Potenz und der zugehörige Koeffizient ausschlaggebend.

  Beispiel 1: $f(x)=\frac12x^4-x^2+3x-234$

  • Die höchste Potenz ist $x^4$ mit einem geraden Exponenten $4$.
  • Der zugehörige Koeffizient ist $\frac12>0$.

  Damit gilt $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$.

  Beispiel 2: $f(x)=-3x^7+5x^5+3x^2-13,5x$

  • Die höchste Potenz ist $x^7$ mit einem ungeraden Exponenten $7$.
  • Der zugehörige Koeffizient ist $-3<0$.

  Somit ist $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$.

  Kommen wir nun zu zwei weiteren Beispielen. Dieses Mal schauen wir uns gebrochenrationale Funktionen an.

  Beispiel 3: $f(x)=\dfrac{5x^2+2x-8}{-x^2-27356x+12345}$

  Die höchste Potenz des Zählerterms ist $x^2$ und die des Nennerterms ebenfalls. Das bedeutet, dass die Funktion gegen den Quotienten der zugehörigen Koeffizienten geht:

  $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\frac{5}{-1}=-5$

  Beispiel 4: $f(x)=\dfrac{-x^3+2x^4+10x}{0,5x^5-20x^4+x^3}$

  Die höchste Potenz des Zählerterms ist $x^4$ und die des Nennerterms $x^5$. Da die Potenz des Nennerterms größer ist als die des Zählerterms, folgt:

  $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0$

• Bestimme den höchsten Exponenten im Zähler- sowie im Nennerterm.

  Tipps

  Beachte: Üblicherweise werden bei ganzrationalen Funktionen die Potenzen der Größe nach geordnet. Dann steht die größte Potenz ganz links.

  Dies ist in den angegebenen Beispielen nicht der Fall.

  Schau dir ein Beispiel an. Die Funktion $f$ mit $f(x)=3x-4x^2+2x^7$ hat die höchste Potenz $x^7$.

  Die höchste Potenz ist eindeutig. Du erkennst sie an dem größten Exponenten.

  Zum Beispiel ist $x^5$ eine größere Potenz als $x^2$, da $5>2$ ist.

  Lösung

  Wenn du eine ganzrationale Funktion auf ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen willst, musst du dir zunächst die höchste Potenz anschauen. Dann kannst du den entsprechenden Grenzwert gemäß der dargestellten Tabelle bestimmen.

  Eine Potenz hat die Form $x^n$. Dabei spricht man von der höchsten Potenz, wenn der Exponent, also $n$, am größten ist.

  Schauen wir uns einmal zwei Beispiele dazu an:

  1. Die höchste Potenz von $f(x)=2x^3-x^5+x-8+3x^8$ ist $x^8$.
  2. Die höchste Potenz von $f(x)=2x^4+3-7x^5$ ist $x^5$.

  Hinweis: Auch bei der Untersuchung gebrochenrationaler Funktionen musst du die höchste Potenz untersuchen. Dabei betrachtest du diese sowohl im Zähler- als auch im Nennerterm.

• Leite den Grenzwert der gebrochenrationalen Funktionenschar in Abhängigkeit von Parameterwerten her.

  Tipps

  Schreibe für die jeweils gegebenen Parameter den Funktionsterm auf.

  In dem ersten und zweiten Fall ist die höchste Potenz im Zählerterm sowie im Nennerterm gleich groß.

  Der Grenzwert ergibt sich als Quotient der zugehörigen Koeffizienten.

  • Wenn die höchste Potenz im Zählerterm größer ist als die im Nennerterm, geht die gebrochenrationale Funktion gegen $\pm\infty$.
  • Wenn die höchste Potenz im Zählerterm kleiner ist als die im Nennerterm, geht die gebrochenrationale Funktion gegen $0$.

  Lösung

  Je nachdem, wie die Parameter $a$ und $b$ gewählt werden, können die Funktionen dieser Schar im Grenzwertverhalten verschieden sein.

  Erster Fall: $a\in\mathbb{R}$, $a\neq 0$ sowie $b\in\mathbb{R}$

  Die höchste Potenz im Zähler- wie im Nennerterm ist $x^2$. Dann kann der Grenzwert wie folgt berechnet werden:

  $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{ax^2+bx+3}{2ax^2+x}\right)=\dfrac{a}{2a}=\dfrac12$

  Zweiter Fall: $a=0$ und $b\in\mathbb{R}$, $b\neq 0$

  Dieses Mal ist $f_{0;b}(x)=\dfrac{bx+3}{x}$. Die höchste Potenz im Zähler- wie im Nennerterm ist jeweils $x$. Du kannst nun den Grenzwert wieder als Quotient der zugehörigen Koeffizienten berechnen:

  $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{bx+3}{x}\right)=\dfrac{b}{1}=b$

  Dritter Fall: $a=b=0$

  Es ist $f_{0;0}(x)=\dfrac{3}{x}$. Da die höchste Potenz im Zählerterm kleiner ist als die im Nennerterm, gilt:

  $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\frac{3}{x}\right)=0$