Grenzwerte von Folgen
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Grundlagen zum Thema Grenzwerte von Folgen
Es gibt solche Folgen, die keinen Grenzwert haben und ins Unendliche divergieren, und solche Folgen, die einen Grenzwert haben, gegen den sie konvergieren. "Grenzwert", "divergieren" und "konvergieren" - das sind alles Begriffe, die ich dir in diesem Video erklären möchte. Vielleicht hast du sie auch schon einmal gehört, aber nicht verstanden. Hier bekommst du sie ausführlich und vor allem anschaulich erklärt.
Transkript Grenzwerte von Folgen
Hallo. Heute betrachten wir die Grenzwerte von Folgen. Angenommen, du musst für die nächsten Klausuren lernen. Und teilst dir deinen Schokoladenvorrat so ein, dass du an jedem Tag nur die Hälfte deines Vorrates isst. Okay. Du weißt, worauf das hinausläuft. Die Restmengen, also die Schokoladenvorräte, die dann jeweils am Abend noch übrig sind ergeben eine Folge mit der Berechnungsvorschrift rn = ½n . N ist dabei Element der natürlichen Zahlen. Wie schön wäre es doch, würde sich der Schokolandevorrat verdoppeln. Auch dieser Wunsch ergibt eine Folge. sn = 2n. N ist dabei wieder Element der natürlichen Zahlen. Was ist der Unterschied zwischen beiden Folgen? Die realen Vorräte streben gegen Null während die Wunschvorräte unbegrenzt anwachsen. Wir betrachten zunächst das Verhalten von Zahlenfolgen und klären das Begriffspaar konvergent und divergent. Im Anschluss definieren wir was man genau unter einem Grenzwert versteht. Welches Verhalten können Folgen zeigen? Dazu ein paar Beispiele. Die Folge an = 1 + n2 hat die Glieder a1 = 2, a2 = 5, a3 = 10, a4 = 17 und so weiter. Wir tragen die ersten zehn Folgenglieder in ein Schaubild ein. Wobei n nach rechts und nach oben abgetragen wird. Und sehen sofort, die Folgenglieder steigen ständig an und streben nicht gegen eine bestimmte Zahl. Dasselbe ist bei der alternierenden Folge bn = -1n * (n + 2) der Fall. Sie besitzt die Folgenglieder b1 = -3, b2 = 4, b3 = -5, b4 = 6 und so weiter. Eine Folge nennt man übrigens genau dann alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd negativ und positiv sind. Die alternierende Folge cn = -1n * 1/n mit den Folgegliedern c1 = -1, c2 = 1/2, c3 = -1/3, c4 = 1/4 und so weiter, strebt gegen null. Das hängt damit zusammen, dass der Bruch 1/n bei wachsendem n immer kleiner wird. Auch die Folge dn = (2n - 1)/n mit den Gliedern d1 = 1, d2 = 3/2, d3 = 5/3, d4 = 7/4 und so weiter, strebt gegen eine bestimmte Zahl. Nämlich zwei. Das sehen wir, wenn wir die Bildungsvorschrift umschreiben. Dn = (2n - 1)/n = 2n/n - 1/n = 2 - 1/n. Auch hier ziehen wir von zwei etwas ab was immer kleiner wird, je größer n wird. An diesen beispielhaften Folgen können wir die Begriffe Divergenz, Konvergenz und Grenzwert klären. Die Folgen an und bn wachsen ständig an und streben nicht gegen einen bestimmten Wert. Sie sind divergent. Die Folgen cn und dn hingegen streben gegen einen bestimmten Wert dem sie immer näher kommen. Sie sind konvergent und konvergieren gegen ihren Grenzwert. Dem Grenzwert immer näher kommen, das können wir mathematisch formulieren. Wenn wir um den Grenzwert ein kleines Intervall legen, dessen obere und untere Grenze die Entfernung ε vom Grenzwert haben, dann liegen ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren Glieder in dieser ε Umgebung. Egal, wie klein wir ε wählen. Das ist eine wichtige Definition deshalb formulieren wir sie noch einmal präzise: Die Zahl G heißt Grenzwert der Folge an, wenn es zu jedem noch so kleinen ε größer als null einen Index groß N gibt. So dass alle Folgenglieder mit Index n größer N innerhalb der ε Umgebung um G liegen. Das bedeutet, die Differenz von an und G im Betrag ist kleiner als ε für alle n größer als groß N. Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwert besitzt, nennen wir konvergent. Und benutzen die Schreibweise strebt gegen G oder auch der Limes der Folge für n gegen unendlich ist G. Eine Zahlenfolge, die keinen Grenzwert besitzt, nennen wir divergent. Wir fassen zusammen: Du hast heute unter anderem gelernt, dass konvergente Folgen im Gegensatz zu divergenten Folgen einen Grenzwert besitzen. Außerdem weißt du nun, dass im Falle der Existenz eines Grenzwertes die Differenz von an und G im Betrag kleiner ist als ε für alle n größer als groß N. Tschüss und bis zum nächsten Mal.
Grenzwerte von Folgen Übung
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Stelle die Folgen im Koordinatensystem dar.
TippsErstelle jeweils eine Wertetabelle und vergleiche deine Werte mit den abgebildeten.
Folgen, die den Term $(-1)^n$ enthalten, sind alternierende Folgen, da die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ werden.
Da wir die Folgenglieder für $n \in \mathbb{N}$ darstellen wollen, kannst du die Punkte nicht verbinden.
LösungUm Folgen anschaulich darzustellen, berechnen wir jeweils die Folgenglieder für $n \in \mathbb{N}$ und vergleichen unsere Werte anschließend mit den gegebenen Darstellungen.
Die Folge $a_n=1+n^2$ hat die Folgenglieder $a_1=2, a_2 =5, a_3 = 10$ und $a_4=17$. In einer Wertetabelle kannst du übersichtlich für jedes gewählte n deine Folgenglieder notieren und anschließend mit den gegebenen Darstellungen vergleichen. Da die Folge $a_n$ niedrig beginnt und mit größer werdendem n ständig anwächst, also divergent ist, stellt das erste Diagramm die Folge dar.
Auf dieselbe Weise gehen wir bei den restlichen Folgen vor.
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Unterscheide zwischen konvergenten und divergenten Folgen.
TippsWas versteht man unter einer konvergenten bzw. einer divergenten Folge?
Berechne jeweils Folgenglieder und überprüfe, ob sie sich einem bestimmten Wert annähern.
LösungWir berechnen einige Folgenglieder der gegebenen Folgen, um herauszufinden, ob die Folgen einen Grenzwert haben, also konvergent sind, oder keinen Grenzwert besitzen, und somit divergent sind.
Die Folge $r_n = \frac{1}{2^n}$ hat die Folgenglieder $r_0=1, r_1=\frac{1}{2}, r_2=\frac{1}{4}$ und $r_3=\frac{1}{8}$. Die Folgenglieder werden immer kleiner und streben gegen Null, also ist die Folge $r_n$ konvergent.
Auch die Folge $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ strebt gegen Null und ist somit konvergent.
Betrachten wir die Folgenglieder der Folge $d_n = \frac{2n-1}{n}$ mit $d_1=1, d_2=\frac{3}{2}, d_3=\frac{5}{3}$ und $d_4=\frac{7}{4}$, so stellen wir fest, dass die Folge gegen 2 strebt und daher auch konvergent ist.
Im Gegensatz dazu streben die Folgenglieder der Folgen $s_n = 2^n$, $a_n = 1+n^2$ und $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$ nicht gegen eine bestimmte Zahl. Sie sind folglich divergent.
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Bestimme den Grenzwert der Folgen.
TippsBerechne die Folgenglieder der jeweiligen Folgen, setze dabei für n auch hohe Zahlen wie $n=100$ ein.
Du kannst die Folgen auch vereinfachen, wie z.B. durch das Kürzen eines Faktors im Zähler und Nenner eines Bruchs.
Du kannst einen Buch mit einer Summe im Zähler zerlegen.
LösungDu kannst den Grenzwert auf verschiedene Weisen bestimmen. Du kannst beispielsweise direkt Folgenglieder berechnen und so auf den Grenzwert schließen oder du kannst vorher erst einmal den Term vereinfachen und anschließend den Grenzwert bestimmen.
Betrachten wir die Folge $a_n = \frac{3n+2}{3n}$, so stellen wir fest, dass man den Term $3n$ kürzen kann, wenn man die Summe auseinander zieht:
$a_n = \frac{3n+2}{3n}= \frac{3n}{3n} + \frac{2}{3n} = 1 + \frac{2}{3n} $.
Nun setzen wir beliebige $n \in \mathbb N$ ein und erhalten z.B. für $n=100$ das Folgenglied.
$a_{100} = 1 + \frac{2}{300} \approx 1,0067$
und für $n=2000$ das Folgenglied
$a_{2000} = 1 + \frac{2}{6000} \approx 1,0003$. Der Grenzwert der Folge liegt somit bei $1$.
Für $a_n = 5 - \frac{1}{n^2}$ sind die Folgenglieder $a_1=4$, $a_{100}=4,9999$ und $a_{5000}=4,99999996$. Die Folge nähert sich also dem Grenzwert $5$.
Auf dieselbe Weise kann man auch den Grenzwert der anderen Folgen bestimmen.
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Entscheide, welche Folgen divergent sind.
TippsFolgen, die nicht gegen eine bestimmte Zahl streben und somit keinen Grenzwert besitzen, nennt man "divergent".
Setze für n jeweils beliebig hohe natürliche Zahlen ein und berechne die Folgenglieder. Streben sie gegen eine bestimmte Zahl?
Eine Folge, deren Zähler eine Konstante ist und deren Nenner für immer größer werdende n beliebig groß wird, strebt stets gegen Null und ist somit konvergent.
LösungWir berechnen die Folgenglieder der Folge $a_n=\frac{1}{n^3}$ für $n=1$, $n=100$ und $n=10000$:
$a_1=1$,
$a_{100}=\frac{1}{100^3} = 0,000001$,
$a_{10~000}=\frac{1}{10~000^3} = 0,000000000001$.
Wir stellen fest, dass eine Folge, deren Zähler konstant ist und deren Nenner immer größer wird, stets gegen Null konvergiert.
Auch die Folge $d_n=3-\frac{1}{n}$ enthält einen solchen Bruch, der gegen Null konvergiert, daher ist der Grenzwert dieser Folge $3-0=3$.
Die Folge $e_n=\frac{n^2+3\cdot n}{n^3}$ können wir umformen, sodass $e_n= \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}$ ebenfalls zwei Terme enthält, welche gegen Null konvergieren, somit konvergiert die gesamte Folge $e_n$ gegen $0$.
Im Gegensatz dazu streben die Folgen $b_n=\frac{n}{3}$ und $c_n=3^n$ nicht gegen eine bestimmte Zahl. Durch das Berechnen beliebiger Folgenglieder kann man dies leicht feststellen:
$b_{3~000~000}=\frac{3~000~000}{3} = 1~000~000$,
$b_{3~000~000~000}=\frac{3~000~000~000}{3} = 1~000~000~000$,
$c_{10}= 3^{10} = 59049$,
$c_{100}= 3^{100} = 5,153775207 \cdot 10^{47}$.
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Nenne die gesuchten Eigenschaften von Folgen.
TippsDie abgebildete Folge hat abwechselnd positive und negative Folgenglieder. Wie nennt man diese Eigenschaft?
Das Wort convergere kommt aus dem lateinischen und bedeutet „zusammenlaufen“.
LösungMan nennt eine Folge alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Ein Beispiel einer alternierenden Folge ist die Folge $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$.
Divergente Folgen wachsen beispielsweise ständig an. Sie streben nicht gegen einen bestimmten Wert. Ein Beispiel für eine divergente Folge ist $s_n = 2^n$. Divergente Folgen können auch alternierend sein. Die Folge $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$ ist alternierend und divergent.
Konvergente Folgen streben gegen einen bestimmten Wert, dem sie sich annähern. Diesen Wert nennt man Grenzwert. Ein Beispiel für eine konvergente Folge ist $r_n = \frac{1}{2^n}$. Ihr Grenzwert ist Null. Konvergente Folgen können auch alternierend sein. Die Folge $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ ist alternierend und konvergent. Ihr Grenzwert ist ebenfalls Null.
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Ermittle, welche Folge jeweils beschrieben wird.
TippsFolgen, die abwechselnd positive und negative Folgenglieder enthalten, nennt man alternierend. Was versteht man unter konvergenten bzw. divergenten Folgen?
Berechne einige Folgenglieder der gegebenen Folgen und ordne mit Hilfe deiner Schlussfolgerungen die jeweilige Folge einem Text zu.
LösungWir betrachten die einzelnen Folgen und ordnen ihnen die passenden Eigenschaften zu.
- Wir berechnen als Erstes beliebige Folgenglieder der Folge $a_n= \frac{4n+2}{(-1)^n}$: $a_1=-6$, $a_2=10$, $a_{1000}=4002$, $a_{1001}=-4006$.
- Die Folgenglieder $b_1= 5$, $b_2= 8$,$b_{1~000~000}= 3~000~002$ von $b_n= 3n+2$ streben ebenfalls nicht gegen eine bestimmte Zahl, daher ist auch $b_n$ divergent, jedoch nicht alternierend.
- Der erste Summand der Folge $c_n= \frac{1}{n} + 5$ strebt gegen Null, der zweite Summand bleibt stets die Konstante 5, daher konvergiert diese Folge gegen 5 und ist nicht alternierend.
- Auch die Folge $d_n=(-1)^n \cdot \frac{5}{n^2}$ enthält den Term $(-1)^n$ und ist somit alternierend. Der zweite Faktor strebt gegen $0$, also ist der Grenzwert dieser Folge $0$. Man nennt Folgen, die gegen Null konvergieren auch Nullfolgen.
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@Mrhenning156,
Die Folge a(n) ist eine nicht näher bestimmte Folge. Wir wissen nur, dass die konvergent ist. d(n) und c(n) sind Beispiele für solche Folgen. a(n) steht also allgemein für divergente Folgen und d(n) und c(n) sind Beispiele dafür. a(n) kann also jede konvergente Folge sein z.B. auch d(n) oder c(n).
Ich hoffe das klärt deine Frage.
Viele Grüße aus der Redaktion.
Was ich hier nicht so ganz verstehe, ist, warum in der Definition des Grenzwertes im Video die Gleichung an verwendet wird, wenn an keinen Grenzwert haben und divergent, nicht konvergent sind. Soll ich mir hier das an geistig jetzt durch cn oder dn ersetzen?
Oder ist wirklich die Gleichung an gemeint, dann müsste dies aber näher erläutert werden?
@TobiasK.:
das n ist hier immer die Variable der Folge (wie das x bei einer Funktion). Wenn man z.B. das 3. Element der Folge wissen möchte, setzt man n=3 ein, um es zu berechnen.
In der ersten Folge ist das n ein Exponent. SO wie man auch 2 hoch 2, 2 hoch 3 oder ähnliches berechnen kann, lautet hier die Formel für die Folge eben 1/(2 hoch n). Für das n kann man dann Zahlen einsetzen.
Und wenn man den Grenzwert einer Folge berechnen will, schaut man, was passiert, wenn man ganz große Zahlen für n einsetzt (also wenn n gegen unendlich strebt).
Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!
Was ist mit "hoch n" gemeint? Generell, was hat das "n" da zu suchen?
Ja, sehr hilfreich, danke! Ich wünsche es gäbe sofatutor auf andere Sprachen auch, nicht nur auf deutsch. Spanisch wäre toll, zum Beispiel (: