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Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung

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Giuliano Murgo
Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung

Ein Teil der Kurvendiskussion besteht darin, das Verhalten einer Funktion im Unendlichen zu untersuchen. In der Mathematik ist dies die Betrachtung eines Grenzwertes einer Funktion für x gegen Plus oder Minus Unendlich. Man schreibt hierfür das lateinische Wort für Grenze limes bzw. abgekürzt lim. Ich erkläre dir das Verfahren der Termumformung mit dessen Hilfe du den Grenzwert genauer bestimmen kannst, als bei der Testeinsetzung. Dazu benötigen wir die dritte binomische Formel oder die Polynomdivision. Wir werden aber an einem Beispiel sehen, dass auch dieses Verfahren seine Grenzen hat. Viel Spaß beim Lernen!

Transkript Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung

Hallo. Ich bin Giuliano und ich möchte dir heute zeigen, wie man mithilfe der Termumformung die Grenzwerte von Funktionen für x gegen plus oder minus unendlich berechnet. Dazu wiederholen wir zuerst, was die Testeinsetzung ist. Dann werde ich dir an einem Beispiel die Termumformung zeigen. Und dann zum Schluss noch zwei weitere Beispiele zur Termumformung, ja, durchrechnen. Also, dann kommen wir zuerst zur Testeinsetzung. Bei der Testeinsetzung hat man zu Beginn eine Funktion, natürlich, gegeben. Und man gibt den sogenannten Definitionsbereich an. Ich kürze jetzt Funktion durch Fkt. ab. Also Funktion und den Definitionsbereich, hier mit einem Doppelstrich, weil es sich dabei um eine Menge handelt. Also Definitionsmenge/Definitionsbereich ist dasselbe. Als Zweites haben wir dann eine Tabelle aufgestellt, beziehungsweise Testeinsetzungen gemacht, um herauszufinden, wie sich die Funktion für x gegen unendlich oder x gegen minus unendlich verhält. Und dann, als Drittes, hat man dann den Grenzwert, den ich jetzt mit GW abkürze, getippt. Und dabei tritt eben folgendes Problem auf: Diese Testeinsetzung ist nicht exakt! Wenn wir zum Beispiel einen Grenzwert g, den nenne ich jetzt klein g, von 2,007 zum Beispiel haben oder einen Grenzwert von 0,3245.. und so weiter, also das zum Beispiel eine irrationale Zahl ist, dann kann das eigentlich durch die Testeinsetzung gar nicht genau gegeben werden. Deswegen üben wir jetzt zusammen die Termumformung. Und die möchte ich dir jetzt anhand eines Beispiels zeigen. Wir nehmen dafür folgende Funktion: f(x) gleich 4x plus 1, geteilt durch x. Das ist eine gebrochenrationale Funktion. Und der Definitionsbereich dieser Funktion sind die reellen Zahlen ohne die Null, weil der Nenner nicht null werden darf. Das heißt, wir haben hier eine Definitionslücke. Das, was wir jetzt also machen wollen, ist, den Grenzwert angeben. Limes x gegen plus unendlich von dieser Funktion 4x plus 1, durch x. Das ist also jetzt das Erste, was wir uns notieren. Und der Trick ist jetzt folgender: Wir werden hier diesen Bruch einfach umformen. Das heißt, wir können hier auch schreiben: Limes x gegen plus unendlich, indem wir diesen Bruch aufteilen. Und zwar können wir das einmal in 4x durch x, plus 1 durch x zerlegen. Wenn wir das weiterführen, gibt das Limes x gegen plus unendlich, hier können wir das x miteinander kürzen. Das heißt, hier steht eine 4 plus 1, durch x. Und nun kommt etwas, was du schon weißt. Und zwar, jetzt benutzen wir hier die Grenzwertsätze. Und zwar haben wir hier eine Summe. Und hier können wir den Grenzwert von den einzelnen Summanden berechnen. Das heißt, Limes x gegen plus unendlich von 4, plus Limes x gegen plus unendlich von 1 durch x. Wenn ich hier, in dem zweiten Term, für x eine ganz, ganz große Zahl einsetze, wird insgesamt dieser Bruch annähernd null. Das heißt, hier haben wir insgesamt 4 plus 0. Weil hier taucht gar kein x auf, das bleibt konstant 4, egal, wie groß das x wird. Das heißt, insgesamt haben wir hier einen Grenzwert von 4 herausbekommen. Das siehst du hier jetzt auch nochmal an dem Funktionsgraphen eingezeichnet. Das heißt, diese Funktion geht für immer höhere x-Werte, nähert sich diese Funktion der sogenannten Asymptote y = 4 an. Diese Vorgehensweise werde ich jetzt einmal hier mit dir zusammen aufschreiben. Also, das heißt, wir stellen die Testeinsetzung gegenüber der Termumformung. So: Termumformung, und zwar haben wir als Erstes, genauso wie drüben, die Funktion und den Definitionsbereich, geben wir an. Als Zweites werden wir, genauso wie hier, werden wir den Limes plus oder minus unendlich von der Funktion bilden. Also x plus unendlich oder x gegen minus unendlich von der Funktion f(x) zum Beispiel. Als Drittes wird dann f(x) umgeformt. Also, f(x) umformen. Und als Viertes haben wir dann hier, in dem Falle hier, das schreibe ich auch noch einmal daran, GWS, die Grenzwertsätze benutzt. Und als Letztes dann eben den Grenzwert gegebenenfalls angeben. Jetzt möchte ich dieses Verfahren einmal mit dir an zwei Beispielen üben. Kommen wir jetzt zum ersten Beispiel, bei dem ich mit dir gern die Termumformung üben möchte. Wir nehmen die Funktion g(x) gleich x² minus 1, geteilt durch x. Als Erstes bestimmen wir den Definitionsbereich, der ist alle reellen Zahlen ohne die Null. Weil wenn ich die Null einsetze, steht im Nenner eine Null, und das darf man nicht. Als Zweites wähle ich hier Limes x gegen minus unendlich von x² minus 1, geteilt durch x. Jetzt kommt der dritte Schritt, in dem ich f(x) umforme. Deswegen schreibe ich hier oben einfach 3. hin. Limes x gegen minus unendlich, so. Und jetzt kann ich diesen Bruch einfach aufteilen in x² geteilt durch x, minus 1 durch x. Jetzt mache ich im vierten Schritt, wende ich die Grenzwertsätze an. Und zwar kann ich jetzt hier einmal das x wegkürzen. Und den Limes kann ich einmal hier aufteilen zwischen diesen beiden. Das heißt, hier steht Limes x gegen minus unendlich von x, minus Limes von x gegen minus unendlich 1 geteilt durch x. Wenn ich im ersten Term für x eine minus unendlich einsetze, kommt ja auch, Vorsicht, das muss man in Anführungsstrichen schreiben, minus unendlich heraus. Ja, das ist ja eigentlich keine wirkliche Zahl. Minus Limes 1 durch x für x gegen minus unendlich, dieser Term hier, der wird eben null. Das heißt, hier, minus null. Das heißt, insgesamt haben wir hier wirklich keinen Grenzwert! Diesen hier nennt man uneigentlichen Grenzwert. Ja, also die Funktion, sagt man, geht gegen minus unendlich. Das gucken wir uns hier noch einmal in einem Koordinatensystem an. Dort siehst du Funktion g(x), x² minus 1, durch x. Bei x = 0 ist die Definitionslücke, hier sogar eine Polstelle. Und bei x gegen minus unendlich geht die Funktion unten weg, das heißt, sie strebt gegen minus unendlich. Jetzt, als Nächstes, gucken wir uns ein zweites Beispiel an. Kommen wir zum letzten Beispiel: h(x) gleich 3 minus x, geteilt durch 3x² minus 9x. Als Erstes geben wir wieder den Definitionsbereich an, beziehungsweise die Definitionsmenge. Das sind die reellen Zahlen ohne, welche Zahlen dürfen wir nicht einsetzen? Einmal die Null, sonst wird der Nenner null, und einmal 3. Weil 3 mal 3² ist 9. 3 mal 9 ist 27, minus 9 mal 3 ist auch 27. Deswegen darf ich die 3 nicht einsetzen. Jetzt wählen wir den Grenzwert, den wir berechnen wollen. Ich wähle hier Limes x gegen plus unendlich von der Funktion 3 minus x, geteilt durch 3x² minus 9x. Jetzt kommt der dritte Schritt: Wir formen f(x) um, und zwar nehmen wir uns hier den Nenner vor. Limes x gegen plus unendlich, der Zähler bleibt also erst einmal unbehandelt, 3 minus x. Und hier unten klammern wir jetzt 3x aus. Und, na ja klar, was bleibt übrig? Hier bleibt ein x übrig, und hier minus 3. Und jetzt können wir diese beiden fast schon kürzen. Jetzt müssen wir nur noch ein minus 1 im Zähler oder im Nenner herauskürzen. Beziehungsweise einfach erweitern, das könnt ihr machen, wie ihr wollt. Ich nehme mir jetzt hier den Zähler. Minus 1 mal, dann dreht sich das Vorzeichen hier um, x minus 3, geteilt durch 3x mal x minus 3. Ihr könnt das alternativ auch im Nenner machen. Dann steht die minus 1 einfach im Nenner. Jetzt ist das Schöne, dass hier die x minus 3 sich herauskürzen. Das heißt, wir haben insgesamt Limes x gegen, hier habe ich ein minus geschrieben, plus unendlich, so: x gegen plus unendlich minus 1, geteilt durch 3 x. Und der Grenzwert von diesem Ausdruck ist eben 1 geteilt durch 3x. Wenn das x also ganz groß wird, geht dieser Bruch hier gegen null! Und das Schöne ist, dass es hier völlig egal ist, ob das x gegen plus unendlich oder minus unendlich strebt. Dieser Ausdruck wird für beide eben null. Das heißt, hier kann ich überall noch ein Minus ergänzen. So, genau. Also, Limes x gegen plus oder minus unendlich von der Funktion geht eben gegen null. Das schauen wir uns jetzt in einem Koordinatensystem einmal an. Dort seht ihr die Funktion h(x) gleich 3 minus x, geteilt durch 3x² minus 9x. Und da seht ihr, dass y = 0 die Asymptote ist, an die sich die Funktion, einmal für x gegen plus unendlich, annähert, und einmal, für x gegen minus unendlich, einmal von oben an diese Asymptote annähert. Jetzt möchte ich einmal kurz alles zusammenfassen. Am Anfang haben wir uns nochmal die Testeinsetzung angesehen, die eben nicht exakt genug ist. Deswegen haben wir in einem Beispiel f(x) die Termumformung geübt und einen Grenzwert angegeben, der exakt war. Als Zweites haben wir uns ein Beispiel angesehen, wo wir auch den Term umgeformt haben, aber ein uneigentlicher Grenzwert mit unendlich herauskam. Das dritte Beispiel hier hatte wieder einen Grenzwert. Das heißt, h(x) hat den Grenzwert für x gegen unendlich, plus unendlich oder minus unendlich, gleich null. Was man hier in dem Koordinatensystem nochmal sieht. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Hallo Maximiliandettmer, wenn du mit 2. Aufgabe (x²-1)/x meinst, dann ja. Da ist der Grenzwert für Limes gegen +unendlich gleich +unendlich. Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor etwa 2 Jahren
  2. Wenn ich bei der zweiten Aufgabe anstatt Limes von f(x) für x gegen +unendlich anstatt -unendlich schreibe, dann kommt logischerweise „+unendlich“ heraus, oder?

    Von Maximiliandettmer203, vor etwa 2 Jahren
  3. Ok. Das kannte ich noch nicht. Danke.

    Von Beehoney1, vor etwa 3 Jahren
  4. @Sinahoehn: Wenn du x=100 in (-1):(3x) einsetzt, dann erhält man (-1):300=-0,00333. Setzt du noch größere x-Werte ein, dann wird dieser Ausdruck immer kleiner. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor mehr als 6 Jahren
  5. super übersichtlich erklärt! ich verstehe nur im letzten Beispiel nicht, dass der Grenzwert von dem Ausdruck (-1): 3x gegen 0 geht. Wenn ich für x nämlich was "großes" einsetzt z.B. 100 kommen -3,33... raus

    Von Sinahoehn, vor mehr als 6 Jahren
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Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grenzwerte x gegen unendlich – Termvereinfachung kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das allgemeine Vorgehen bei der Grenzwertberechnung $x\to \pm\infty$ mit Termumformung.

    Tipps

    Bei der Termumformung werden Rechenregeln angewendet.

    Zum Beispiel gilt $2(x^2-2x)+3x=2x^2-4x+3x=2x^2-x$.

    Es kann sein, dass zu einer Funktion in der gegebenen Form kein Grenzwert berechnet werden kann, da die Voraussetzungen von Sätzen zur Berechnung der Grenzwerte nicht erfüllt sind. Eine Umformung kann zu den gewünschten Voraussetzungen führen.

    Lösung

    Die folgenden Schritte sind bei der Grenzwertberechnung mittels Termumformung durchzuführen:

    1. Betrachtet wird eine Funktion $f(x)$ und ihr Definitionsbereich $\mathbb{D}$.
    2. Es sollen die Grenzwerte $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ sowie $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$ berechnet werden.
    3. Gegebenenfalls muss die Funktion so umgeformt werden, dass
    4. die Grenzwertsätze für Funktionen anwendbar sind.
    5. Der Grenzwert kann berechnet werden, sofern er vorhanden ist.
    Die Grenzwertsätze für Funktionen lauten:

    $\begin{align*} \text{Summenfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)+\lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)\\ \text{Differenzfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}(f(x)-g(x))=\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)-\lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)\\ \text{Produktfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}(f(x)\cdot g(x))=\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)\cdot \lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)\\ \text{Quotientenfunktion: }&\lim\limits_{x\to ±\infty}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\lim\limits_{x\to ±\infty}f(x)}{\lim\limits_{x\to ±\infty}g(x)}\\ \end{align*}$

    Im Falle der Quotientenfolge müssen sowohl der Grenzwert als auch die Funktionswerte im Nenner ungleich $0$ sein.

  • Berechne den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$.

    Tipps

    Die Grenzwertsätze können nur angewendet werden, wenn die betrachteten Funktionen einen Grenzwert besitzen, der im Falle der Quotientenfolge nicht $0$ sein darf:

    $\text{Summenfunktion } \lim\limits_{x\to \pm\infty} (f(x)+g(x))= \lim\limits_{x\to \pm\infty} f(x)+ \lim\limits_{x\to \pm\infty} g(x)$

    Der Grenzwert einer konstanten Funktion ist der Funktionswert selbst.

    Zum Beispiel: $\lim\limits_{x\to \pm\infty} 5=5$.

    Lösung

    Zur Berechnung eines Grenzwertes kann die betrachtete Funktion umgeformt werden:

    • Zunächst wird der Bruch in zwei Summanden aufgeteilt:
    $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{4x+1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{4x}x+\frac1x\right)$
    • Von den beiden Brüchen kann der erste gekürzt werden. Danach können die Grenzwertsätze angewendet werden, da die beiden Funktionen $4$ und $\frac1x$ konvergent sind. Es gilt $\lim\limits_{x\to\infty}4=4$, da $4$ eine konstante Funktion ist, und $\lim\limits_{x\to\infty}\frac1x=0$:
    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{4x}x+\frac1x\right)&=\lim\limits_{x\to \infty}\left(4+\frac1x\right)\\ &=\lim\limits_{x\to \infty} 4+\lim\limits_{x\to \infty}\frac1x\\ &=4+0=4. \end{align*}$

  • Wende die Termumformung an, um den Grenzwert $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$zu berechnen.

    Tipps

    Bei der Termumformung werden oft

    • binomische Formeln oder
    • die Polynomdivision verwendet.

    Ist der höchste Exponent im Zähler einer gebrochen rationalen Funktion $k(x)$ kleiner als der im Nenner, so gilt

    $\lim\limits_{x\to \pm\infty}} k(x)=0$.

    Es dürfen nur Faktoren gekürzt werden.

    Die 3. binomische Formel lautet $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$. Sie ist daran zu erkennen, dass auf der rechten Seite die Differenz zweier Quadrate steht.

    Zum Beispiel: $x^2-4=(x+2)\cdot(x-2)$.

    Lösung

    Zunächst kann der Nenner mit der 3. binomischen Formel umgeformt werden: $x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$.

    Es ist also $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{x^2-1}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{(x+1)\cdot(x-1)}\right)$.

    Dann kann der Term $x+1$ gekürzt werden:

    $ \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{x+1}{(x+1)\cdot(x-1)}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac1{x-1}\right)=0. $

    Im Zähler steht eine feste Zahl $1$ und im Nenner eine Funktion mit immer größer werdenden Funktionswerten bei steigenden $x$-Werten. Das bedeutet, dass der Bruch gegen $0$ geht.

    Es gilt also $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=0$.

  • Berechne den Grenzwert der Funktion $g(x)$ für $x \to -\infty$.

    Tipps

    Du kannst den Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitern, um sowohl im Zähler als auch im Nenner konvergente Funktionen zu erhalten.

    Ist der höchste Exponent im Zähler der gleiche wie der im Nenner, so ist der Grenzwert der Quotient der Faktoren der höchsten Potenzen.

    An dem Beispiel:

    $k(x)= \frac{2x^7-3x+4}{8x^7+6x^6-5x^4+23}$.

    Der höchste Exponent im Zähler und im Nenner ist $7$. Somit ist der Grenzwert $\frac28=0,125$.

    Der Grenzwert von $\frac{23}{x^2}$ und von $\frac3x$ ist $0$.

    Lösung

    Zunächst wird der Bruch mit $\frac1{x^2}$ erweitert:

    $\lim\limits_{x\to -\infty}\left( \frac{23-\frac12 x^2}{\frac34 x^2+3x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left( \frac{\frac1{x^2}(23-\frac12 x^2)}{\frac1{x^2}(\frac34 x^2+3x)}\right)$

    Sowohl im Zähler als auch im Nenner wird die Klammer ausmultipliziert. Dies führt zu Funktionen, deren Grenzwerte berechnet werden können. Das heißt, es können die Grenzwertsätze für Funktionen angewendet werden.

    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(23-\frac12 x^2)}{\frac1{x^2}(\frac34 x^2+3x)}\right)&=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{\frac{23}{x^2}-\frac12}{\frac34 +\frac3x}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{23}{x^2}-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac12}{\lim\limits_{x\to -\infty}\frac34 +\lim\limits_{x\to -\infty}\frac3x} \end{align*}$

    Nun kann der Grenzwert berechnet werden:

    $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{23-\frac12 x^2}{\frac34 x^2+3x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{23}{\frac34 x^2+3x}\right)-\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{\frac12 x^2}{\frac34 x^2+3x}\right)=0-\frac{\frac12}{\frac34}=-\frac23$

    Der Grenzwert als Dezimalzahl lautet also $g=-\frac23$.

  • Gib den Grenzwert $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)$ an.

    Tipps

    Eine gebrochen rationale Funktion ist nicht definiert, wenn der Nenner $0$ ist.

    Schaue dir einige Funktionswerte von $g(x)$ für immer größer werdende negative $x$ an. Kannst du erkennen, wogegen die Funktionswerte gehen?

    Lösung

    Zunächst muss der Definitionsbereich angegeben werden: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Die $0$ muss ausgeschlossen werden, da an dieser Stelle der Nenner $0$ wird. Das Teilen durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Nun kann der Bruch in zwei Terme, den Minuenden und den Subtrahenden, zerlegt werden:

    $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2-1}{x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2}x-\frac1x\right)$.

    Der Minuend kann gekürzt werden $\frac{x^2}x=x$ und somit erhält man:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2}x-\frac1x\right)&=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x-\frac1x\right)\\ &=\lim\limits_{x\to -\infty} x-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac1x \end{align*}$

    Da der Minuend gegen $-\infty$ geht und der Subtrahend gegen $0$ geht, geht die Funktion gegen $-\infty$:

    $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(\frac{x^2-1}{x}\right)=„-\infty“$.

    Die Anführungszeichen zeigen an, dass es sich hier um einen uneigentlichen Grenzwert handelt.

    Die Definition eines Grenzwertes im eigentlichen Sinne setzt die Endlichkeit des Grenzwertes voraus.

  • Gib allgemein den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty} h(x)$ an.

    Tipps

    Wenn das Produkt zweier Zahlen

    • positiv ist, so haben die beiden Zahlen das gleiche Vorzeichen,
    • negativ ist, so haben die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen.

    Das Grenzwertverhalten bei gebrochen rationalen Funktionen hängt von den höchsten Exponenten sowohl im Zähler als auch im Nenner ab.

    Zum Beispiel $f(x)= \frac{4x+1}x$: Der höchste Exponent ist sowohl im Zähler als auch im Nenner $1$. Der Grenzwert ist also $\frac41=4$.

    Lösung

    Ganz allgemein kann ein Bruch der Form $\frac{a\cdot x^2+b\cdot x+c}{d\cdot x^2+e\cdot x+f}$ mit $\frac1{x^2}$ erweitert werden, um sowohl im Zähler als auch im Nenner Funktionen zu erhalten, die einen Grenzwert haben:

    $\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{a\cdot x^2+b\cdot x+c}{d\cdot x^2+e\cdot x+f}\right)=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(a\cdot x^2+b\cdot x+c)}{\frac1{x^2}(d\cdot x^2+e\cdot x+f)}\right)$.

    Im Folgenden wird ausgeklammert und die Terme werden vereinfacht, um die Grenzwertsätze für Funktionen anwenden zu können:

    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{\frac1{x^2}(a\cdot x^2+b\cdot x+c)}{\frac1{x^2}(d\cdot x^2+e\cdot x+f)}\right) &=\lim\limits_{x\to \infty}\left(\frac{a+\frac bx+\frac c{x^2}}{d+\frac ex+\frac f{x^2}}\right)\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}\left(a+\frac bx+\frac c{x^2}\right)}{\lim\limits_{x\to \infty}\left(d+\frac ex+\frac f{x^2}\right)}\\ &=\frac{\lim\limits_{x\to \infty}a+\lim\limits_{x\to \infty} \frac bx+\lim\limits_{x\to \infty}\frac c{x^2}}{\lim\limits_{x\to \infty}d+\lim\limits_{x\to \infty} \frac ex+\lim\limits_{x\to \infty} \frac f{x^2}}\\ &=\frac{a+0+0}{d+0+0}=\frac ad \end{align*}$

    Dies führt zu den verschiedenen Fällen:

    • $a=0$ und $d\neq 0$. Dann gilt $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=0$.
    • $a\neq 0$ und $d\neq 0$. Dann gilt $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=\frac ad.$
    Diese beiden Fälle können mit der obigen Rechnung begründet werden.
    • Wenn nun $d=0$ ist, bedeutet dies, dass der höchste Exponent im Zähler $2$ und im Nenner $1$ ist, unter der Voraussetzung, dass $a\neq0$ $e\neq 0$. Diese beiden Bedingungen sind durch die folgende Fallunterscheidung abgedeckt:
    • $a\cdot e>0$, das heißt zum einen, dass beide Koeffizienten ungleich 0 sind und zum anderen, dass beide das gleiche Vorzeichen haben: $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=„+\infty“$ sowie
    • $a\cdot e<0$, das heißt zum einen, dass beide Koeffizienten ungleich 0 sind und zum anderen, dass beide verschiedene Vorzeichen haben: $\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=„-\infty“$.

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