Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen

Flächeninhaltsfunktion – Fläche zwischen zwei Graphen Übung

• Beschreibe die einzelnen Schritte zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen.

  Tipps

  Mache dir selbst erst einmal in deiner Vorstellung klar, um welche Fläche es eigentlich geht.

  $A_0(x)$ ist die Flächeninhaltsfunktion.

  Überlege, welche Fläche durch die jeweilige Flächeninhaltsfunktion auf dem Intervall $I=[0;4]$ berechnet wird.

  Lösung

  Wenn man den Inhalt einer Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnen will, so kann man wie folgt vorgehen:

  1. Zunächst bestimmt man die Schnittstellen der beiden Funktionen. Dies sind die Intervallgrenzen der betrachteten Fläche.
  2. Dann wird für jede der beiden betrachteten Funktionen mithilfe der Flächeninhaltsfunktion der Inhalt der Fläche ermittelt, den der jeweilige Graph mit der x-Achse in dem zugehörigen Intervall einschließt.
  3. Zuletzt wird die Differenz der beiden Flächeninhalte bestimmt.

• Bestimme den von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächeninhalt.

  Tipps

  Zur Berechnung der Schnittstellen setzt du die beiden Funktionsgleichungen gleich.

  Du erhältst eine quadratische Gleichung, welche du durch Ausklammern von $x$ lösen kannst.

  Die Flächeninhaltsfunktion der quadratischen Funktion ist gegeben durch

  $A_0(x)=\frac13x^3-x^2+2x$.

  Du erhältst den Flächeninhalt, den der Graph einer Funktion mit der x-Achse über dem Intervall $I=[0;a]$ einschließt, durch Einsetzen von $x=a$ in die Flächeninhaltsfunktion.

  Du kannst das Ergebnis der Flächenberechnung durch Abzählen der Rechtecke prüfen. Jedes Rechteck hat die Maßeinheit $1$ FE.

  Lösung

  Um das orange Flächenstück zu berechnen, müssen zunächst dessen Grenzen berechnet werden. Dies sind die Schnittstellen der beiden Funktionen. Diese werden gleichgesetzt:

  $\begin{array}{rclll} x^2-2x+2&=&2x+2&|&-2\\ x^2-2x&=&2x&|&-2x\\ x^2-4x&=&0\\ x(x-4)&=&0 \end{array}$

  Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist entweder $x=0$ oder $x-4=0$, was äquivalent ist zu $x=4$.

  Damit sind die Intervallgrenzen $I=[0;4]$ gegeben.

  Nun wird zu jeder der beiden Funktionen der Flächeninhalt berechnet, den diese Funktion mit der x-Achse über dem Intervall $I$ einschließt:

  • Zu $i(x)=x^2-2x+2$ ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3-x^2+2x$. Damit kann der gesuchte Flächeninhalt berechnet werden. Hierfür wird $x=4$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(4)=\frac134^3-4^2+2\cdot 4=\frac{40}3$ [FE].
  • Zu $k(x)=2x+2$ ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=x^2+2x$. Wie oben kann der gesuchte Flächeninhalt berechnet werden. Hierfür wird $x=4$ in die Flächeninhaltsfunktion eingesetzt: $A_0(4)=4^2+2\cdot 4=24$ [FE].

  Zuletzt wird von dem Flächeninhalt des oberen Graphen, der Geraden, der Flächeninhalt des unteren Graphen, der Parabel, subtrahiert. So erhält man den gesuchten Inhalt des orangen Flächenstücks:

  $24$ FE $-\frac{40}3$ FE $=\frac{32}3$ FE.

• Ermittle die Flächeninhaltsfunktion.

  Tipps

  Die Flächeninhaltsfunktion einer Konstanten

  $k(x)=c$

  ist gegeben durch

  $A_0(x)=cx$.

  Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen der Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ sowie der Randfunktion $f(x)$:

  $A_0'(x)=f(x)$.

  Merke dir: Die Flächeninhaltsfunktion zu

  • $l(x)=x$ ist $A_0(x)=\frac12x^2$
  • $q(x)=x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Lösung

  Wie der Name bereits vermuten lässt, benötigt man die Flächeninhaltsfunktion zur Bestimmung von Flächeninhalten.

  Diese kann bestimmt werden durch die Kenntnis einiger Flächeninhaltsfunktionen und durch einige Rechenregeln:

  • Die Flächeninhaltsfunktion der Summe (Differenz) zweier oder mehrerer Funktionen ist die Summe (Differenz) der Flächeninhaltsfunktionen der Funktionen.
  • Die Flächeninhaltsfunktion des Vielfachen einer Funktion ist das Vielfache der Flächeninhaltsfunktion dieser Funktion.

  Schauen wir uns die Randfunktionen einmal etwas genauer an:

  • $f(x)=\frac12x+3$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac12\cdot \frac12x^2+3x=\frac14x^2+3x$.
  • $g(x)=x^2+2x+2$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac13x^3+2\cdot\frac12x^2+2x=\frac13x^3+x^2+2x$.
  • $h(x)=\frac12x^2-2x+3$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=\frac12\cdot \frac13x^3-2\cdot \frac12x^2+3x=\frac16x^3-x^2+3x$.
  • $k(x)=4x-2$ hat die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=4\cdot \frac12x^2-2x=2x^2-2x$.

• Bestimme den Inhalt der Fläche, die von den beiden Funktionsgraphen eingeschlossen wird.

  Tipps

  Berechne zunächst die Schnittstellen der beiden Funktionen, dann die Flächeninhalte der jeweiligen Funktion und zuletzt die Differenz der Flächeninhalte.

  Die Flächeninhaltsfunktion einer konstanten Funktion $f(x)=c$ ist gegeben durch

  $A_0(x)=cx$.

  Wenn du einen Flächeninhalt über dem Intervall $I=[0;a]$ berechnen möchtest bei gegebener Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$, so ist dieser Flächeninhalt durch $A_0(a)$ gegeben.

  Merke dir die folgenden Flächeninhaltsfunktionen:

  • zu $x$ ist $A_0(x)=\frac12x^2$ und
  • zu $x^2$ ist $A_0(x)=\frac13x^3$.

  Lösung

  In diesem Beispiel werden noch einmal die einzelnen Schritte betrachtet, welche durchgeführt werden müssen, um ein eingeschlossenes Flächenstück zu berechnen:

  Schnittstellen

  Die beiden Funktionen werden gleichgesetzt:

  $\begin{array}{rclll} \frac12x^2-2x+4&=&4&|&-4\\ \frac12x^2-2x&=&0\\ \frac12x(x-4)&=&0 \end{array}$

  Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist entweder $x=0$ oder $x-4=0$. Die Schnittstellen sind damit $x=0$ sowie $x=4$. Dies sind die Intervallgrenzen.

  Nun wird zu jeder der beiden Funktionen der Flächeninhalt berechnet, den diese Funktion mit der x-Achse über dem Intervall $I$ einschließt:

  $q(x)=\frac12x^2-2x+4$.

  • Die Flächeninhaltsfunktion lautet: $A_0(x)=\frac12\cdot \frac13x^3-2\cdot \frac12x^2+4x=\frac16x^3-x^2+4x$.
  • Nun wird $x=4$ in diese Funktion eingesetzt: $A_0(4)=\frac164^3-4^2+4\cdot 4=\frac{32}3$ [FE].

  $k(x)=4$

  • Hier ist die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)=4x$.
  • Wieder wird $x=4$ in diese Funktion eingesetzt: $A_0(4)=4\cdot 4=16$ FE.

  Zuletzt wird die Differenz der beiden Flächeninhalte gebildet:

  $16$ FE $-\frac{32}3$ FE $=\frac{16}3$ FE.

• Gib an, welche Funktion benötigt wird, um einen Flächeninhalt zu berechnen.

  Tipps

  Sei $f(x)=\frac13x+2$, dann ist

  $f'(x)=\frac13$

  die Ableitung(sfunktion) dieser Funktion.

  Schnittstellen von Funktionsgraphen werden durch Gleichsetzen der beiden Funktionsgleichungen bestimmt.

  Es gibt keine Schnittstellenfunktion.

  Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion: Eine Parabelfunktion gibt es nicht.

  Eine Gerade ist der Graph einer linearen Funktion: Eine Geradenfunktion gibt es nicht.

  Lösung

  Hier ist das Beispiel der linearen Funktion $f(x)=\frac13x+2$ zu sehen. Rot markiert ist die Fläche, welche von dem Graphen der Funktion sowie der x-Achse über dem Intervall $I=[0;4]$ eingeschlossen wird.

  Hierfür bestimmt man die Flächeninhaltsfunktion von $f(x)$. Diese ist

  $A_0(x)=\frac16x^2+2x$.

  Zuletzt setzt man die rechte Intervallgrenze in die Flächeninhaltsfunktion ein:

  $A_0(4)=\frac16 \cdot 4^2+2\cdot 4=\frac{32}3$.

  Die linke Intervallgrenze $x=0$ muss übrigens nicht extra eingesetzt werden, weil der resultierende Wert immer $0$ ist. Dies gilt nur für eine linke Intervallgrenze $x=0$.

• Berechne den Flächeninhalt des Grundstückes.

  Tipps

  Beachte, dass die linke Intervallgrenze nicht $0$ ist.

  Hier ist zu sehen, wie das Flächenstück über dem Intervall $I=[2;5]$ berechnet wird.

  Natürlich kannst du die Schnittstellen (x-Koordinaten) ablesen. Du solltest diese jedoch durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen berechnen.

  Die Flächeninhaltsfunktion von $l(x)$ ist gegeben durch

  $A_0(x)=\frac12x^2+x$.

  Lösung

  Zunächst werden die Schnittstellen der beiden Funktionen berechnet. Hierfür werden diese gleichgesetzt:

  $\begin{array}{rclll} x^2-4x+5&=&x+1&|&-1\\ x^2-4x+4&=&x&|&-x\\ x^2-5x+4&=&0\\ (x-4)(x-1)&=&0 \end{array}$

  Da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird, ist entweder $x-4=0$, also $x=4$, oder $x-1=0$, also $x=1$.

  Damit sind die Intervallgrenzen $I=[1;4]$ gegeben.

  Da mithilfe der Flächeninhaltsfunktionen immer Flächen von $0$ bis ... berechnet werden, muss ein „Trick“ angewendet werden: Um den Flächeninhalt über dem Intervall $I=[1;4]$ zu berechnen, berechnet man

  • den Flächeninhalt über $[0;4]$, also $A_0(4)$ sowie
  • den über $[0;1]$, also $A_0(1)$, und
  • bildet in der Reihenfolge die Differenz: $A_0(4)-A_0(1)$.

  Berechnung des jeweiligen Flächeninhalts

  $l(x)=x+1$

  • $A_0(x)=\frac12x^2+x$
  • $A_0(4)=8+4=12$ FE
  • $A_0(1)=1+\frac12=1,5$ FE
  • $A_0(4)-A_0(1)=\frac{21}2=10,5$ FE

  $q(x)=x^2-4x+5$

  • $A_0(x)=\frac13x^3-2x^2+5x$
  • $A_0(4)=\frac{64}3-32+20=\frac{28}3$ FE
  • $A_0(1)=\frac13-2+5=\frac{10}3$ FE
  • $A_0(4)-A_0(1)=\frac{18}3=6$ FE

  Zuletzt wird von dem Flächeninhalt des oberen Graphen, der Geraden, der Flächeninhalt des unteren Graphen, der Parabel, subtrahiert. So erhält man den gesuchten Inhalt des orangefarbenen Flächenstücks:

  $\frac{21}2$ FE $-6$ FE $=\frac{9}2$ FE.