Flächen zwischen Funktionsgraphen – Beispiele (2)

Hallo,

in diesem Video wollen wir Flächen berechnen, die durch mehr als 2 Schnittpunkte festgelegt sind. So wie die hier z. B.. Legen wir gleich mal los. In der 1. Aufgabe geht es um die Fläche, die vollständig, von den Graphen der Funktionen f(x)=x³-4x²+5/2x+2 und g(x)=-1/2x+2, begrenzt wird. Als 1. genau, guckt man sich den Graphen an, ihr könnt euch den natürlich auch auf dem Taschenrechner angucken. f ist eine Funktion 3. Grades und g ist eine Gerade. Unsere Fläche setzt sich also aus diesen beiden Teilen zusammen. Zwischen diesen beiden Punkten hat die Funktionen f, größere Werte und in diesem Bereich hat die Funktion g größere Werte. Das heißt, wenn wir die Differenz, der Funktionen, über das ganze Intervall integrieren würden, würden wir teilweise positive und teilweise negative Werte kriegen. Und die Flächen würden sich gegenseitig ein bisschen aufheben. Deswegen müssen wir unser Integral aufteilen. Und damit wir wissen, wo wir es unterteilen müssen, müssen wir erst mal die Schnittstellen der Funktion bestimmen. Dazu setzen wir die Funktionsterme gleich, formen um in eine Gleichung 3. Grades in x und die hat die Lösungen x1=0, x2=1 und x3=3. Das sind also unsere Schnittstellen. Und dann können wir für jedes Intervall ein einzelnes Intervall aufstellen. Und das Integral geht immer über die Differenz der beiden Funktionen. Weil es ja um die Fläche zwischen den beiden Graphen geht. So, der Term hier oben ist schon die Differenz der beiden Funktionen. Der wird integriert von 0 bis 1 und dann machen wir noch den Betrag drum, dann brauchen wir uns nicht darum kümmern, welche Funktion wir von welcher abgezogen haben. Und dann addieren wir dazu den Betrag des Integrals von 1 bis 3, von der gleichen Funktion. o. k., die Stammfunktion ist x⁴/4-4/3x³+3/2x² einmal in den Grenzen 0 bis 1 und dann noch mal in den Grenzen von 1 bis 3. Wir setzen die 1 ein, dann werden die x-Potenzen alle zu 1, und wenn wir die 0 einsetzen, wird alles zu 0. Dann setzen wir die 3 ein -(1/4-4/3+3/2). Vorne ergibt sich |5/12| und hinten |-32/12|. Also erhalten wir 3 1/12 als Gesamtfläche. Ich habe jetzt hier das rechnen ein bisschen abgekürzt, aber mir ging es eigentlich hauptsächlich um das Aufstellen des Integrals. In der 2. Aufgabe berechnen wir die Fläche, die vollständig von den Graphen von f(x)=1/4x²+2, g(x)=x²-1 und h(x)=x+1 begrenzt wird. Als 1. zeichnen wir die Graphen. Und da sieht die Situation jetzt so aus. Links habe ich noch die Funktionsterme, entsprechend der Farben der Graphen, markiert. Die Fläche, die von allen 3 begrenzt wird, ist diese grüne hier. So, jetzt haben wir 3 Funktionen, nicht wie sonst 2. Was machen wir denn jetzt? In dem Bereich von diesem Schnittpunkt, bis hier hin, wird die Fläche ja nur von dem schwarzen und dem blauen Graphen begrenzt. Und in dem Bereich rechts von der roten Markierung, nur von dem schwarzen und dem roten Graphen. Das heißt, wir bestimmen jetzt die Intervalle, in denen die Fläche jeweils nur durch 2 Graphen begrenzt ist. Dann können wir nämlich den gesamten Bereich, in diese Intervalle unterteilen und für jedes einzelne Intervall, wissen wir, wie wir integrieren müssen. Weil wir da nur 2 Graphen haben. Das linke Teilintervall wird durch diese beiden Schnittpunkte bestimmt. Dabei gehört der 1. Punkt zur Schnittstelle von f und g und der 2. zu der Schnittstelle von g und h. Für das 2. Intervall brauchen wir dann auch noch die Schnittstelle von f und h. So, die Schnittstellen kann man dann wieder, durch Gleichsetzen und umformen, ausrechnen. Hier haben wir x1=-2, x2=-1 und x3=2. Und jetzt stellen wir für jedes Intervall, das Integral über die Differenz der beiden beteiligten Funktionen, auf. Die Differenz deswegen, weil es ja um den Zwischenraum geht. Bei dieser Fläche integrieren wir von -2 bis -1, über die Differenz von f und g. Die Differenz als Funktionsterm ist -3/4x²+3 und die Stammfunktion ist dann =-3/4×3x³+3x in den Grenzen von -2 bis -1. Der Term wird noch vereinfacht. Dann setzen wir -1 ein, das gibt dann also =(1/4-3)-(8/4-6) und das ergibt dann für die linke Teilfläche =5/4 Flächeneinheiten. Für die rechte Fläche brauchen wir die Differenz von f und h, in den Grenzen von -1 bis 2. Der Term der Differenz ist =x²/4-x+1 und die Stammfunktion ist dann =x³/3×4-x²/2+x. Dann setzen wir die 2 ein. Also =(8/3×4-4/2+2)-(-1/12-1/2-1). Das ergibt dann 9/4 für die 2. Teilfläche, sodass wir insgesamt 7/2 Flächeneinheiten, für die gesamte Fläche erhalten.

Ja, das war es erst mal und ich hoffe und denke ja mal, dass ihr jetzt so jede Fläche meistern könnt. Bis zum nächsten Mal.