Flächen zwischen Funktionsgraphen – Beispiele (1)

Hallo! In diesem Video wollen wir die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen berechnen. Die Aufgabe lautet: Berechne die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f(x)=x²-7x+13 und g(x)=-x+5x-3 eingeschlossen wird. So, wie wir das schon bei der Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse gesehen haben, machen wir uns erst mal einen Überblick, indem wir uns den Graphen anschauen und gucken, welche Fläche denn gemeint sein könnte. So, das kann also hier eigentlich nur diese Fläche sein. Jetzt ist die Frage: Wie rechnet man die aus? Wir haben ja bisher schon mit Integralen gearbeitet, aber wir haben immer nur Flächen zwischen dem Graphen und der x-Achse berechnet und die Situation hier ist ja schon ein bisschen schwieriger. Was wir allerdings können ist, diese große grüne Fläche berechnen, denn das ist ja die Fläche, die von dem blauen Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird. Und die grüne Fläche hier unten können wir auch berechnen, denn die wird ja von dem schwarzen Graphen und der x-Achse eingeschlossen. Und die rote Fläche wäre dann eben dann die große grüne minus die kleine grüne. Sowohl die große als auch die kleine grüne Fläche werden von den Stellen begrenzt, wo die beiden Graphen sich schneiden. Das heißt, um später die Integrationsgrenzen zu kennen, müssen wir erst mal die Schnittstellen von den Funktionen f und g ausrechnen. Dazu setzt man die Funktionen gleich, also x²-7x+13=-x²+5x-3. Wenn man das umformt, ist das eine quadratische Gleichung in x und die kann man dann so umformen, dass man die p-q-Formel anwenden kann. Und in diesem Fall kommt man dann auf die beiden Stellen x1=2 und x2=4, so wie ich das im Graphen schon ein bisschen suggeriert habe. Die große grüne Fläche dann wäre dann also ? von 2 bis 4 von (-x²+5x-3)dx. Den Betrag lasse ich hier erst mal weg, weil ich ja sehe, dass die Werte alle positiv sind. Die kleine grüne Fläche wäre ? von 2 bis 4 von(x²-7x+13)dx. Auch hier lasse ich die Beträge erst mal weg. Und was ich jetzt ausrechnen will, ist ja die Differenz. Und dann kann ich aber die Differenz der beiden Funktionen, also (-2x²+12x-16) in ein Integral schreiben, denn ich kann die Summenregel für Integrale anwenden und die Integrationsgrenzen sind ja gleich. Jetzt habe ich also hier im Prinzip die Differenz der beiden Funktionen stehen: g-f. Das kann man sich ganz gut vorstellen. Das ist immer dieser Abstand hier - die Verbindung von dem oberen Graphen zu dem unteren. So, jetzt will ich mal demonstrieren, wie man sich das vorstellen kann, was da in dem Integral steht. Und zwar, das hier ist die blaue Fläche. Die besteht aus ganz vielen senkrechten Strichen und jeder Strich ist immer die Differenz zwischen dem oberen Graphen und dem unteren. Und wenn ich jetzt jede einzelne Differenz nach unten schiebe auf die x-Achse, dann kriege ich genau die Funktion, die unten in dem Integral steht, und die Fläche ist ja die gleiche. Wir haben ja quasi minimal dünne Streifen nach unten geschoben, aber die Gesamtfläche ist die gleiche wie oben. Und unten steht eben das Integral von 2 bis 4 über genau diese Funktion. So, was ich eigentlich damit sagen wollte, ist, anstatt die Differenz der beiden Integrale zu berechnen, berechnet lieber das Integral der Differenz der Funktionen. Ihr müsst nämlich sonst 2 Integrale ausrechnen, das heißt zwei Stammfunktionen bestimmen, zweimal alles einsetzen und so weiter. Und so bestimmt ihr einmal am Anfang die Differenz und braucht dann nur eine Stammfunktion bestimmen, einmal einsetzen und es spart auf jeden Fall Zeit. Das Einzige, was ihr da beachten müsst, ist, dass die Differenz der Funktionen in dem Bereich, wo ihr integriert, wirklich immer positiv ist. Also die eine Funktion muss in dem ganzen Bereich größer sein als die andere. Und dann rechnet ihr eben die obere Funktion minus die untere und integriert das. Im Prinzip könntet ihr auch die untere minus die obere nehmen, dann würde genau die gleiche Fläche, aber mit einem Minus davon, rauskommen. Dann bräuchtet ihr halt nur noch einen Betrag außen um das Integral zu machen. So, um jetzt mal zurückzukommen, der 2. Schritt ist also: Integriere g(x)-f(x) zwischen den Schnittstellen. So, das machen wir jetzt. Unsere Stammfunktion ist [-2/3x³+6x²-16x] in den Grenzen von 2 bis 4. Dann setzen wir also ein -2/3×4³+6×4²-16×4-(-2/3×2³+6×2²-16×2). Okay, und das ergibt dann 8/3 Flächeneinheiten. Und damit ist das Video zu Ende. Bis zum nächsten Mal!