Flächen unter Funktionsgraphen – Beispiele

In diesem Video wollen wir anhand von 2 Beispielen die Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse berechnen. Wir haben folgende Aufgabe: Berechne die Fläche, die der Graph der Funktion f(x)=x⁴-5x²+4 mit der x-Achse im Bereich [0;2] einschließt. Als 1. verschafft man sich einmal einen Überblick über die Situation. Das heißt wie sieht die Funktion überhaupt aus, wie sieht sie in dem betreffenden Intervall aus und welche Fläche könnte gemeint sein? Man sollte sich also den Graphen zeichnen, wenn man ihn nicht schon hat, oder lässt ihn sich vom Taschenrechner anzeigen, das geht auch. Bei uns sieht der Graph jetzt so aus. Der Bereich von 0 bis 2 ist dieser, d.h. die Fläche, die da eingeschlossen wird, ist hier die, und zwischen 1 und 2, diese Fläche. Man sieht, dass immer da, wo eine Nullstelle ist, eine neue Fläche anfängt. Die Nullstellen begrenzen also untereinander die benachbarten Flächenstücke. Und deswegen muss man erst mal alle Nullstellen im dem angegebenen Bereich bestimmen und das Intervall dementsprechend aufteilen. Wir haben im Bereich [0;2] die Nullstellen 1 und 2, das heißt wir teilen das Intervall [0;2] auf, in das Intervall [0;1] und das Intervall [1;2] und dann berechnen wir die Flächen über diesen beiden Intervallen einzeln: D. h. wir berechnen den Betrag des Integrals von 0 bis 1 von der Funktion + Betrag des Integrals von 1 bis 2 von der Funktion. Das erste Integral berechnet den Inhalt der Fläche A1 und das Zweite den der Fläche A2. Dies war schon der 3. Schritt, nämlich das Integral aufstellen und jetzt müssen wir es nur noch ausrechnen. Die Beträge bleiben stehen, dann machen wir eine eckige Klammer und die Stammfunktion ist [1/5x⁵-5/3x³+4x] und dann schreiben wir noch die Grenzen 0 und 1 dran. Hier hab ich jetzt die Integrationsregeln für Potenzfunktionen angewandt. Und dann kommt noch einmal die gleiche Stammfunktion in die Grenzen 1 bis 2. Dann setzen wir in den Term in der eckigen Klammer überall eine 1 ein, da werden also die x-Potenzen alle zu 1, und wenn wir dann die 0 einsetzen kommt, überall 0 raus, also ziehen wir 0 ab. Dann kommt die 2. Fläche, da setzen wir 2 ein. 2⁵=32, 2³=8×5=40 und 4×2=8, eckige Klammer zu, dann -, eckige Klammer auf und überall noch mal die 1 einsetzen. Und dann hinten wieder eckige Klammer zu und Betrag zu. So und das ergibt dann Betrag von 38/15 + Betrag von -22/15, also 38/15+22/15 und das ist 4. Die Fläche beträgt also 4 Flächeneinheiten.   Als Nächstes wollen wir die Fläche berechnen, die der Graph der Funktion f(x)=x³-2x²-x+2 mit der x-Achse einschließt. Hier ist jetzt also noch nicht mal ein Intervall angegeben, das heißt, wir müssen uns auf jeden Fall den Graphen anschauen, also wieder zeichnen oder anzeigen lassen, um zu sehen, welche Fläche denn da gemeint sein könnte und vor allem, was die begrenzenden Stellen der einzelnen Flächenstücke sind. Hier kann also nur diese Fläche gemeint sein. Und um die Grenzstellen der Flächenstücke herauszufinden, müssen wir die 0-Stellen bestimmen. Hier ist jetzt also noch nicht mal ein Intervall angegeben, das heißt, wir müssen uns auf jeden Fall den Graphen anschauen, also wieder zeichnen oder anzeigen lassen, um zu sehen, welche Fläche denn da gemeint sein könnte und vor allem, was die begrenzenden Stellen der einzelnen Flächenstücke sind. Und jetzt kommt wieder der Teil wo wir dann die Stammfunktion finden und rechnen müssen. A = Betrag des Integrals von -1 bis 1 von der Funktion +Betrag des Integrals von 1 bis 2 von der Funktion. Die Stammfunktion ist 1/4x⁴-2/3x³-x²/2+2x in den Grenzen von -1 bis 1, und den Betrag drum herum machen. So dann also + die gleiche Stammfunktion in den Grenzen 1 bis 2. Noch mal zur Stammfunktion: ich nehme also immer die Hochzahl +1 und teile dann durch diese neue Hochzahl. Dann setzen wir in den Term 1 ein, da werden die x-Potenzen alle zu 1, dann - Klammer auf, und überall -1 einsetzen. Da haben wir also 1/4+2/3-1/2-2 - wegen x¹. Klammer zu, Betrag zu.  Dann + und den neuen Betrag aufmachen. Da setzen wir überall 2 ein, 2⁴=16, 2³=8×2=16, 2²=4 uns 2×2=4- Klammer auf und dann noch mal überall 1 einsetzen. Am Schluss noch mal Deckel draufmachen und dann sind wir fast fertig. In dem vorderen Betrag ergibt sich 8/3, im hinteren -5/12 und das ergibt dann 37/12 bzw. 3 1/12 Flächeneinheiten. Gut, das wars und beim nächsten Mal schauen wir uns Flächen an, die etwas schwieriger begrenzt sind. Bis dahin!