Fibonacci-Zahlen – Das Problem

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Fibonacci-Zahlen – Das Problem
Herzlich Willkommen! In folgendem Video befassen wie uns mit der Fibonacci Zahlenfolge. Zu Begin werden dir der Unterschied zwischen einer expliziten und implizite Zahlenfolge an einem Bsp. verdeutlich. Im Anschluss werden wir das sog. „ Kaninchenproblem “ behandeln und untersuchen, was das Problem mit der Fibonacci - Zahlenfolge zu tun hat. Wir wollen davon ausgehen, dass wir ein Pärchen von Kaninchen haben. Sie sollen nach zwei Monaten zeugungsfähig sein. Jedem Monat wird ein weibliches und männliches Kaninchen geboren. Wie viel Kaninchen gibt es nach einem Monat, zwei Monaten und n - Monaten? Was haben die Geburten mit der Fibonacci - Folge zu tun? Finde es heraus!
Fibonacci-Zahlen – Das Problem Übung
-
Beschreibe, was rekursive und explizite Darstellungen von Folgen sind.
TippsSowohl die rekursive als auch die explizite Darstellung der Folgen führen zu denselben Folgegliedern.
- Ein Synonym für „rekursiv“ ist „zurückführend“.
- Eine explizite Darstellung ist eine direkte Darstellung.
LösungRekursive Darstellung
In einer rekursiven Darstellung einer Folge werden Folgeglieder mit Hilfe vorhergehender Folgeglieder beschrieben.
Hier siehst du ein Beispiel: $a_{n+1}=a_n+2$. Du musst dann in diesem Beispiel ein Folgeglied kennen und schon geht es los. Zum Beispiel sei $a_0=3$.
Dann ist $a_1=a_0+2=3+2=5$, $a_2=a_1+2=5+2=7$, ...
Der Nachteil dieser Darstellung liegt darin, dass du die ersten $400$ Folgeglieder berechnet haben musst, um das $401.$ Folgeglied zu berechnen.
Dies ist bei expliziten Darstellungen nicht der Fall.
Explizite Darstellung
In einer expliziten Darstellung wird ein Folgeglied direkt in Abhängigkeit des Folgeindizes $n$ angegeben.
Schau dir noch einmal die obige Formel sowie die ersten Folgenglieder an: $a_{n+1}=a_n+2$ mit $a_0=3$, also
- $a_0=3=3+0\cdot 2$,
- $a_1=5=3+1\cdot 2$,
- $a_2=7=3+2\cdot 2$,
- $a_3=9=3+3\cdot 2$.
-
Gib eine rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge an.
TippsAddiere doch einmal $a_1$, $a_2$ und $a_3$.
Du kannst jede der Aussagen direkt überprüfen.
Übrigens: Das nächste Folgeglied in der Fibonacci-Folge ist $a_6=8$.
LösungDu kennst bereits einige Folgeglieder der Fibonacci-Folge: $a_0=0$; $a_1=1$; $a_2=1$; $a_3=2$; $a_4=3$; $a_5=5$.
Fällt dir etwas auf?
- $a_0+a_1=0+1=1=a_1$
- $a_1+a_2=1+1=2=a_3$
- $a_2+a_3=1+2=3=a_4$
- $a_3+a_4=2+3=5=a_5$
Damit kannst du auch schon $a_6=a_4+a_5=3+5=8$ berechnen.
Die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge lautet somit $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ mit $a_0=0$ und $a_1=1$.
-
Ermittle weitere Folgeglieder der Fibonacci-Folge.
TippsHier siehst du die ersten Folgenglieder: $a_0=0$, $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=2$, $a_4=3$, $a_5=5$ und $a_6=8$.
Du benötigst für die folgende Rechnung nur $a_5$ sowie $a_6$.
Beachte, dass die Folgeglieder immer größer werden.
Addiere immer die letzten beiden bekannten Folgeglieder.
LösungDu kennst die Rekursionsformel $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ sowie $a_0=0$ und $a_1=1$ für die Fibonacci-Folge.
Damit kannst du die Folgeglieder berechnen:
Verwende $a_5=5$ sowie $a_6=8$.
- $a_7=a_6+a_5=8+5=13$
- $a_8=a_7+a_6=13+8=21$
- $a_9=a_8+a_7=21+13=34$
- $a_{10}=a_9+a_8=34+21=55$
-
Leite eine explizite Darstellungsform der Folge her.
TippsZweierpotenzen haben die Form $2^k$. Dabei ist $k$ der Exponent.
Überprüfe die explizite Darstellung an einigen Folgegliedern.
LösungEs gibt leider kein allgemein gültiges „Rezept“, um eine rekursive Darstellung in eine explizite umzuformen.
Eine Möglichkeit ist, dass du dir einige Folgeglieder anschaust. Vielleicht erkennst du eine Regelmäßigkeit. Diese kannst du dann verwenden, um eine explizite Darstellung der Folge anzugeben.
Das schauen wir uns einmal an dem obigen Beispiel an: $a_{n+1}=2a_n$ mit $a_0=3$. Schreibe zunächst einige Folgeglieder auf:
- $a_0=3$,
- $a_1=2\cdot a_0=2\cdot 3=6$,
- $a_2=2\cdot a_1=2\cdot 6=12$,
- $a_3=2\cdot 12=24$ und
- $a_4=2\cdot 24=48$.
- $a_0=3=3\cdot 1=3\cdot 2^0$,
- $a_1=6=3\cdot 2=3\cdot 2^1$,
- $a_2=12=3\cdot 4=3\cdot 2^2$,
- $a_3=24=3\cdot 8=3\cdot 2^3$ und
- $a_4=48=3\cdot 16=3\cdot 2^4$.
-
Berechne die Folgeglieder der Fibonacci-Folge.
TippsDu verwendest für die Berechnung jedes Folgegliedes $a_n$ ab $n=2$ die beiden vorhergehenden Folgeglieder. Diese addierst du.
Zum Beispiel ist $a_7=a_6+a_5=8+5=13$.
LösungDie rekursiv definierte Folge $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ mit $a_0=0$ und $a_1=1$ ist bekannt als die Fibonacci-Folge.
Hier kannst du noch einmal ausführlich sehen, wie du diese Rekursion verwendest:
- $a_2=a_1+a_0=1+0=1$
- $a_3=a_2+a_1=1+1=2$
- $a_4=a_3+a_2=2+1=3$
- $a_5=a_4+a_3=3+2=5$
- $a_6=a_5+a_4=5+3=8$
-
Berechne einige Folgeglieder.
TippsDa es zu aufwändig wäre, alle Folgeglieder bis zu dem gesuchten zu berechnen, ist es sinnvoller, nach einer expliziten Darstellung zu suchen.
Es ist $a_1=1$; $a_2=4$; $a_3=7$.
Schreibe jedes Folgeglied in der Form „$...=...-2$“.
Zum Beispiel ist $a_{12}=34=36-2$.
LösungIn dieser Aufgabe ist es sinnvoll, eine explizite Darstellung zu suchen. Warum? Wenn du zum Beispiel das $10000.$ Folgeglied berechnen willst, musst du bei der rekursiven Darstellung auch das $9999.$ kennen und damit das $9998.$, usw. Das ist sehr viel Aufwand.
Schreibe zur Herleitung der expliziten Darstellung die ersten Folgeglieder auf:
- $a_0=-2$,
- $a_1=a_0+3=-2+3=1$,
- $a_2=a_1+3=1+3=4$,
- $a_3=7$.
- $a_0=-2=0-2=0\cdot 3-2$,
- $a_1=1=3-2=1\cdot 3-2$,
- $a_2=4=6-2=2\cdot 3-2$,
- $a_3=7=9-2=3\cdot 3-2$.
Damit kannst du für beliebige $n$ die Folgeglieder berechnen:
- $a_{111}=3\cdot 111-2=333-2=331$,
- $a_{500}=3\cdot 500-2=1500-2=1498$,
- $a_{1234}=3\cdot 1234-2=3702-2=3700$ und
- $a_{10000}=3\cdot 10000-2=30000-2=29998$.
4.892
sofaheld-Level
6.572
vorgefertigte
Vokabeln
8.833
Lernvideos
38.596
Übungen
34.747
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion
- Natürliche Zahlen
- Brüche dividieren
Dieses Video ist wirklich sehr hilfreich!!!!!