Fibonacci-Zahlen – Das Problem

Fibonacci-Zahlen – Das Problem Übung

• Beschreibe, was rekursive und explizite Darstellungen von Folgen sind.

  Tipps

  Sowohl die rekursive als auch die explizite Darstellung der Folgen führen zu denselben Folgegliedern.

  • Ein Synonym für „rekursiv“ ist „zurückführend“.
  • Eine explizite Darstellung ist eine direkte Darstellung.

  Lösung

  Rekursive Darstellung

  In einer rekursiven Darstellung einer Folge werden Folgeglieder mit Hilfe vorhergehender Folgeglieder beschrieben.

  Hier siehst du ein Beispiel: $a_{n+1}=a_n+2$. Du musst dann in diesem Beispiel ein Folgeglied kennen und schon geht es los. Zum Beispiel sei $a_0=3$.

  Dann ist $a_1=a_0+2=3+2=5$, $a_2=a_1+2=5+2=7$, ...

  Der Nachteil dieser Darstellung liegt darin, dass du die ersten $400$ Folgeglieder berechnet haben musst, um das $401.$ Folgeglied zu berechnen.

  Dies ist bei expliziten Darstellungen nicht der Fall.

  Explizite Darstellung

  In einer expliziten Darstellung wird ein Folgeglied direkt in Abhängigkeit des Folgeindizes $n$ angegeben.

  Schau dir noch einmal die obige Formel sowie die ersten Folgenglieder an: $a_{n+1}=a_n+2$ mit $a_0=3$, also

  • $a_0=3=3+0\cdot 2$,
  • $a_1=5=3+1\cdot 2$,
  • $a_2=7=3+2\cdot 2$,
  • $a_3=9=3+3\cdot 2$.

  Du addierst also jeweils zu $3$ das $n$-fache von $2$. Dies führt zu der expliziten Darstellung $a_n=2n+3$.

• Gib eine rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge an.

  Tipps

  Addiere doch einmal $a_1$, $a_2$ und $a_3$.

  Du kannst jede der Aussagen direkt überprüfen.

  Übrigens: Das nächste Folgeglied in der Fibonacci-Folge ist $a_6=8$.

  Lösung

  Du kennst bereits einige Folgeglieder der Fibonacci-Folge: $a_0=0$; $a_1=1$; $a_2=1$; $a_3=2$; $a_4=3$; $a_5=5$.

  Fällt dir etwas auf?

  • $a_0+a_1=0+1=1=a_1$
  • $a_1+a_2=1+1=2=a_3$
  • $a_2+a_3=1+2=3=a_4$
  • $a_3+a_4=2+3=5=a_5$

  Richtig: Wenn du zwei aufeinanderfolgende Folgeglieder addierst, erhältst du das nächste Folgeglied.

  Damit kannst du auch schon $a_6=a_4+a_5=3+5=8$ berechnen.

  Die rekursive Darstellung der Fibonacci-Folge lautet somit $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ mit $a_0=0$ und $a_1=1$.

• Ermittle weitere Folgeglieder der Fibonacci-Folge.

  Tipps

  Hier siehst du die ersten Folgenglieder: $a_0=0$, $a_1=1$, $a_2=1$, $a_3=2$, $a_4=3$, $a_5=5$ und $a_6=8$.

  Du benötigst für die folgende Rechnung nur $a_5$ sowie $a_6$.

  Beachte, dass die Folgeglieder immer größer werden.

  Addiere immer die letzten beiden bekannten Folgeglieder.

  Lösung

  Du kennst die Rekursionsformel $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ sowie $a_0=0$ und $a_1=1$ für die Fibonacci-Folge.

  Damit kannst du die Folgeglieder berechnen:

  Verwende $a_5=5$ sowie $a_6=8$.

  • $a_7=a_6+a_5=8+5=13$
  • $a_8=a_7+a_6=13+8=21$
  • $a_9=a_8+a_7=21+13=34$
  • $a_{10}=a_9+a_8=34+21=55$

• Leite eine explizite Darstellungsform der Folge her.

  Tipps

  Zweierpotenzen haben die Form $2^k$. Dabei ist $k$ der Exponent.

  Überprüfe die explizite Darstellung an einigen Folgegliedern.

  Lösung

  Es gibt leider kein allgemein gültiges „Rezept“, um eine rekursive Darstellung in eine explizite umzuformen.

  Eine Möglichkeit ist, dass du dir einige Folgeglieder anschaust. Vielleicht erkennst du eine Regelmäßigkeit. Diese kannst du dann verwenden, um eine explizite Darstellung der Folge anzugeben.

  Das schauen wir uns einmal an dem obigen Beispiel an: $a_{n+1}=2a_n$ mit $a_0=3$. Schreibe zunächst einige Folgeglieder auf:

  • $a_0=3$,
  • $a_1=2\cdot a_0=2\cdot 3=6$,
  • $a_2=2\cdot a_1=2\cdot 6=12$,
  • $a_3=2\cdot 12=24$ und
  • $a_4=2\cdot 24=48$.

  In jedem der Folgeglieder steckt der Faktor $3$. Der jeweils andere Faktor ist eine Zweierpotenz:

  • $a_0=3=3\cdot 1=3\cdot 2^0$,
  • $a_1=6=3\cdot 2=3\cdot 2^1$,
  • $a_2=12=3\cdot 4=3\cdot 2^2$,
  • $a_3=24=3\cdot 8=3\cdot 2^3$ und
  • $a_4=48=3\cdot 16=3\cdot 2^4$.

  Du siehst, der Folgeindex taucht immer als Exponent in der Zweierpotenz auf. Dies führt zu der expliziten Darstellung $a_n=3\cdot 2^n$.

• Berechne die Folgeglieder der Fibonacci-Folge.

  Tipps

  Du verwendest für die Berechnung jedes Folgegliedes $a_n$ ab $n=2$ die beiden vorhergehenden Folgeglieder. Diese addierst du.

  Zum Beispiel ist $a_7=a_6+a_5=8+5=13$.

  Lösung

  Die rekursiv definierte Folge $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ mit $a_0=0$ und $a_1=1$ ist bekannt als die Fibonacci-Folge.

  Hier kannst du noch einmal ausführlich sehen, wie du diese Rekursion verwendest:

  • $a_2=a_1+a_0=1+0=1$
  • $a_3=a_2+a_1=1+1=2$
  • $a_4=a_3+a_2=2+1=3$
  • $a_5=a_4+a_3=3+2=5$
  • $a_6=a_5+a_4=5+3=8$

• Berechne einige Folgeglieder.

  Tipps

  Da es zu aufwändig wäre, alle Folgeglieder bis zu dem gesuchten zu berechnen, ist es sinnvoller, nach einer expliziten Darstellung zu suchen.

  Es ist $a_1=1$; $a_2=4$; $a_3=7$.

  Schreibe jedes Folgeglied in der Form „$...=...-2$“.

  Zum Beispiel ist $a_{12}=34=36-2$.

  Lösung

  In dieser Aufgabe ist es sinnvoll, eine explizite Darstellung zu suchen. Warum? Wenn du zum Beispiel das $10000.$ Folgeglied berechnen willst, musst du bei der rekursiven Darstellung auch das $9999.$ kennen und damit das $9998.$, usw. Das ist sehr viel Aufwand.

  Schreibe zur Herleitung der expliziten Darstellung die ersten Folgeglieder auf:

  • $a_0=-2$,
  • $a_1=a_0+3=-2+3=1$,
  • $a_2=a_1+3=1+3=4$,
  • $a_3=7$.

  Schreibe nun jedes Folgeglied in der Form „$...-2$“:

  • $a_0=-2=0-2=0\cdot 3-2$,
  • $a_1=1=3-2=1\cdot 3-2$,
  • $a_2=4=6-2=2\cdot 3-2$,
  • $a_3=7=9-2=3\cdot 3-2$.

  Nun kannst du sicher die Regelmäßigkeit sehen: $a_n=3n-2$.

  Damit kannst du für beliebige $n$ die Folgeglieder berechnen:

  • $a_{111}=3\cdot 111-2=333-2=331$,
  • $a_{500}=3\cdot 500-2=1500-2=1498$,
  • $a_{1234}=3\cdot 1234-2=3702-2=3700$ und
  • $a_{10000}=3\cdot 10000-2=30000-2=29998$.