Extremwertaufgabe – Kürzester Laufweg

Hallo, liebe Fußballfreundinnen und Fußballfreunde und vielleicht auch Mathe-Interessierte.

Heute wieder ein Video zur Fußballweltmeisterschaft 2010. Das Video heißt " Messi rennt". Hier ist er, seht ihr ihn? Sieht doch aus wie er – ganz, ganz ähnlich. Nachdem in den beiden ersten Spielen Argentiniens Lionel Messi hervorragend gespielt, aber kein Tor erzielt hat, überlegt er sich, ob er vielleicht Maradonas Leistung von 1986 toppen kann. Er möchte Folgendes tun: Argentinien spielt von rechts nach links, wahrscheinlich in einem Spiel gegen die Niederlande. Und Messi beginnt am Elfmeterpunkt, der dicke blaue Punkt rechts. Er bewegt sich mit dem Ball am Fuß geradlinig bis zur Seitenauslinie. Dort macht er scharf kehrt und läuft schnurstracks auf den Elfmeterpunkt des gegnerischen Strafraums zu und dort wird man ja sehen. Eine Frage ist natürlich interessant: Wo muss der Punkt an der Seitenauslinie, hier orangefarben, dick gekennzeichnet sein, damit der gesamte Laufweg minimal wird, das heißt, damit er so wenig wie möglich, laufen muss.

Na, messen wir es doch einfach aus! Ich habe hier mal einige Punkte A, B, C und D an der Seitenauslinie festgelegt und wir bestimmen mit dem Lineal die Laufwege. Wir haben bereits im Video 1 gesehen, dass das Modell des grünen Kartons ganz ordentlich das Fußballfeld präsentiert, und deswegen möchte ich hier auch nur die Ergebnisse in cm angeben. Also, sollte er bis zum Punkt A laufen und dann weiter, ergibt sich ein Laufweg von 69 cm. Wenn er den Punkt B ansteuert, erhält er einen Laufweg von 66 cm. Beim Laufen über den Punkt C ergibt sich ein Gesamtweg von 66 cm. Und schließlich, wenn Messi über D läuft, muss er 72 cm im Modell zurücklegen.

Nun können wir Folgendes feststellen: 1. Die Laufwege sind offensichtlich verschieden, je nachdem, welcher Punkt an der Seitenauslinie angesteuert wird. 2. Man kann eine Vermutung äußern. Es gibt einen kürzesten Laufweg. Und 3. Es ist natürlich interessant zu wissen, welche Punkt an der Seitenauslinie angesteuert werden muss, damit der kürzeste Laufweg erreicht wird. Der Punkt, der uns den kürzesten Laufweg liefert, möchten wir nun durch Rechnung bestimmen.

Berechnung des kürzesten Laufweges: Zunächst zeichnen wir eine Skizze und tragen die Größen ein, die wir berechnen wollen und jene, die wir bereits kennen. Das Spielfeld ist ein Rechteck. Durch die beiden Punkte werden die Elfmeterpunkte der beiden spielenden Mannschaften symbolisiert. Und das wäre einer der möglichen Laufwege Messis: l ist der Abstand zwischen den beiden Elfmeterpunkten. Die Höhe h im Dreieck ist die halbe Spielfeldbreite. r ist der rote Laufabschnitt und v entsprechend, der violette Laufabschnitt. S ist die Summe aus r und v. Der gesamte Laufweg, den Messi zurückzulegen hat.

Um die Laufwege r und v zu variieren, benötigen wir noch die Variable x, den einen Abschnitt von l. Der andere Abschnitt von l ist entsprechend: l-x. Ziel ist es, den gesamten Laufweg S als Funktion von x darzustellen, um sich zu überlegen, wann diese Funktion einen möglichst geringen Wert einnimmt. Also legen wir los: Es gilt nach dem Satz des Pythagoras in den rechten der beiden kleineren Dreiecke: x²+h²=r². Diese Gleichung verwenden wir, um daraus die Wurzel zu ziehen. Wir erhalten \sqrt(x²+h²)0r. Genauso verwenden wir den Satz des Pythagoras für das linke der beiden kleineren Dreiecke. Wir erhalten somit: (l-x)²+h²=v². Wir ziehen wiederum die Wurzel und erhalten: \sqrt[(l-x)²+h²]=v. Somit ergibt sich für die gesuchte Funktion S: S=\sqrt(x²+h²)+\sqrt[(l-x)²+h²].

Wir wollen nun den kleinsten Wert für s bestimmen. Die notwendige Bedingung dafür ist, dass die Ableitungsfunktion von S, S'=0 wird. Wir arbeiten rechts unten weiter. Um s besser ableiten zu können, schreiben wir zunächst die Wurzeln in Potenzen um. Eine Quadratwurzel bedeutet für den Exponenten ½, also schreiben wir: S=(x²+h²)^½+[(l-x)²+h²]^½. Wir leiten nun s ab. S'= äußere Ableitung des 1. Terms. Der Exponent kommt nach vorne ½(x²+h²), der Exponent wird um 1 vermindert, ½. Dieser Ausdruck wird mit der inneren Ableitung multipliziert. Sie beträgt 2x. Wir leiten den 2. Term ab. Das geschieht analog. Der Exponent kommt als Faktor nach vorne. ½×, das gesamte Argument, also [(l-x)²+h²]-½, denn der Exponent wird um 1 vermindert. Wir multiplizieren nun diesen Ausdruck mit der inneren Ableitung und schreiben: ×2(l-x). Und diese muss wieder abgeleitet werden. Die Ableitung von -x=-1, wir schreiben also noch ein negatives Vorzeichen.

Wir können nun in beiden Teiltermen die Zweien gegeneinander kürzen. Auf der linken Seite schreibe ich nun auf, was eigentlich noch übrig bleibt. S'=x/\sqrt(x²+h²)-l-x/\sqrt[(l-x)²+h²]. Wir addieren nun auf beiden Seiten der Gleichung die rechte Seite, r. S. Was ich unter r. S. verstehe, habe ich durch eine geschweifte Klammer ausgedrückt. Somit ergibt sich, unten links: l-x/\sqrt[(l-x)²+h²]=x/\sqrt(x²+h²). Wir quadrieren die erhaltene Gleichung, unten links. Das können wir mit gutem Gewissen tun, denn auf beiden Seiten haben wir nur positive Ausdrücke. Wir erhalten somit auf der rechten Seite: (l-x)²/(l-x)²+h²=x²/x²+h². Die erhaltene Gleichung multiplizieren wir mit beiden Nennern. Damit fällt auf jeder Seite der Nenner der gegenüberliegenden Seite heraus und wir müssen den Rest mit dem Nenner der anderen Seite multiplizieren.

Also, Zeile darunter: (l-x)²×(x²+h²)=x²[(l-x)²+h²]. Wir multiplizieren nun teilweise aus und erhalten in der Zeile darunter: (l-x)²×x²+(l-x)²×h²=x²(l-x)²+x²×h². Und jetzt kommt der Augenblick, wo das Herz des Mathematikers lacht, denn links und rechts haben wir 2 größere Ausdrücke, die gleich sind, nämlich: (l-x)²×x². Die beiden können wir nur mit leichter Hand und mit roter Farbe herausstreichen. Die nunmehr abgespeckte Gleichung schreibe ich auf: (l-x)²×h²=x²×h². Wir dividieren beide Seiten der Gleichung durch h² und erhalten: (l-x)²=x². Nun wird die Wurzel gezogen. Da wir es nur mit positiven Werten zu tun haben, brauchen wir uns keine Gedanken über Zweitlösungen zu machen. Wir erhalten: l-x=x. Nun 2 Umformungen in einer Zeile: Wir addieren x, erhalten l=2x und dividieren durch 2, also l½ =x. Oder anders ausgedrückt: x=½l. Das heißt, der günstigste Punkt, der den kürzesten Laufweg garantiert, liegt genau in der Mitte.

Was bedeutet das für uns? Nun ja, wir könnten natürlich den Weg zwischen den beiden Elfmeterpunkten abmessen oder berechnen und dann den Mittelpunkt fixieren und nach unten gehen zur Seitenauslinie. Bequemer jedoch ist es, aus Symmetriegründen, genau die Mitte zwischen beiden Eckfahnen zu nehmen. Nach Dettmar Cramer ist das Spielfeld 105 m lang, also hat der Punkt einen Abstand von 52,5 m von der Eckfahne.

Wie groß ist nun unser x? Nun ja, wir können von den 52,5 m die 11 m bis zum Elfmeterpunkt abziehen und erhalten: x=51,5 m.

Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg – tschüss!