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Extremwertaufgabe – Schachtel

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Team Digital
Extremwertaufgabe – Schachtel
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Extremwertaufgabe – Schachtel

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Extremwertaufgaben wie das Schachtelproblem zu lösen.

Zunächst lernst du, wie sich aus den Angaben der Beispielaufgabe Haupt- und Nebenbedingungen ergeben und wie du aus solchen Überlegungen eine Zielfunktion aufstellen kannst.

Hauptbedingung und Nebenbedingungen

Anschließend wird gezeigt, wie aus der Zielfunktion mithilfe der ersten und zweiten Ableitung das Extremwertproblem gelöst werden kann. Abschließend erfährst du, wie du eine solche Lösung unter Berücksichtigung der Ränder des Definitionsbereichs interpretieren kannst.

Extremwertaufgabe lösen

Lerne, wie du das Volumen einer Schachtel zum Transport hilfloser Kätzchen optimieren kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Extremwertaufgabe, Extremwert, Extrema, Extremum, Maximum, Hochpunkt, Minimum, Tiefpunkt, Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Ableitung ist und wie man sie berechnet. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Extrema, also Hoch- und Tiefpunkten, haben und sowohl die notwendige als auch die hinreichende Bedingung für Extrema kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Extremwertprobleme und verschiedene Lösungswege kennenzulernen.

Transkript Extremwertaufgabe – Schachtel

Sieh dir diese süßen kleinen Kätzchen an! Aber um so viele kannst du dich unmöglich allein kümmern! Wie wär's, wenn du sie alle in deiner Nachbarschaft verteilst? Bloß wie transportiert man diesen wilden Haufen am besten? In der Mathematik beschränken wir uns gerne auf das Wesentliche und entwerfen eine simple Schachtel. Dieses Unterfangen erweist sich schnell als „Extremwertaufgabe“, denn die Schachtel soll möglichst groß werden, damit die kleinen Kätzchen auf ihrer Reise genug Platz haben. Wie es oft so ist, haben wir aber nur begrenztes Material zur Verfügung; nämlich nur ein großes Stück Karton. Daraus wird ruckzuck eine Schachtel, indem die Ecken ausgeschnitten, und die Seiten nach oben geklappt werden. Wie weit soll jetzt aber eingeschnitten werden? Wenn du nur wenig einschneidest, werden die Kätzchen zwar viel Platz auf einer großen Fläche haben, aber allzu leicht über die Seiten rausfallen! Wenn du viel einschneidest, passiert das nicht, allerdings wird dann auch der Platz auf dem Schachtelboden immer kleiner. Ein klassisches Optimierungsproblem! Die Schachtel soll nun so konzipiert werden, dass ihr „Volumen“ maximal groß wird, ausgehend von den gegebenen Maßen des Kartons. Unser Ziel muss also sein, eine Funktion für das Volumen der Schachtel aufzustellen und den Extremwert „x-Max“, also den Hochpunkt dieser „Zielfunktion“, zu berechnen, bei dem das Volumen maximal groß wird. Die gesuchte Funktion basiert dabei auf einer Formel; und zwar der zur Berechnung des Volumens eines einfachen Quaders: „V gleich Länge mal Breite mal Höhe“. Die Länge unserer Schachtel ergibt sich aus der Länge „L-K“ des Kartons. Die kennen wir, allerdings müssen wir davon die Stücke abziehen, die wir für die Ecken ausschneiden. Da wir noch nicht wissen, wie lang die Einschnitte für ein maximales Volumen sein müssen, bezeichnen wir diese mit „x“. Von diesem „x“ hängt letztendlich die Größe der Schachtel ab. Die Bodenlänge der Schachtel wird also „Neunzig minus zwei x“ sein. Die „Breite“ der Schachtel hängt in ähnlicher Weise von der Breite „B-K“ des Kartons ab, und wird am Ende „Achtundvierzig minus zwei x“ sein. Die Höhe der Schachtel ist gleich der Länge des Einschnitts x, denn die eingeschnittenen Seiten werden ja einfach nach oben geklappt. Nun können wir aus der „Hauptbedingung“, der Formel für das Volumen einer Schachtel, durch Einsetzen der „Nebenbedingungen“, also den Zusammenhängen der einzelnen Größen mit den gegebenen Maßen unseres Kartons, die „Zielfunktion“ aufstellen. Diese enthält nur noch „x“ und gegebene Größen. Jetzt wollen wir wissen, für welchen Wert von x die Zielfunktion einen maximalen Wert annimmt. Dazu multiplizieren wir den Funktionsterm aus, und berechnen die erste Ableitung der Funktion. Der gesuchte Extremwert „x-Max“ muss ja eine der Nullstellen der ersten Ableitung sein. Die Nullstellen finden wir mit der „P-Q-Formel“ oder der „Mitternachtsformel“, die nach vorsichtigem Einsetzen, und behutsamem Eintippen, zwei Lösungen liefert. Aber ist eine davon wirklich ein Hochpunkt? Das überprüfen wir mit der zweiten Ableitung, die schnell gebildet ist. Dort setzen wir beide Lösungen ein. Ist die zweite Ableitung kleiner Null an der fraglichen Stelle, handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist sie dagegen größer Null, haben wir es mit einem Tiefpunkt zu tun. Okay! Jetzt noch prüfen, ob unser Ergebnis sinnvoll interpretiert werden kann! Wenn wir den Karton um „x gleich Zehn Zentimeter“ einschneiden, erhalten wir mit der Zielfunktion ein maximales Volumen „V-max gleich 19600 Kubikzentimeter“. Das sind ungefähr zwanzig Liter. Wird eng im Karton, aber mehr Platz gibt's nicht für die Kätzchen. Hätten wir die andere Extremstelle gewählt, also einen Einschnitt um „Sechsundreißig Zentimeter“, gäb's neben der Tatsache, dass das ein Tiefpunkt ist, noch das Problem, dass wir den Karton gar nicht so weit auf beiden Seiten einschneiden könnten, da dieser ja nur Achtundvierzig Zentimeter breit ist. Wenn wir um „Vierundzwanzig Zentimeter“ einschneiden, erhalten wir schon das Volumen „Null“, da die Breite der Schachtel dann Null wird. Wenn wir „gar nicht“ einschneiden, ist die Höhe Null, und damit auch das Volumen. Durch das Betrachten dieser Randbereiche stellen wir sicher, dass unser gefundenes Maximum auch tatsächlich die einzig sinnvolle Lösung darstellt. Fassen wir unser Vorgehen nochmal zusammen: Bei einer „Extremwertaufgabe“ wird eine bestimmte Größe optimiert, wie hier das Volumen einer Schachtel, die von mehreren Bedingungen abhängt, wie hier den Abmessungen des Kartons. Die „Hauptbedingung“ ist die Formel, mit der die gesuchte Größe berechnet werden kann. Die „Nebenbedingungen“ enthalten die gegebenen Größen und stehen mit der Hauptbedingung in einem mathematischen Zusammenhang. Durch die Verknüpfung von Haupt- und Nebenbedingungen kann eine „Zielfunktion“ aufgestellt werden. Die Nullstellen der ersten Ableitung der Zielfunktion sind die möglichen Extremstellen, die durch die zweite Ableitung überprüft, und durch Einsetzen in die „Zielfunktion“ schließlich zur optimierten Größe führen. So, und jetzt rein mit den Kätzchen in die Kiste und ab unter die Leute!

Extremwertaufgabe – Schachtel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Extremwertaufgabe – Schachtel kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Formeln für die Länge $l_s$, die Breite $b_s$ und das Volumen $V$ an.

    Tipps

    Das $x$ ist die Seitenlänge des Quadrats, das an den Ecken des ursprünglichen Rechtecks abgeschnitten wird.

    Sobald du die Länge, die Breite und die Höhe in Abhängigkeit von $x$ identifiziert hast, setzt du alles in die Formel für das Volumen ein.

    Lösung

    Die Formel für das Volumen eines Quaders lautet allgemein:

    Volumen = Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe

    Das Volumen unserer Schachtel hängt von der Länge $l_s$, der Breite $b_s$ und der Höhe $h_s$ ab. Also

    $V=l_s \cdot b_s \cdot h_s$.

    Da wir an jeder Ecke ein Quadrat mit Kantenlänge $x$ abschneiden, entfernen wir eine Länge von $2x$ von der ursprünglichen Länge. Genauso entfernen wir $2x$ von der ursprünglichen Breite. Die Länge $l_s$ lässt sich damit berechnen durch $l_s = 90 - 2x$. Und die Breite $b_s$ lässt sich berechnen durch $b_s = 48 - 2x$. Die Höhe $h_s$ ist das $x$ selbst. Wenn wir diese Größen in die Formel für das Volumen einsetzen, erhalten wir:

    $V = (90 -2x)(48 - 2x)x = 4320 x - 276 x^2 + 4 x^3$

  • Beschreibe die Schritte zur Lösung eines Optimierungsproblems.

    Tipps

    Die Hauptbedingung ist der Term, der maximiert oder minimiert werden soll.

    Die Nebenbedingung(en) geben die Beziehung zwischen den Variablen an.

    Wenn wir die Nebenbedinung(en) in die Hauptbedingung einsetzen, erhalten wir die Zielfunktion. Diese enthält dann nur noch eine Variable.

    Lösung

    Um ein Extremwertproblem zu lösen, gehen wir immer in denselben Schritten vor. Die Schritte gehen wir anhand des Schachtel-Beispiels durch:

    Ein Karton mit einer Länge von $90~\text{cm}$ und einer Breite von $48~\text{cm}$ soll zu einer Schachtel gefaltet werden. Dafür werden an den Ecken Quadrate mit einer Kantenlänge $x$ ausgeschnitten und die Seiten hochgeklappt. Gesucht ist nun die Kantenlänge $x$, die die größtmögliche Schachtel erzeugt.

    1) Hauptbedingung erfassen

    Die Hauptbedingung ist derjenige Term, der maximiert oder minimiert werden soll.

    In unserem Beispiel ist das die Formel zur Berechnung des Volumens der Schachtel. Also:

    $V = \text{Länge}\ \cdot \ \text{Breite}\ \cdot \ \text{Höhe}$

    Diese Formel hängt in diesem Schritt noch von mehreren Variablen ab.

    2) Nebenbedingung(en) auswerten

    Es kann eine oder mehrere Nebenbedingungen geben. Diese stellen die Beziehung zwischen den Variablen her.

    Hier müssen wir die gegebenen Informationen benutzen und Gleichungen in Abhängigkeit der gesuchten Größe, also $x$, aufstellen. In unserem Beispiel stellen wir die Gleichungen der Länge $l_s$, Breite $b_s$ und Höhe $h_s$ der Schachtel auf, nachdem wir die Ecken herausgeschnitten haben:

    $\begin{array}{ll} l_s &= 90 - 2\cdot x \\ b_s &= 48 - 2\cdot x \\ h_s &= x \end{array}$

    3) Zielfunktion aufstellen

    Wir setzen die Nebenbedingung(en) in die Hauptbedingung ein. Das gibt uns dann die Zielfunktion. Die Zielfunktion ist eine Funktion, die nun nur eine Variable enthält.

    Wir setzen also $l_s,\ b_s$ und $h_s$ in $V$ ein:

    $V(x) = l_s \cdot b_s \cdot h_s = (90 - 2x) \cdot (48 - 2x) \cdot x$

    Um später leichter mit dieser Formel rechnen zu können, vereinfachen wir sie noch:

    $V(x) = (90 - 2x) \cdot (48 - 2x) \cdot x = 4x^3 - 276x^2 + 4320x$

    4) 1. Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen

    Damit können wir die "Kandidaten" für die Extremstellen, also die sogenannten kritischen Stellen bestimmen. Da wir an der größtmöglichen bzw. der maximalen Lösung interessiert sind, müssen wir die Extremstellen der Zielfunktion ermitteln und das machen wir, indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.

    Wir leiten unsere vereinfachte Volumen-Formel mithilfe der Potenzregel für Ableitungen ab und setzen sie gleich Null:

    $V'(x) = 12x^2 - 552x + 4320 = 0$

    Mithilfe der Mitternachtsformel rechnen wir die Nullstellen aus:

    $x_{1/2} = \dfrac{-(-552) \pm \sqrt{(-552)^2 - 4\cdot 12 \cdot 4320}}{2\cdot 12} \quad \implies \quad x_1 = 36,\ x_2 = 10$

    5) 2. Ableitung bilden und die Kandidaten einsetzen

    Um sicher zu stellen, dass es sich bei den gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung um Extremstellen handelt und um den Hochpunkt ermitteln zu können, müssen wir nun die zweite Ableitung bilden und die Nullstellen der ersten Ableitung dort einsetzen. Wenn das Ergebnis negativ ist, handelt es sich um einen Hochpunkt.

    Wir bilden zuerst die zweite Ableitung:

    $V''(x) = 24x - 552$

    Und setzen $x_1$ und $x_2$ dort ein:

    $V''(36) = 24 \cdot 36 - 552 = 312 > 0$
    $V''(10) = 24 \cdot 10 - 552 = -312 < 0$

    Es handelt sich bei $x_2$ also um einen Hochpunkt.

    6) Ergebnis überprüfen und Ränder betrachten

    Als letzten Schritt muss noch überprüft werden, ob das gefundene Ergebnis sinnvoll interpretiert werden kann. Dafür setzen wir $x$ in die Zielfunktion ein und berechnen den Funktionswert.

    In unserem Beispiel ergibt das:

    $V(10) = (90 - 2 \cdot 10) \cdot (48 - 2 \cdot 10) \cdot 10 = 19600~\text{cm}^3 \approx 20~\ell$

    Wenn wir also an den Ecken Quadrate mit einer Seitenlänge von $10~\text{cm}$ heraus schneiden und die Seiten des Kartons einklappen, bekommen wir eine Schachtel mit einem Volumen von ungefähr $20$ Litern.

    Schließlich müssen in diesem Schritt noch die Ränder betrachtet werden.

    In unserem Beispiel müssten wir die Fälle betrachten, was passiert, wenn wir gar keine Ecken einschneiden und wenn wir die Seitenlänge des Quadrats genau als die Hälfte der Breite des Kartons wählen, also $48 : 2 = 24~\text{cm}$. In beiden Fällen bekommen wir ein Volumen von $0$ Litern, da der Karton in diesen Fällen nicht gefaltet werden kann.

  • Berechne das maximale Volumen der Schachtel.

    Tipps

    Damit du die Hauptbedingung aufstellen kannst, musst du erst eine Formel für das Volumen angeben. Multipliziere alle Seiten miteinander.

    Damit du die Nebenbedingung aufstellen kannst, musst du verwenden, dass an beiden Seiten immer ein Stück $x$ abgeschnitten wird.

    Im letzten Schritt musst du noch die Einheit umwandeln. Es gilt:

    $1000~\text{cm}^3 = 1~\ell$

    Lösung

    1. Aufstellen der Hauptbedingung:

    Wir bezeichnen die Kanten der gewünschten Box folgendermaßen:

    • Länge der Box: $l_B$
    • Breite der Box: $b_B$
    • Höhe der Box: $h_B$

    Das Volumen einer Box, also eines Quaders, lässt sich ausrechnen, indem alle Seiten (Länge, Breite, Höhe) miteinander multipliziert werden:

    $V = l_B \cdot b_B \cdot h_B$

    2. Aufstellen der Nebenbedingungen:

    An jeder Ecke wird ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ herausgeschnitten, was von der ursprünglichen Länge und Breite noch abgezogen werden muss. Mit den eingeklappten Seiten hat die Box dann eine Höhe von $x$:

    $l_B = 40 - 2x$

    $b_B = 25 - 2x$

    $h_B = x$

    3. Zielfunktion aufstellen und vereinfachen:

    Wir setzen die Formeln für die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung ein und klammern aus:

    $V(x) = (40 - 2x) \cdot (25 - 2x) \cdot x$

    $\qquad = 4x^3 - 130x^2 + 1000x$

    4. Erste Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen:

    Die erste Ableitung bilden wir mithilfe der Potenzregel für Ableitungen und setzen diese gleich Null

    $V'(x) = 12x^2 - 260x + 1000 = 0$

    $\implies x_1 \approx 16{,}667 \quad$ und $\quad x_2 = 5$

    5. Zweite Ableitung bilden und Nullstellen einsetzen:

    Wir bilden die zweite Ableitung wieder mithilfe der Potenzregel und setzen die gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Dann überprüfen wir, ob die Ergebnisse größer oder kleiner Null sind, um unseren Hochpunkt zu finden.

    $V''(x) = 24x - 260$

    $V''(x_1) \approx 140{,}008 > 0$

    $V''(x_2) = -140 < 0$

    6. Ergebnis interpretieren:

    Da es sich bei $x_2 = 5$ um einen Wert kleiner Null handelt, hat die Funktion $V$ dort einen Hochpunkt. Um den Funktionswert an dieser Stelle herauszufinden, setzen wir $x_2$ in die Ausgangsfunktion ein:

    $V(5) = 2250$

    Antwortsatz: Kayas Box kann maximal $2250~\text{cm}^3$. Das sind $2{,}25~\ell$.

  • Bestimme das maximale Volumen der Schachtel.

    Tipps

    Stelle zuerst eine Gleichung für das Volumen auf.

    Um das maximale Volumen eines Quaders zu berechnen, musst du die Extremstellen der Volumengleichung bestimmen.

    Achte auf die Einheiten. Die Maße der Schachtel sind in $\text{cm}$ angegeben, aber es wird nach Litern gefragt.

    Lösung

    1. Aufstellen der Hauptbedingung:

    Wir bezeichnen die Kanten der gewünschten Schachtel folgendermaßen:

    • Länge der Box: $l_S$
    • Breite der Box: $b_S$
    • Höhe der Box: $h_S$

    Das Volumen einer Schachtel, also eines Quaders, lässt sich ausrechnen, indem alle Seiten (Länge, Breite, Höhe) miteinander multipliziert werden:

    $V = l_S \cdot b_S \cdot h_S$

    2. Aufstellen der Nebenbedingungen:

    An jeder Ecke wird ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ herausgeschnitten, was von der ursprünglichen Länge und Breite noch abgezogen werden muss. Mit den eingeklappten Seiten hat die Schachtel dann eine Höhe von $x$:

    $l_B = 80 - 2x$

    $b_B = 50 - 2x$

    $h_B = x$

    3. Zielfunktion aufstellen und vereinfachen:

    Wir setzen die Formeln für die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung ein und klammern aus:

    $V(x) = (80 - 2x) \cdot (50 - 2x) \cdot x$

    $\qquad = 4x^3 - 260x^2 + 4000x$

    4. Erste Ableitung bilden und Nullstellen bestimmen:

    Die erste Ableitung bilden wir mithilfe der Potenzregel für Ableitungen und setzen diese gleich Null

    $V'(x) = 12x^2 - 520x + 4000 = 0$

    $\implies x_1 \approx 33{,}33 \quad$ und $\quad x_2 = 10$

    5. Zweite Ableitung bilden und Nullstellen einsetzen:

    Wir bilden die zweite Ableitung wieder mithilfe der Potenzregel und setzen die gefundenen Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein. Dann überprüfen wir, ob die Ergebnisse größer oder kleiner Null sind, um unseren Hochpunkt zu finden.

    $V''(x) = 24x - 520$

    $V''(x_1) \approx 279{,}92 > 0$

    $V''(x_2) = -280 < 0$

    6. Ergebnis interpretieren:

    Da es sich bei $x_2 = 10$ um einen Wert kleiner Null handelt, hat die Funktion $V$ dort einen Hochpunkt. Um den Funktionswert an dieser Stelle herauszufinden, setzen wir $x_2$ in die Ausgangsfunktion ein:

    $V(10) = 18000$

    Antwortsatz: Die Schachtel kann maximal $18000~\text{cm}^3$. Das sind $18~\ell$.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Die Potenzregel für Ableitungen lautet:

    $f(x) = a\cdot x^n \rightarrow f'(x) = a\cdot n \cdot x^{n-1}$

    Die Ableitung einer Konstanten ist $0$. Das heißt, sie fallen beim Ableiten weg.

    Beispiel:

    $f(x) = 8x^2 \rightarrow f'(x) = 16x$

    Lösung

    Um die Ableitung zu bestimmen, wenden wir hier die Potenzregel für Ableitungen an. Diese lautet:

    $f(x) = a\cdot x^n \rightarrow f'(x) = a\cdot n \cdot x^{n-1}$

    Damit leiten wir jeden Summanden der Funktion

    $f(x) = 5x^4 + 3x^3 + 10x + 1$

    ab und erhalten die erste Ableitung:

    $f'(x) = 20x^3 + 9x^2 + 10$

    Diese können wir nun noch einmal ableiten, um die zweite Ableitung zu erhalten:

    $f''(x) = 60x^2 + 18x$.

  • Ermittle die Hauptbedingung und die Nebenbedingung.

    Tipps

    Überlege, welche Bedingung maximiert oder minimiert werden muss.

    Wenn begrenztes Material oder eine begrenzte Fläche zur Verfügung steht, müssen wir diese Information benutzen, um die gesuchte Größe zu ermitteln.

    Beispiel: Wir versuchen das größtmögliche Rechteck in einen Kreis zu legen. Dabei passen alle Rechtecke in einen Kreis, dessen Diagonale kleiner oder gleich des Durchmessers des Kreises ist. Alle Ecken des Rechtecks müssen also auf der Kreislinie liegen, um das größtmögliche Rechteck zu konstruieren.

    Lösung

    1. Beispiel: Kaya möchte mit seinem $60~\text{cm}$ langen Seil ein Rechteck mit der größtmöglichen Fläche umranden.

    Hier muss die Fläche eines Rechtecks maximiert werden. Unsere Hauptbedingung muss also die Flächenformel eines Rechtecks sein. Als Nebenbedingung müssen wir den Umfang des Rechtecks betrachten, da wir nur $60~\text{cm}$ Seil gegeben haben.

    2. Beispiel: Atiya sucht einen rechteckigen Teppich mit der größtmöglichen Fläche für sein dreieckiges Zimmer.

    Gesucht ist die größtmögliche Fläche eines Rechtecks. Das ist die Größe, die maximiert werden soll, also unsere Hauptbedingung. Der Teppich kann aber nicht größer als das Zimmer sein, welche eine dreieckige Form besitzt. Das heißt, beim Maximieren müssen wir die Nebenbedingung betrachten, dass das Zimmer dreieckig ist. Die Ecken des Rechtecks (Teppich) müssen also auf den Seiten des Dreiecks (Zimmer) liegen.

    3. Beispiel: Eine zylinderförmige Shampooflasche soll $200~\text{ml}$ Flüssigkeit beinhalten und dabei so wenig Material wie möglich verwenden.

    In diesem Beispiel soll das Material einer Shampooflasche so wenig wie möglich sein, das heißt, hier muss die Oberfläche des Zylinders minimiert werden. Dabei ist die Nebenbedingung zu beachten, dass das Zylinder ein Volumen von $200~\text{ml}$ fassen muss.

    4. Beispiel: In einem Ort soll ein Tunnel mit einer parabelförmigen Decke durch einen Berg gebaut werden. Dafür soll die Höhe der größtmöglichen Transportmittel, die durch diesen Tunnel passen, ermittelt werden.

    Die Höhe des Transportmittels ist zu maximieren. Deshalb ist diese unsere Hauptbedingung. Dabei muss das Transportmittel durch den parabelförmigen Tunnel durchkommen. Die Parabelförmigkeit des Tunnels ist also unsere Nebenbedingung. Vereinfacht können wir die Transportmittel als Rechtecke skizzieren. Gesucht ist also die größtmögliche Höhe des Rechtecks, das in eine nach unten geöffnete Parabel passt.

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