30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Extremwertaufgabe – Schachtel

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Lucy lernt 5 Minuten 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

  • Lucy übt 5 Minuten 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

  • Lucy stellt fragen 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Bewertung

Ø 5.0 / 1 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Extremwertaufgabe – Schachtel
lernst du in der Oberstufe 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Extremwertaufgabe – Schachtel

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Extremwertaufgaben wie das Schachtelproblem zu lösen.

Zunächst lernst du, wie sich aus den Angaben der Beispielaufgabe Haupt- und Nebenbedingungen ergeben und wie du aus solchen Überlegungen eine Zielfunktion aufstellen kannst.

Hauptbedingung und Nebenbedingungen

Anschließend wird gezeigt, wie aus der Zielfunktion mithilfe der ersten und zweiten Ableitung das Extremwertproblem gelöst werden kann. Abschließend erfährst du, wie du eine solche Lösung unter Berücksichtigung der Ränder des Definitionsbereichs interpretieren kannst.

Extremwertaufgabe lösen

Lerne, wie du das Volumen einer Schachtel zum Transport hilfloser Kätzchen optimieren kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Extremwertaufgabe, Extremwert, Extrema, Extremum, Maximum, Hochpunkt, Minimum, Tiefpunkt, Hauptbedingung, Nebenbedingung, Zielfunktion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Ableitung ist und wie man sie berechnet. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Extrema, also Hoch- und Tiefpunkten, haben und sowohl die notwendige als auch die hinreichende Bedingung für Extrema kennen.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Extremwertprobleme und verschiedene Lösungswege kennenzulernen.

Transkript Extremwertaufgabe – Schachtel

Sieh dir diese süßen kleinen Kätzchen an! Aber um so viele kannst du dich unmöglich allein kümmern! Wie wär's, wenn du sie alle in deiner Nachbarschaft verteilst? Bloß wie transportiert man diesen wilden Haufen am besten? In der Mathematik beschränken wir uns gerne auf das Wesentliche und entwerfen eine simple Schachtel. Dieses Unterfangen erweist sich schnell als „Extremwertaufgabe“, denn die Schachtel soll möglichst groß werden, damit die kleinen Kätzchen auf ihrer Reise genug Platz haben. Wie es oft so ist, haben wir aber nur begrenztes Material zur Verfügung; nämlich nur ein großes Stück Karton. Daraus wird ruckzuck eine Schachtel, indem die Ecken ausgeschnitten, und die Seiten nach oben geklappt werden. Wie weit soll jetzt aber eingeschnitten werden? Wenn du nur wenig einschneidest, werden die Kätzchen zwar viel Platz auf einer großen Fläche haben, aber allzu leicht über die Seiten rausfallen! Wenn du viel einschneidest, passiert das nicht, allerdings wird dann auch der Platz auf dem Schachtelboden immer kleiner. Ein klassisches Optimierungsproblem! Die Schachtel soll nun so konzipiert werden, dass ihr „Volumen“ maximal groß wird, ausgehend von den gegebenen Maßen des Kartons. Unser Ziel muss also sein, eine Funktion für das Volumen der Schachtel aufzustellen und den Extremwert „x-Max“, also den Hochpunkt dieser „Zielfunktion“, zu berechnen, bei dem das Volumen maximal groß wird. Die gesuchte Funktion basiert dabei auf einer Formel; und zwar der zur Berechnung des Volumens eines einfachen Quaders: „V gleich Länge mal Breite mal Höhe“. Die Länge unserer Schachtel ergibt sich aus der Länge „L-K“ des Kartons. Die kennen wir, allerdings müssen wir davon die Stücke abziehen, die wir für die Ecken ausschneiden. Da wir noch nicht wissen, wie lang die Einschnitte für ein maximales Volumen sein müssen, bezeichnen wir diese mit „x“. Von diesem „x“ hängt letztendlich die Größe der Schachtel ab. Die Bodenlänge der Schachtel wird also „Neunzig minus zwei x“ sein. Die „Breite“ der Schachtel hängt in ähnlicher Weise von der Breite „B-K“ des Kartons ab, und wird am Ende „Achtundvierzig minus zwei x“ sein. Die Höhe der Schachtel ist gleich der Länge des Einschnitts x, denn die eingeschnittenen Seiten werden ja einfach nach oben geklappt. Nun können wir aus der „Hauptbedingung“, der Formel für das Volumen einer Schachtel, durch Einsetzen der „Nebenbedingungen“, also den Zusammenhängen der einzelnen Größen mit den gegebenen Maßen unseres Kartons, die „Zielfunktion“ aufstellen. Diese enthält nur noch „x“ und gegebene Größen. Jetzt wollen wir wissen, für welchen Wert von x die Zielfunktion einen maximalen Wert annimmt. Dazu multiplizieren wir den Funktionsterm aus, und berechnen die erste Ableitung der Funktion. Der gesuchte Extremwert „x-Max“ muss ja eine der Nullstellen der ersten Ableitung sein. Die Nullstellen finden wir mit der „P-Q-Formel“ oder der „Mitternachtsformel“, die nach vorsichtigem Einsetzen, und behutsamem Eintippen, zwei Lösungen liefert. Aber ist eine davon wirklich ein Hochpunkt? Das überprüfen wir mit der zweiten Ableitung, die schnell gebildet ist. Dort setzen wir beide Lösungen ein. Ist die zweite Ableitung kleiner Null an der fraglichen Stelle, handelt es sich um einen Hochpunkt. Ist sie dagegen größer Null, haben wir es mit einem Tiefpunkt zu tun. Okay! Jetzt noch prüfen, ob unser Ergebnis sinnvoll interpretiert werden kann! Wenn wir den Karton um „x gleich Zehn Zentimeter“ einschneiden, erhalten wir mit der Zielfunktion ein maximales Volumen „V-max gleich 19600 Kubikzentimeter“. Das sind ungefähr zwanzig Liter. Wird eng im Karton, aber mehr Platz gibt's nicht für die Kätzchen. Hätten wir die andere Extremstelle gewählt, also einen Einschnitt um „Sechsundreißig Zentimeter“, gäb's neben der Tatsache, dass das ein Tiefpunkt ist, noch das Problem, dass wir den Karton gar nicht so weit auf beiden Seiten einschneiden könnten, da dieser ja nur Achtundvierzig Zentimeter breit ist. Wenn wir um „Vierundzwanzig Zentimeter“ einschneiden, erhalten wir schon das Volumen „Null“, da die Breite der Schachtel dann Null wird. Wenn wir „gar nicht“ einschneiden, ist die Höhe Null, und damit auch das Volumen. Durch das Betrachten dieser Randbereiche stellen wir sicher, dass unser gefundenes Maximum auch tatsächlich die einzig sinnvolle Lösung darstellt. Fassen wir unser Vorgehen nochmal zusammen: Bei einer „Extremwertaufgabe“ wird eine bestimmte Größe optimiert, wie hier das Volumen einer Schachtel, die von mehreren Bedingungen abhängt, wie hier den Abmessungen des Kartons. Die „Hauptbedingung“ ist die Formel, mit der die gesuchte Größe berechnet werden kann. Die „Nebenbedingungen“ enthalten die gegebenen Größen und stehen mit der Hauptbedingung in einem mathematischen Zusammenhang. Durch die Verknüpfung von Haupt- und Nebenbedingungen kann eine „Zielfunktion“ aufgestellt werden. Die Nullstellen der ersten Ableitung der Zielfunktion sind die möglichen Extremstellen, die durch die zweite Ableitung überprüft, und durch Einsetzen in die „Zielfunktion“ schließlich zur optimierten Größe führen. So, und jetzt rein mit den Kätzchen in die Kiste und ab unter die Leute!

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

2.575

sofaheld-Level

5.805

vorgefertigte
Vokabeln

10.215

Lernvideos

42.307

Übungen

37.382

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Schulstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden