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Exponentialfunktionen – Einfluss des Vorfaktors

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Exponentialfunktionen – Einfluss des Vorfaktors
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Exponentialfunktionen – Einfluss des Vorfaktors

Eine Exponentialgleichungen kann die Form f(x) = ax haben. Zu diesen Exponentialfunktionen habe ich nun bereits sehr viele Videos gemacht. Nun möchte ich einen neuen Parameter b der Funktionsgleichung hinzufügen: f(x) = b • ax. Durch den Vorfaktor b wird das Ergebnis von ax um b vervielfacht. In den folgenden 6 Minuten und 2 Sekunden werde ich dir nun erklären, wie sich dieser neue Parameter auf die Exponentialfunktion auswirkt. Dazu werde ich dir die unterschiedlichen Fälle anhand von Schaubildern vorstellen. Folge also nun meinen Erklärungen im Video und viel Spaß dabei!

Transkript Exponentialfunktionen – Einfluss des Vorfaktors

Hallo. Wir haben Exponentialfunktionen der Form f(x) = b × ax. Damit du vernünftig mit solchen Exponentialfunktionen arbeiten kannst, solltest du eine ungefähre Vorstellung haben, wie die Graphen dieser Funktionen aussehen. Ich möchte das mal zeigen, einmal für a zwischen 0 und eins. Ja, das ist diese Grundform quasi. Wir haben ein Koordinatensystem und eine typische Funktion, eine Exponentialfunktion der Form ax mit a zwischen 0 und 1 sieht so aus, hat also einen solchen Graphen. Und wir können uns jetzt mal vorstellen, was würde denn passieren, wenn wir diese Funktion mit b multiplizieren und b soll auch mal zwischen 0 und 1 liegen. Also hier steht, vielleicht ein bisschen blöd geschrieben, 0 < b < 1. Das heißt, b liegt zwischen 0 und 1. Mal angenommen b wäre ein halb. Was macht man dann? Man nimmt sich quasi diesen Graphen hier und teilt an jeder Stelle den Funktionswert durch 2. Und dann müsste ungefähr sowas entstehen hier, man nimmt hiervon die Hälfte und davon die Hälfte und davon und davon und dann kriegt man einen Graphen, der hier dazwischen liegt. Bei einem Drittel und sowas ist es natürlich ähnlich, dann kommt der Graph auch hier dazwischen zustande. Allgemein dann, wenn b zwischen 0 und 1 liegt, hat man den Graphen der Funktion b × ax zwischen x-Achse und dem Graphen ax. Was passiert, wenn b >1 ist? Wir haben wieder einen Funktionsgraphen einer Funktion ax oder einer Funktion mit dem Funktionsterm ax und wir haben b soll jetzt mal größer als 1 sein. Ja dann müssen wir also jeden Funktionswert, der jetzt hier entsteht, nochmal mit einer Zahl >1 multiplizieren. Und dann würden wir so etwas bekommen hier. Also dieser neue Funktionsgraph würde einfach dann oberhalb des Funktionsgraphen ax liegen. Ja, ich glaube das ist nicht weiter überraschend. Gucken wir mal, was passiert, wenn b < 0 ist. Also wir gehen weiter davon aus, wir haben einen Funktionsgraphen ax und a ist zwischen 0 und 1. So, das steht hier. a zwischen 0 und 1 also 0 < a < 1. Und wir gehen mal davon aus b sei nun gleich -1. Was passiert dann? Übrigens nebenbei bemerkt b ist nicht 0. Wenn b 0 wäre, ist die ganze Funktion weg und dann brauchen wir nichts weiter uns zu überlegen. Deshalb schließt man das normalerweise aus. Ich habe es jetzt hier nicht nochmal hingeschrieben, aber ich glaube, das ist auch nicht weiter gefährlich. So, b = -1. Das bedeutet, wir müssen jeden Funktionswert mit -1 multiplizieren. Das heißt also anschaulich gesprochen, das Ganze klappt sich hier nach unten hin. Und dann haben wir also einen Funktionsgraphen, der quasi, nicht nur quasi, sondern tatsächlich an der x-Achse gespiegelt ist. So sieht das aus. Und dann haben wir noch die Möglichkeit, dass zum Beispiel b, ja da muss ich ein bisschen tiefer gehen hier, das ist so nicht ganz korrekt geworden, so b soll jetzt mal zwischen 0 und -1 liegen. Dann schreibt man 0 > b > -1. Dann können wir erstmal hier gestrichelt dargestellt den Funktionsgraphen benutzen, ja, ist nicht ganz geworden hier, den Funktionsgraphen nehmen, der entsteht, wenn b = -1 wäre. Und dann können wir noch mit Betrag b multiplizieren. Also anschaulich gesprochen: nehmen wir mal an, b wäre -0,5, dann können wir diesen Graphen erst mit -1 multiplizieren und dann noch mit 0,5 multiplizieren und dann würden wir hier einen Graphen bekommen, der dann auch zwischen gespiegeltem Graphen und x-Achse liegt, da ungefähr. Und das ist hier der gespiegelte Graph. Ja, ich glaube, trotzdem ich hier etwas unsauber zeichne, das Prinzip ist glaube ich klargeworden. Und ebenso kannst du verfahren bei Funktionen, wenn a >1 ist, a = 1 ist ja auch ausgeschlossen, und kannst diese ganzen Fälle durchgehen. Hier habe ich jetzt den Fall nicht gezeigt, was passiert, wenn b < -1 ist. Aber ich glaube, das kannst du dir vorstellen, dann kommt ein Funktionsgraph zustande, der dann unter diesem gespiegelten Graphen liegt. Das ist, sage ich mal, relativ elementare Rechnung, muss ich nicht weiter erklären. Ich glaube, als Anschauungsmaterial reicht das so. Viel Spaß damit. Tschüss.

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