Erwartungswert – Beispiel Urne

Hi! Willkommen zu meinem Übungsvideo über Wahrscheinlichkeiten und den Erwartungswert! Solltet ihr hier auf Neuland stoßen, guckt euch bitte die Grundlagen an. Ansonsten behandelt das wie eine Übung, also die Pause-Taste drücken und selber rechnen. So, folgende Aufgabe: Wir haben eine Urne, in der sich 7 Kugeln befinden und jeder Kugel wird ein Wert zugewiesen. 2 Kugeln haben den Wert 0, 2 Kugeln haben den Wert 4 und 3 Kugeln haben den Wert 1. In einem Spiel wird zweimal ohne zurücklegen gezogen. Die gezogenen Werte werden dann addiert. Berechne nun den Erwartungswert und die Wahrscheinlichkeit, dass ein höherer Wert als dieser eintritt. So, alles klar, jetzt bitte auf Pause drücken und selber rechnen. Okay, kommen wir zur Lösung. Erst mal zeichne ich ein Baumdiagramm für den ersten Zug an. Im zweiten Zug müssen wir darauf achten, welche Kugel bereits gezogen wurde. Dann berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen. Und als kleiner Tipp, ich schreibe mir immer gern rechts an den Rand hin, was das eigentlich bedeutet. Also in dem Fall schreibe ich mir den Wert dieser Schnittmenge hin. So, jetzt füllen wir dazu die Wertetabelle aus, also links schreiben wir den jeweiligen Wert hin, rechts die jeweilige Wahrscheinlichkeit. Den Wert 0 haben wir 1 mal mit der Wahrscheinlichkeit 2/42. Den Wert 1 haben wir zum Beispiel 2 mal mit je 6/42, also 12/42, und so weiter. Gut, den Erwartungswert berechnen wir jetzt, indem wir die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten mal ihrem Wert nehmen und das Ganze aufsummieren. Hier kommt übrigens ungefähr 3,14 raus. Die Wahrscheinlichkeit, dass der gezogene Wert also größer als 3,14 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir eine 4, eine 5 oder eine 8 ziehen. Diese Wahrscheinlichkeiten hatten wir schon in der Wertetabelle stehen, die ich dummerweise jetzt schon weggewischt habe. Als Ergebnis erhalten wir ungefähr 5,1, 5,2 so habe ich jetzt ein bisschen schlecht gerundet. Das heißt, wir ziehen erwartungsmäßig immer einen Wert von 3,14 und mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 52%, 51% ist unsere gezogene Zahl größer als dieser Wert.