Bernoulli-Formel

Heute auf dem Programm: Multiple Choice Test! Wie viel wir dafür gelernt haben? Ähhh, leider gar nicht. Egal, dann wird halt geraten! Wie gut unsere Chancen stehen, da ein paar Zufallstreffer zu landen, verrät uns die "Bernoulli-Formel". Bevor wir uns die Formel anschauen, müssen wir aber erstmal ein paar Grundlagen klären. Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem uns nur zwei mögliche Ausgänge interessieren. Entweder ein bestimmtes Ereignis tritt ein, oder eben nicht. Klassisches Beispiel: Wir werfen eine Münze. Kopf bedeutet "Treffer", Zahl bedeutet "kein Treffer". Ein solches Zufallsexperiment, bei dem wir nur zwischen zwei möglichen Ausgängen unterscheiden, nennen wir Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer liegt hier bei fünfzig Prozent, also ein Halb. Und auch wenn wir einen Multiple-Choice-Test mit vier Antwortmöglichkeiten und einer richtigen Antwort pro Frage vor uns haben, können wir so eine Testfrage als Bernoulli-Experiment betrachten. Wir haben zwar vier und nicht nur zwei mögliche Ergebnisse, uns interessieren aber im Endeffekt nur ZWEI mögliche Ausgänge: Entweder wir haben die richtige Antwort angekreuzt, sprich einen Treffer gelandet, oder eben nicht. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer liegt also bei einem Viertel und die Wahrscheinlichkeit für "keinen Treffer" als Gegenwahrscheinlichkeit bei drei Vierteln. Damit das Ganze wirklich als Zufallsexperiment betrachtet werden kann, gehen wir natürlich davon aus, dass wir die Antwortmöglichkeiten absolut ZUFÄLLIG, also ohne System und Vorwissen ankreuzen. Wenn wir unser Zufallsprinzip jetzt nicht nur für eine, sondern für MEHRERE Testfragen durchziehen – zum Beispiel drei, fünf oder zehn mal – wird aus dem Bernoulli-Experiment eine Bernoulli-KETTE. Bei einer solchen Kette an Wiederholungen von dem gleichen Zufallsexperiment mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit, können wir dann die Anzahl an Treffern zählen, die insgesamt erzielt wurden. Die Frage, die jetzt noch offen ist, lautet: Wie können wir denn ganz konkrete Wahrscheinlichkeiten für eine gewisse Trefferanzahl bei Bernoulli-Ketten ausrechnen? Die Antwort liefert uns Bernoulli! Und zwar mit der Bernoulli-FORMEL. Der Typ hat echt an alles gedacht! Okay, diese Formel sollten wir uns jetzt erstmal genauer anschauen. Wir betrachten die Wahrscheinlichkeit dafür, dass wir genau k Treffer landen. Die ist dann gleich "n über k" (..) mal "p hoch k" mal "eins-minus-p hoch n-minus-k". k ist hierbei die Anzahl der Treffer, n steht für die Länge der Bernoulli-Kette, sprich die Anzahl an Versuchswiederholungen, und p für die Trefferwahrscheinlichkeit. Das sieht insgesamt erstmal ganz schön wild aus! Ist aber gar nicht so kompliziert, wenn wir einmal gecheckt haben, was hier überhaupt los ist. Die größte Verwirrung stiftet normalerweise DAS Teil hier – der Binomialkoeffizient "n über k". Wenn du dir da nicht mehr so sicher bist, was es damit auf sich hat, schau dir das Thema am besten nochmal schnell an! Danach wird es aber auch schon einfacher: Wir haben p, also die Trefferwahrscheinlichkeit, hoch k, sprich die ANZAHL der Treffer, und der letzte Faktor in der Formel ist nichts anderes als die Wahrscheinlichkeit für "keinen Treffer" hoch "n minus k", also die Anzahl übrigbleibender Versuchsdurchführungen, bei denen eben kein Treffer erzielt wird. Wir können das Ganze ja mal an einem Beispiel durchrechnen. Wir gehen davon aus, dass wir drei Fragen bearbeiten und möchten die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, einmal richtig zu liegen. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist ja gleich 0,25. Wir berechnen also "drei über eins" mal 0,25 hoch eins mal 0,75 hoch zwei. Das ergibt ungefähr 0,422, also 42,2 Prozent. Und das ist dann unsere Wahrscheinlichkeit für genau EINEN Treffer bei DREI Versuchsdurchführungen. Warum die Formel funktioniert, verrät uns ein Blick auf das entsprechende Baumdiagramm. Wir betrachten drei Versuchsdurchführungen, wobei wir jeweils zwischen "Treffer" und "keinem Treffer" unterscheiden. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten kennen wir auch schon. Jetzt schauen wir uns mal an, welche Pfade zu dem Ereignis "genau ein Treffer" führen. Das ist bei diesem, diesem und diesem Pfad der Fall. Nach der ersten Pfadregel müssen wir jetzt entlang der Pfade multiplizieren und nach der zweiten Pfadregel können wir diese Produkte dann einfach addieren, um die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer zu berechnen. Das, was da jetzt steht, können wir aber auch zusammenfassen: 0,75 mal 0,75 können wir jeweils zu 0,75 hoch zwei umformen und dann können wir, weil alle drei Summanden komplett identisch sind, diese Summe auch als PRODUKT schreiben. Das sieht doch jetzt schon sehr ähnlich aus! Und tatsächlich kommt ja bei dem Binomialkoeffizienten "drei über eins" drei raus. Wie funktioniert die Formel also? Der Binomialkoeffizient zählt für uns, wie viele Pfade in einem Baumdiagramm bei n Durchführungen zu k Treffern führen. Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades ist dann durch den hinteren Teil der Formel gegeben. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu der gleichen Anzahl an Treffern führen, ist ja praktischerweise immer gleich! Wenn wir also wissen, wie hoch die Trefferwahrscheinlichkeit ist, wie lang unsere Bernoulli-Kette ist und welche Trefferanzahl wir betrachten, können wir die Wahrscheinlichkeit für genau DIESE Trefferanzahl mit der Bernoulli-Formel berechnen! Wir fassen das Wichtigste nochmal auf einen Blick zusammen. Die Bernoulli-Formel kommt zum Einsatz, wenn wir eine Bernoulli-Kette, also eine Aneinanderreihung von ein und demselben Bernoulli-Experiment betrachten. Wir erkennen ein solches Experiment daran, dass es nur zwei Ausgänge gibt: "Treffer" oder "kein Treffer". Wenn wir dann die Anzahl der Treffer, die Länge der Bernoulli-Kette und die Trefferwahrscheinlichkeit gegeben haben, müssen wir die entsprechenden Werte nur noch in die Formel einsetzen. Das Ergebnis ist dann die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer. Bei unserem zufällig ausgefüllten Multiple-Choice-Test liegt die Trefferwahrscheinlichkeit bei 0,25. Wenn wir davon ausgehen, dass der Test insgesamt zehn Fragen umfasst, können wir mit Hilfe der Formel die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass wir durch zufälliges Ankreuzen die Hälfte der Fragen richtig beantworten. Sie liegt bei circa 5,8 Prozent. Dann vielleicht doch lieber noch 'ne kleine Lernsession starten: Zum Beispiel zur Binomialverteilung! Die baut nämlich auf der Bernoulli-Formel auf. Mehr dazu beim nächsten Mal!