30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Eigenschaften symmetrischer Matrizen 05:24 min

Textversion des Videos

Transkript Eigenschaften symmetrischer Matrizen

Im Folgenden werde ich vorführen, welche Eigenschaften symmetrische Matrizen haben. 1., dass die transponierte Matrix gleich der Ursprungsmatrix ist. 2. Das Produkt der Matrix A×B ist gleich der transponierten Matrix B×A. Und 3. Die Determinante der Produktmatrix A×B ist gleich der Determinante von der Produktmatrix B×A. Zunächst aber die Definition: Nur quadratische Matrizen können symmetrisch sein. Allgemein sieht die Matrix so aus. Wobei das Element a12=a21 ist bzw. a13 =a31 usw. D. h., die Matrix ist an der Hauptdiagonale a11, a22, a33 gespiegelt und somit gilt, dass die transponierte Matrix gleich der Ursprungsmatrix ist. Das bedeutet insbesondere, dass der erste Spaltenvektor dem ersten Zeilenvektor entspricht, der zweite dem zweiten usw. Eine Besonderheit ist die Multiplikation zweier symmetrischer Matrizen miteinander. Dabei gilt folgende Regel: Die Produktmatrix A×B ist gleich der transponierten Produktmatrix B×A, denn (B×A)' (transponiert) = A'×B' = A×B. Bitte nicht verwirren lassen: Mein "Mal"-Punkt sitzt oft etwas tief. Diese Eigenschaft werde ich jetzt allgemeingültig veranschaulichen. Nehmen wir 2 2x2-Matrizen A und B. Wir multiplizieren einfach die Matrizen aus und erhalten als Ergebnis diese Produktmatrix. Jetzt versuchen wir es umgekehrt, also B×A. Dabei erkennt man an den Farben, dass das Element a12 gleich dem Element a21 ist und b12 dem Element b21 ist. Und jetzt transponieren wir die Produktmatrix von B×A. Daraus ergibt sich die Produktmatrix A×B. Um die Lösung noch deutlicher zu zeigen, werde ich jetzt ein numerisches Beispiel geben. Gegeben sind die Matrizen A=(2,3,3,1) und B=(1,4,4,(-6)). Zunächst multiplizieren wir die beiden miteinander. Dann suchen wir das Ergebnis von B×A. Man sieht wieder, dass offensichtlich (B×A)'=A×B ist. Noch eine Eigenschaft, die daraus folgt, ist die Gleichheit der beiden Determinanten der Produktmatrizen, d. h., die Determinante von A×B ist gleich der Determinanten von B×A. Und nun rechnen wir die Determinanten von unserem vorherigen Beispiel aus. Wie ihr seht, sind die beiden gleich.

2 Kommentare
  1. Thomas ohne rahmen

    @Offhess069: Meinst du die Lücken zwischen den Einträgen in den Matrizen?
    Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    was hat das zu bedeuten ? als bsp für die 2te eigenschaft symm. matrixen haben Sie nach der multiplaktion am ende von ab und ba als produkt in einer klammer eine große leerstelle stehen.

    Von Offhess069, vor etwa 2 Jahren

Eigenschaften symmetrischer Matrizen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Eigenschaften symmetrischer Matrizen kannst du es wiederholen und üben.

  • Definiere die Symmetrie einer Matrix.

    Tipps

    Symmetrie bedeutet, dass es etwas geben muss, worauf die Symmetrie sich bezieht.

    Es gibt zum Beispiel Symmetrieachsen.

    Die Matrix

    $B=\begin{pmatrix} 2&3\\ 3&1 \end{pmatrix}$

    ist zum Beispiel symmetrisch.

    Sei

    $C=\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{pmatrix}$,

    dann ist

    $C^T=\begin{pmatrix} 1&3\\ 2&4 \end{pmatrix}$.

    Entscheide, ob $C$ symmetrisch ist.

    Ist

    $D=\begin{pmatrix} 1&2\\ 3&1 \end{pmatrix}$

    symmetrisch?

    Lösung

    Eine symmetrische Matrix ist immer eine quadratische Matrix.

    Eine quadratische Matrix besitzt eine Diagonale mit den Diagonalelementen: $a_{11}$, $a_{22}$ und $a_{33}$. Diese müssen für die Symmetrie nicht identisch sein. Die Diagonale ist die Symmetrieachse der Matrix. Wenn die Matrix an dieser Achse „gespiegelt“ wird, erhält man die sogenannte transponierte Matrix.

    Das bedeutet, dass im Falle einer symmetrischen Matrix gilt: $A=A^T$. Dies ist bei nicht symmetrischen Matrizen nicht der Fall.

    Am Beispiel der oben zu sehenden Matrix bedeutet dies:

    • $a_{12}=a_{21}$,
    • $a_{13}=a_{31}$ und
    • $a_{23}=a_{32}$.

  • Berechne die jeweilige Determinante der Matrizen.

    Tipps

    Sei $C=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$.

    Dann ist $|C|=a\cdot d-b\cdot c$ die Determinante von $C$.

    Das heißt vom Produkt der Diagonalelemente wird das Produkt der Nebendiagonalelemente abgezogen.

    An diesem Beispiel ist erkennbar, dass $|A\cdot B|=|B\cdot A|$. Diese Eigenschaft gilt für alle symmetrischen Matrizen $A$ und $B$.

    Lösung

    Um die Determinante einer $2x2$-Matrix zu berechnen, wird vom Produkt der Diagonalelemente das Produkt der Nebendiagonalelemente abgezogen:

    $|A\cdot B|=14\cdot6-7\cdot(-10)=84+70=154$

    und ebenso

    $|B\cdot A|=14\cdot6-(-10)\cdot7=84+70=154$.

    Die Determinanten stimmen also überein:

    $|A\cdot B|=|B\cdot A|$.

    Diese Aussage gilt für alle symmetrischen Matrizen $A$ und $B$.

  • Berechne die jeweiligen Matrixprodukte.

    Tipps

    Zwei Matrizen werden multipliziert, indem man jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix multipliziert.

    Für symmetrische Matrizen gilt $A\cdot B=(B\cdot A)^T$.

    Die Transponierte einer Matrix ist die Spiegelung der Matrix an der Diagonalen.

    Lösung

    Zur Berechnung von $A \cdot B$:

    • $a=2\cdot1+3\cdot4=14$,
    • $b=2\cdot4+3\cdot (-6)=-10$,
    • $c=3\cdot1+1\cdot4=7$ und
    • $d=3\cdot4+1\cdot (-6)=6$.
    Zur Berechnung von $B\cdot A$:
    • $e=1\cdot2+4\cdot3=14$,
    • $f=1\cdot3+4\cdot1=7$,
    • $g=4\cdot2+(-6)\cdot3=-10$ und
    • $h=4\cdot3+(-6)\cdot1=6$.
    Somit gilt: $A \cdot B =(B\cdot A)^T$.

    Dies gilt für alle symmetrischen Matrizen $A$ und $B$.

  • Bestimme die Determinante von $A\cdot B$ und $B\cdot A$.

    Tipps

    Die Determinante einer $3x3$-Matrix kann mit der Sarrus-Regel berechnet werden:

    • entlang der grünen Markierungen wird multipliziert und die Produkte werden addiert und
    • entlang der roten Markierungen wird multipliziert und die Produkte werden subtrahiert.

    Die ersten beiden zu addierenden Produkte von $|A\cdot B|$ sind $2\cdot9\cdot2+4\cdot2\cdot1$.

    Das erste zu subtrahierende Produkt von $|B\cdot A|$ ist $1\cdot9\cdot3$.

    Lösung

    Mit der Sarrus-Regel können die Determinanten von $3x3$-Matrizen berechnet werden.

    $|A\cdot B|=2\cdot9\cdot2+4\cdot2\cdot1+3\cdot7\cdot7-1\cdot9\cdot3-7\cdot2\cdot2-2\cdot7\cdot4=80$

    $|B\cdot A|=2\cdot9\cdot2+7\cdot7\cdot3+1\cdot4\cdot2-1\cdot9\cdot3-2\cdot7\cdot2-2\cdot4\cdot7=80$

    Die beiden Determinanten stimmen überein.

    Diese Aussage gilt für alle symmetrischen Matrizen $A$ und $B$ und deren Matrixprodukte $A\cdot B$ sowie $B\cdot A$.

  • Entscheide, welche der Matrizen symmetrisch ist.

    Tipps

    Eine symmetrische Matrix ist immer quadratisch.

    Wenn eine Matrix an der Diagonalen gespiegelt wieder die Matrix selbst ist, dann ist sie symmetrisch.

    Die Diagonalelemente müssen nicht identisch sein.

    Lösung
    1. Die Matrix $A$ ist symmetrisch, da $a_{12}=2=a_{21}$ ist.
    2. Die Matrix $B$ ist nicht symmetrisch, da $b_{12}=1\neq2=b_{21}$ ist.
    3. Die Matrix $C$ kann nicht symmetrisch sein, da sie nicht quadratisch ist.
    4. Die Matrix $D$ ist symmetrisch, da $d_{12}=2=d_{21}$, $d_{31}=2=d_{13}$ und $d_{23}=5=d_{32}$ ist.
    5. Die Matrix $E$ ist nicht symmetrisch, da $e_{23}=3\neq5=e_{32}$ ist.
  • Vergleiche die Matrixprodukte $A\cdot B$ sowie $B\cdot A$.

    Tipps

    Zwei Matrizen werden multipliziert, indem man jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix multipliziert.

    Das Produkt zweier symmetrischer Matrizen muss nicht symmetrisch sein.

    Die Matrixmultiplikation ist kommutativ, wenn beide Matrizen Diagonalmatrizen sind.

    Lösung

    Bei der Matrixmultiplikation wird jede Zeile der linken Matrix mit jeder Spalte der rechten Matrix multipliziert:

    $\begin{align*} A\cdot B&=\begin{pmatrix} 1&2&0\\ 2&3&3\\ 0&3&1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2&0&1\\ 0&2&1\\ 1&1&-1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 1\cdot2+2\cdot0+0\cdot1&1\cdot0+2\cdot2+0\cdot1&1\cdot1+2\cdot1+0\cdot(-1)\\ 2\cdot2+3\cdot0+3\cdot1&2\cdot0+3\cdot2+3\cdot1&2\cdot1+3\cdot1+3\cdot(-1)\\ 0\cdot2+3\cdot0+1\cdot1&0\cdot0+3\cdot2+1\cdot1&0\cdot1+3\cdot1+1\cdot(-1) \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2&4&3\\ 7&9&2\\ 1&7&2 \end{pmatrix}. \end{align*}$

    Ebenso kann

    $B\cdot A=\begin{pmatrix} 2&7&1\\ 4&9&7\\ 3&2&2 \end{pmatrix}$

    berechnet werden.

    Es ist zu erkennen, dass $A\cdot B=(B\cdot A)^T$ gilt.