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Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren

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Team Digital
Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren
lernst du in der Unterstufe 1. Klasse - 2. Klasse

Grundlagen zum Thema Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen zu multiplizieren und Dezimalbrüche durch Zehnerpotenzen zu dividieren.

Dezimalbruch mit Zehnerpotenzen multiplizieren

Zunächst lernst du, was eine Zehnerpotenz ist. Anschließend lernst du, wie du Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizierst. Abschließend lernst du, wie du Dezimalbrüche durch Zehnerpotenzen dividierst.

Dezimalbruch durch Zehnerpotenzen dividieren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Zehnerpotenz, Multiplikation, Division und Dezimalbruch.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein Dezimalbruch ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen,

Transkript Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren

So ein Umzug kann echt anstrengend sein. Diese elende Schlepperei! Gibt es da nicht eine Möglichkeit? Oh! Zum Glück gibt es Mr. Shrinks magischen Umzugsservice. Mit seinem praktischen Verkleinerungszauber wird die Arbeit um ein Vielfaches leichter. Wie das Ganze funktioniert? Nun ja, für seinen Zauber setzt Mr. Shrink voll auf die Magie der „Multiplikation und Division mit Zehnerpotenzen“. Eine Zehnerpotenz – was war das noch gleich? Dazu ein Beispiel: Wenn wir die Zahl zehn mit sich selbst multiplizieren, erhalten wir einhundert. Wir können „zehn mal zehn“ auch als Potenz schreiben: Nämlich als zehn hoch 2. Da wir die Zehn potenziert haben, sprechen wir bei einhundert von einer Zehnerpotenz. Die Hochzahl, auch Exponent genannt, gibt an, wie oft die Zehn als Faktor vorkommt. Zehn hoch eins ist also einfach zehn. Zehn hoch Drei ist gleich zehn mal zehn mal zehn und das ist eintausend. Die nächste Zehnerpotenz ist Zehntausend und so weiter. Der Exponent der Zehnerpotenz zeigt uns an, wie viele Nullen wir an die eins anhängen. Mit Zehnerpotenzen können wir besonders leicht multiplizieren. Multiplizieren wir eine ganze Zahl, wie zum Beispiel zweiundvierzig, mit zehn, können wir einen einfachen Trick anwenden: Wir hängen einfach eine Null an unsere Zahl und haben das Ergebnis – vierhundertzwanzig. Multiplizieren wir mit einhundert, müssen wir zwei Nullen anhängen, und so weiter. Es werden also einfach die Nullen der Zehnerpotenz an die ganze Zahl angehängt. Doch wie genau können wir Dezimalbrüchen mit Zehnerpotenzen multiplizieren? Auch dazu schauen wir uns ein Beispiel an: Wir multiplizieren 2,524 mit zehn. Wenn wir das mit dem Taschenrechner ausrechnen, erhalten wir 25,24. Multiplizieren wir den gleichen Dezimalbruch mit einhundert, ergibt das 252,4 und bei der Multiplikation mit eintausend erhalten wir zweitausendfünfhundertvierundzwanzig. Du erkennst wahrscheinlich schon, wie sich die Position des Kommas jeweils ändert. In jeder Zeile ist das Komma eine Stelle weiter nach rechts gerutscht. Bei der Multiplikation mit zehn um eine Stelle, bei der Multiplikation mit einhundert um zwei Stellen und bei der Multiplikation mit eintausend um drei Stellen, sodass es letztendlich verschwindet. Lass uns das in einem Merksatz festhalten: Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit einer Zehnerpotenz – wie zehn, hundert oder tausend und so weiter – so verschiebt sich das Komma des Dezimalbruchs um – eine, zwei oder drei Stellen und so weiter – nach rechts. Wollen wir den Dezimalbruch 0,059 mit einhundert multiplizieren, können wir also einfach unseren Merksatz anwenden und erhalten 5,9. Haben wir einen Dezimalbruch, der nur eine Nachkommastelle hat, beispielsweise 3,2 und multiplizieren diesen mit eintausend, müssen wir an die 3,2 einfach ein paar weitere Nullen als Nachkommastellen hinzufügen. Das dürfen wir machen, weil wir dadurch den Wert der Zahl nicht verändern. Dann können wir wieder unseren Merksatz anwenden: Und erhalten dreitausendzweihundert. Beim dividieren von Dezimalbrüchen durch Zehnerpotenzen ist es ganz ähnlich. Betrachten wir die Rechnung 634,5 geteilt durch zehn. Das Ergebnis ist 63,45. Teilen wir die gleiche Zahl durch einhundert erhalten wir 6,345. Bei der Division mit eintausend müssen wir noch eine Null vor das Komma setzen und haben dann 0,6345. Wie wir sehen, verschiebt sich auch hier das Komma. Diesmal allerdings nach links. Der Merksatz für die Division lautet also: Dividieren wir einen Dezimalbruch durch eine Zehnerpotenz – wie zehn, hundert oder tausend und so weiter – so verschiebt sich das Komma des Dezimalbruchs um – eine, zwei oder drei Stellen und so weiter – nach links. Bei der Division von Dezimalbrüchen mit Zehnerpotenzen kommt es manchmal dazu, dass wir weitere Nullen vor der Zahl hinzufügen müssen. Wenn wir 6,23 durch eintausend teilen wollen, können wir uns als kleine Hilfestellung Nullen vor unsere Zahl notieren und dann das Komma entsprechend verschieben. Teilen wir eine ganze Zahl durch eine Zehnerpotenz, können wir diese auch als Dezimalbruch mit Nullen als Nachkommastellen schreiben und das Komma anschließend wieder verschieben. Alles klar, mit Hilfe von Mr. Shrinks magischen Umzugsservice wurde das Hab und Gut um ein zehnfaches verkleinert! Wie der Umzug wohl läuft? Wir fassen das Wichtigste zunächst nochmal kurz zusammen. Wenn wir Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren oder dividieren wollen, können wir folgendermaßen vorgehen: Multiplizieren wir mit einer Zehnerpotenz, dann verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Dividieren wir hingegen durch eine Zehnerpotenz, verschiebt sich das Komma ebenfalls, je nach Anzahl der Nullen – allerdings nach links. So können wir bei Multiplikations- und Divisionsaufgaben mit Zehnerpotenzen mühelos das Ergebnis berechnen. Die Umzugskartons sind im neuen Heim angekommen. Das war ein Klacks! Jetzt nur noch auf Originalgröße zurück multiplizieren und upsi, da hat er wohl eine Null zuviel drangehängt.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. jetzt habe ich es geschaft

    Von Sabina #, vor etwa 2 Monaten
  2. wooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooow

    Von Pomeranian, vor etwa 2 Monaten
  3. wow

    Von ZÜMRA, vor 5 Monaten
  4. Das war eine sehr kurtze Übung ;)

    Von Franz, vor 8 Monaten
  5. ist cool

    Von why are you running ?, vor 8 Monaten
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Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dezimalbrüche mit Zehnerpotenzen multiplizieren und dividieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Kommaverschiebung bei der Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen.

    Tipps

    $1,245 \cdot 100 = 124,5$

    Multiplizieren wir mit einer Zehnerpotenz, dann verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

    Lösung

    Mit Zehnerpotenzen können wir besonders leicht multiplizieren.

    Multiplizieren wir eine ganze Zahl mit einer Zehnerpotenz, hängen wir einfach so viele Nullen an die Zahl, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

    Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

    • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $\mathbf{10}$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.
    • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $\mathbf{100}$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach rechts.
    • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $\mathbf{1\,000}$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach rechts.
    Beispiele:

    • $3,567 \cdot 10 = 35,67$
    • $3,567 \cdot 100 = 356,7$
    • $3,567 \cdot 1\,000 = \mathbf{3\,567}$
    Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

  • Gib an, welche Rechnungen richtig sind.

    Tipps

    Zähle nach, um wie viele Stellen das Komma nach links gewandert ist.

    Lösung

    Beim Dividieren von Dezimalbrüchen durch Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

    • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $10$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.
    • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $100$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach links.
    • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $1\,000$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach links.
    Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

    Wir wenden die Regel an und erkennen:

    Folgende Rechnungen sind korrekt:

    • $6,23:1\,000=0,00623$
    • $634,5:10=63,45$
    Folgende Rechnungen sind nicht korrekt:

    • $95:10=0,95 \quad$ Das Komma muss nur um eine, nicht um zwei Stellen verschoben werden: $\quad 95:10=9,5$
    • $634,5:1\,000=6,345 \quad$ Das Komma muss um drei, nicht um zwei Stellen verschoben werden: $\quad 634,5:1\,000=0,6345$
  • Berechne das Ergebnis der Division.

    Tipps

    $10^3=1\,000$

    Verschiebe das Komma um so viele Stellen nach links, wie der Divisor Nullen hat.

    Du kannst, um das Komma zu verschieben, Nullen links von der Zahl vor dem Komma ergänzen, nicht jedoch zwischen den Ziffern der Zahl.

    Lösung

    Beim Dividieren von Dezimalbrüchen durch Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

    • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $10$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach links.
    • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $100$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach links.
    • Dividieren wir einen Dezimalbruch durch $1\,000$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach links.
    Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

    Wenn wir das Komma weiter verschieben müssen, als die dargestellte Zahl Stellen hat, so ergänzen wir Nullen.
    Beispiel: $60,3:1\,000 =0060,3:1\,000 = 0,0603 $

    Wir wenden die Regel an:

    • $6,3:10 = 0,63$
    • $6,3:10^3 = 6,3:1\,000 = 0,0063$
    • $0,63:10 = 0,063$
    • $60,3:1\,000 = 0,0603$
    • $0,603:100 = 0,00603$
  • Ermittle, mit welcher Zahl multipliziert wurde.

    Tipps

    Überprüfe, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben wurde.

    Beispiel: $21,587 \cdot \square = 2\,158,7$

    Wir zählen ab, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben wurde: Es sind zwei Stellen. Also wurde mit $100$ multipliziert.

    Lösung

    Mit Zehnerpotenzen können wir besonders leicht multiplizieren.

    Beim Multiplizieren von Dezimalbrüchen mit Zehnerpotenzen gelten folgende Regeln:

    • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $10$, so verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.
    • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $100$, so verschiebt sich das Komma um zwei Stellen nach rechts.
    • Multiplizieren wir einen Dezimalbruch mit $1\,000$, so verschiebt sich das Komma um drei Stellen nach rechts.
    Allgemein verschiebt sich das Komma also um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat. Muss das Komma weiter verschoben werden als die Zahl Stellen hat, so können wir nach der letzten Nachkommastelle Nullen ergänzen.

    Wir betrachten die Rechnungen und zählen ab, um wie viele Stellen sich das Komma verschoben hat. Die Anzahl der Stellen entspricht dann der Anzahl der Nullen des Faktors:

    Multiplikationen mit dem Faktor $10$:

    • $0,0006 \cdot 10 = 0,006$
    • $3,12 \cdot 10 = 31,2$
    Multiplikationen mit dem Faktor $100$:

    • $3,535 \cdot 100 = 353,5$
    • $0,0043 \cdot 100 = 0,43$
    Multiplikationen mit dem Faktor $1\,000$:

    • $3,77 \cdot 1\,000 = 3\,770$
    • $99,001 \cdot 1\,000 = 99\,001$
    Multiplikationen mit dem Faktor $10\,000$:

    • $134,0057 \cdot 10\,000 = 1\,340\,057$
    • $0,004 \cdot 10\,000 = 40$
  • Stelle die Zehnerpotenzen als natürliche Zahlen dar.

    Tipps

    Der Exponent (die Hochzahl) gibt dir die Anzahl der Nullen an.

    Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise dafür, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

    Beispiel:
    $10^3=10 \cdot 10 \cdot 10$

    Lösung

    Wenn wir die Zahl $10$ potenzieren, so sprechen wir von Zehnerpotenzen. Die Potenz ist dabei die Kurzschreibweise der wiederholten Multiplikation der Zahl $10$ mit sich selbst:

    • $10^1=10$
    • $10^2=10 \cdot 10 =100$
    • $10^3=10 \cdot 10 \cdot 10 =1\,000$
    • $10^4=10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 =10\,000$
    Betrachten wir die Beispiele, so erkennen wir, dass der Exponent gleich der Anzahl der Nullen im Ergebnis ist.

  • Ordne die Rechenausdrücke von klein nach groß.

    Tipps

    Berechne zuerst jeden Rechenausdruck.

    $10^2=100$

    $10^3=1\,000$

    Beim Multiplizieren wird das Komma nach rechts verschoben.

    Beim Dividieren wird das Komma nach links verschoben.

    Lösung

    Beim Multiplizieren von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach rechts, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.
    Beim Dividieren von Dezimalzahlen durch Zehnerpotenzen verschiebt sich das Komma um so viele Stellen nach links, wie die Zehnerpotenz Nullen hat.

    Mit Hilfe dieser Regeln berechnen wir zuerst die Rechenausdrücke und sortieren sie dann von klein nach groß. Dazu vergleichen wir zunächst die Zahlen, die vor dem Komma stehen. Sind diese identisch, dann vergleichen wir die Nachkommastellen einzeln von links nach rechts:

    • $30,4:10^3 = 30,4:1\,000 = 0,0304$
    • $4,1:10 = 0,41$
    • $135,6:100 = 1,356$
    • $0,0801 \cdot 1\,000 = 80,1$
    • $1,4 \cdot 10^2 = 1,4 \cdot 100 = 140$
    • $0,31 \cdot 10^4 = 0,31 \cdot 10\,000 = 3\,100$
    $0,0304 \lt 0,41 \lt 1,356 \lt 80,1 \lt 140 \lt 3\,100$

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