Mit Dezimalbrüchen rechnen

Mit Dezimalbrüchen rechnen Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Dezimalzahlen.

  Tipps

  Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen müssen alle Zahlen stellengerecht untereinander geschrieben werden.

  Multiplizierst du eine Zahl mit $10$, wird diese Zahl um das Zehnfache größer.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Bei der Addition von Dezimalzahlen dürfen die Kommas nicht untereinander stehen.“

  • Bei der Addition und Subtraktion von Dezimalzahlen müssen alle Zahlen stellengerecht untereinander geschrieben werden. Das gilt auch für das Komma.

  „Multiplizierst du einen Dezimalbruch mit $10$, kannst du das Komma eine Stelle nach links verschieben.“

  • Multiplizierst du eine Zahl mit $10$, wird diese Zahl um das Zehnfache größer. Das entspricht dem Verschieben des Kommas um eine Stelle nach rechts.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Das Komma des Ergebnisses steht bei der schriftlichen Subtraktion direkt unter den Kommas der anderen Zahlen.“

  „Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.“

  „Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dann rechnest du wie gewohnt.“

  • Beim Verschieben des Kommas nach rechts, vergrößerst du beide Zahlen um den gleichen Faktor. Da du die Zahlen anschließend teilst, macht das in der Lösung keinen Unterschied. Die Rechnung vereinfacht sich dadurch aber sehr.

• Berechne die Ergebnisse der Rechnungen mit Dezimalzahlen.

  Tipps

  Schreibe die Zahlen bei der Subtraktion und Addition stellengerecht untereinander und führe die Rechnung durch. Achte dabei darauf, dass das Komma des Ergebnisses an der selben Stelle steht, wie bei den ursprünglichen Zahlen.

  Achte beim Multiplizieren darauf, dass die Anzahl der Nachkommastellen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren entspricht. Schreibe auch die $0$ am Ende.

  Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat.

  Lösung

  So kannst du die Rechnungen durchführen:

  • Für das Rattengehege kauft sie Holz für $35,89~\text{€}$ und Draht für $10,33~\text{€}$. Das kostet insgesamt: $46,22~\text{€}$.

  $\begin{array}{rr} &35,89\\ +&10,33 \\ &~_1~~_1~~\\ \hline &46,22 \\ \end{array}$

  • Von ihrem Ersparten von $208,26~\text{€}$ gibt Hannah $52,82~\text{€}$ aus. Also hat sie noch $155,44~\text{€}$ übrig.

  $\begin{array}{rr} &208,26\\ -&~52,82 \\ &~_1~~_1~~~~~~ \\ \hline &155,44 \\ \end{array}$

  • Außerdem kauft sie $2,35~\text{kg}$ Papierwolle, die pro Kilo $9,74~\text{€}$ kostet. Das ergibt zusammen: $22,8890~\text{€}$.

  $\begin{array}{cccccccc} &9,&7&4&\cdot &2,&3&5\\ \hline &&1&9&5&8&&\\ +&&&2&9&2&2&\\ +&&&&4&8&7&&\\ &&_1&_1&_1&&&\\ \hline &&2&2,&8&8&9&0\\ \end{array}$

  Beim Multiplizieren kannst du zuerst rechnen, ohne dich um das Komma zu kümmern und es anschließend verschieben. Beachte am Ende: Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

  • Am Ende hat sie noch $6,26~\text{€}$ übrig. Das möchte sie für Leckerlis ausgeben, die pro Kilo $15,65~\text{€}$ kosten. Also kann sie $0,4~\text{kg}$ Leckerlis einkaufen.

  Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dadurch, dass du Dividend und Divisor mit $10$ multiplizierst verändert sich der Wert nicht, die Rechnung vereinfacht sich aber erheblich.

  Wir erhalten also also bei der Rechnung $626:1565=0,4$.

• Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen mit Dezimalzahlen.

  Tipps

  Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.

  Die Subtraktion kannst du so aufschreiben.

  Lösung

  Die Lösungen kannst du durch schriftliche Rechnung bestimmen, wenn du die Regeln für die Setzung des Kommas berücksichtigst.

  $\begin{array}{rr} &~543,890\\ +&2345,542 \\ & ~_1~~_1~~~~ \\ \hline & 2889,432 \\ \end{array}$

  $\begin{array}{rr} &3253,832\\ -&1533,120 \\ &_1~~~~~~~~~~~~~~\\ \hline &1720,712 \\ \end{array}$

  • Diese Ergebnisse kannst du bestimmen, indem du die Zahlen zuerst stellengerecht untereinander schreibst und anschließend eine Subtraktion oder Addition durchführst. Achte dabei darauf, dass das Komma des Ergebnisses an derselben Stelle steht.

  $\begin{array}{cccccccccc} &3&2&1,&5&3&\cdot &1&2,&5&4\\ \hline &&&3&2&1&5&3&\\ +&&&&6&4&3&0&6&\\ +&&&&1&6&0&7&6&5&&\\ +&&&&&1&2&8&6&1&2&\\ &&&_1&_1&_1&_1&_1&&&\\ \hline &&&4&0&3&1,&9&8&6&2\\ \end{array}$

  $321,53 \cdot 12,54= 4031,9862$

  • Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren der Rechnung. Hier haben beide Faktoren jeweils $2$ Nachkommastellen. Also kannst du nach der Rechnung $4$ Stellen von hinten abzählen und hier das Komma setzen.

  $10130,328 : 23,4 = 432,92$

  • Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dann rechnest du wie gewohnt. Hier kannst du das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben.

• Erschließe die berechneten Dezimalzahlen.

  Tipps

  Beim Multiplizieren kannst du zuerst rechnen, ohne dich um das Komma zu kümmern und es anschließend verschieben. Dabei entsprechen die Nachkommastellen des Ergebnisses der Multiplikation der Summe der Nachkommastellen der Faktoren der Rechnung.

  Lösung

  Mit den Regeln für das Rechnen mit Dezimalzahlen kannst du diese Rechnungen durchführen und sortieren.

  Additionen und Subtraktionen führst du durch, indem du die Zahlen zuerst stellengerecht untereinander schreibst und anschließend berechnest. Achte dabei darauf, dass das Komma des Ergebnisses an derselben Stelle steht.

  Du kannst zuerst die Multiplikationen durchführen, ohne dich um das Komma zu kümmern und es anschließend verschieben. Die Nachkommastellen des Ergebnisses einer Multiplikation entsprechen der Summe der Nachkommastellen der Faktoren der Rechnung.

  Beim Dividieren durch eine Dezimalzahl verschiebst du das Komma so weit nach rechts, bis der Divisor kein Komma mehr hat. Dann rechnest du wie gewohnt.

  So erhältst du folgende Reihenfolge:

  • $12,32-4,43=7,89$

  • $47219,116 : 1143,32=41,3$

  • $11,32+41,3=52,62$

  • $12,32 \cdot 4,43=54,5776$

  • $1251,32+431,3=1682,62$

  • $11,32 \cdot 431,3=4882,316$

• Gib die Ergebnisse der Rechnungen an.

  Tipps

  Multiplizierst du eine Zahl mit einer Zehnerzahl, kannst du das Komma des einen Faktors um die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl nach rechts verschieben. Wenn nötig, kannst du dabei Nullen hinzufügen.

  Dividieren funktioniert genau umgekehrt. Hier verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen des Divisors nach links.

  Lösung

  Die Lösungen kannst du mit folgenden Regeln bestimmen. Multiplizierst du eine Zahl mit einer Zehnerzahl, kannst du das Komma der Zahl um die Anzahl der Nullen der Zehnerzahl nach rechts verschieben. Wenn nötig, kannst du dabei Nullen hinzufügen.

  Dividieren funktioniert genau umgekehrt. Hier verschiebst du das Komma um die Anzahl der Nullen des Divisors nach links. Dann erhältst du:

  $12,68 \cdot 10=126,8$

  $12,68 \cdot 100=1268$

  $1,78 \cdot 1000=1780$

  $5,75 : 10=0,575$

  $575 : 100=5,75$

  $585 : 1000=0,585$

• Bestimme die Lösungen der Terme.

  Tipps

  Es gilt: Rechnungen in Klammern werden zuerst berechnet.

  Anschließend gilt: Punkt vor Strich! Das bedeutet, dass Punktrechnungen ($\cdot$ und $:$) vor Strichrechnungen ($+$ und $-$) durchgeführt werden müssen.

  Lösung

  Auch die Kombinationen der Rechnungen mit Dezimalzahlen kannst du wie gewohnt durchführen. Beachte dabei die Reihenfolge! Es gilt: Rechnungen in Klammern werden zuerst berechnet. Anschließend gilt: Punkt vor Strich! Das bedeutet, dass Punktrechnungen ($\cdot$ und $:$) vor Strichrechnungen ($+$ und $-$) durchgeführt werden müssen.

  So erfährst du, dass diese Rechnung falsch ist:

  • $(236,34-234,54):0,45 \neq 2$

  Hier musst du zuerst subtrahieren:

  $\begin{array}{rr} &236,34\\ -&234,54 \\ & ~~~~~_1~~~~~ \\ \hline & ~~~1,80 \\ \end{array}$

  Dann berechnest du die Division, indem du das Komma zuerst um eine Stelle nach rechts verschiebst. So erhältst du:

  $180 : 45=4$

  Die vollständige Rechnung lautet also:

  $(236,34-234,54):0,45 = 1,8:0,45 = 180:45 = 4$

  Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

  • $(3,1\cdot 3,1-0,6 \cdot 0,6) : 0,25=(9,61-0,36):0,25= 9,25: 0,25=37$

  • $(54,43-53,13) \cdot 1,3=1,3 \cdot 1,3=1,69$

  • $(18,3426+4,54): (16,19-2,65)=22,8826:13,54=1,69$