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Brüche kürzen 05:32 min

20 Kommentare
  1. Gut erklärt aber etwas zu leise gesprochen

    Von Yvonne Bahs Jarzina, vor 24 Tagen
  2. Super erklärt! Jetzt verstehe ich es

    Von Liara D., vor etwa 2 Monaten
  3. super erklärt danke das du uns,mit dem viedeo so weiter geholfen hast

    Von Stevevelten79, vor etwa 2 Monaten
  4. Ich hoffe ich schreibe einen 2

    Von Anke 36, vor 4 Monaten
  5. Sehr gut erklärt

    Von Cindy Bliss, vor 4 Monaten
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Brüche kürzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche kürzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Regeln für das Kürzen von Brüchen wieder.

    Tipps

    Beim Kürzen werden zwei Zahlen durch dieselbe Zahl geteilt.

    Teile niemals durch Null!

    Die Größe eines Bruches ist dasselbe wie sein Wert.

    Lösung

    Die Definitionen kannst du folgendermaßen vervollständigen:

    • Dividiert man den Zähler und den Nenner eines Bruches durch die gleiche Zahl ($\neq \mathbf{0}$), so hat der entstehende Bruch die gleiche Größe.
    • Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn der Zähler und der Nenner durch die gleiche Zahl ($\neq \mathbf{0}$) dividiert werden.
    Merke dir: Du darfst nie durch null teilen!

  • Bestimme, welche Brüche die gleiche Größe haben.

    Tipps

    Du kannst einen Bruch kürzen, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst.

    Der Anteil an einem Ganzen, den ein Bruch nach dem Kürzen darstellt, ist derselbe wie vor dem Kürzen. Schneidest du zum Beispiel einen Kuchen in $10$ gleich große Stücke und isst $5$ davon, dann hast du einerseits $\frac{5}{10}$ des Kuchens gegessen, andererseits aber auch eine Hälfte, also $\frac{1}{2}$, des Kuchens.

    Mathematisch bedeutet das, dass die beiden Brüche gleich groß sind. Deshalb kannst du $\frac{5}{10}$ kürzen, um $\frac{1}{2}$ zu erhalten.

    Lösung

    Du kürzt einen Bruch, indem du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl teilst und die Ergebnisse als Zähler und Nenner in einen neuen Bruch schreibst. Dieser neue Bruch hat dann denselben Wert wie der ursprüngliche Bruch.

    Die Zahl, durch die du Zähler und Nenner teilen kannst, ist hier schon angegeben. Du erhältst:

    • $\dfrac{2}{4}=\dfrac{2:2}{4:2}=\dfrac{1}{2}$ (gekürzt mit $2$)
    • $\dfrac{8}{12}=\dfrac{8:4}{12:4}=\dfrac{2}{3}$ (gekürzt mit $4$)
    • $\dfrac{9}{15}=\dfrac{9:3}{15:3}=\dfrac{3}{5}$ (gekürzt mit $3$)
    • $\dfrac{7}{21}=\dfrac{7:7}{21:7}=\dfrac{1}{3}$ (gekürzt mit $7$)
  • Bestimme den gekürzten Bruch oder die Zahl, mit der gekürzt wurde.

    Tipps

    Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl.

    Lösung

    Die Brüche, deren gekürzte Form bereits vorgegeben war, wurden mit den folgenden Zahlen gekürzt:

    • $\frac{7}{49}=\frac{1}{7}$, gekürzt mit $7$ (da $7:7=1$ und $49:7=7$)
    • $\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$, gekürzt mit $3$ (da $6:3=2$ und $21:3=7$)
    Kürzt du die anderen beiden Brüche mit den bereits vorgegebenen Zahlen, so ergibt sich:

    • $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$, gekürzt mit $6$ (da $12:6=2$ und $18:6=3$)
    • $\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$, gekürzt mit $2$ (da $8:2=4$ und $18:2=9$)
  • Bestimme die gekürzten Formen der angegebenen Brüche.

    Tipps

    Beim Kürzen teilst du Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl ($\neq 0$).

    Lösung

    Wenn du einen Bruch kürzen möchtest, dann teilst du den Zähler und den Nenner des Bruches durch dieselbe Zahl. Es kann vorkommen, dass du erst herausfinden musst, durch welche Zahl du überhaupt teilen kannst; hier ist diese Zahl aber bereits gegeben.
    Die gekürzten Brüche sehen damit folgendermaßen aus:

    • $\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$, gekürzt mit $2$ (denn $4:2=2$ und $10:2=5$)
    • $\dfrac{27}{81}=\dfrac{1}{3}$, gekürzt mit $27$ (denn $27:27=1$ und $81:27=3$)
    • $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$, gekürzt mit $3$ (denn $6:3=2$ und $9:3=3$)
    • $\dfrac{5}{25}=\dfrac{1}{5}$, gekürzt mit $5$ (denn $5:5=1$ und $25:5=5$)
    • $\dfrac{36}{48}=\dfrac{3}{4}$, gekürzt mit $12$ (denn $36:12=3$ und $48:12=4$)
    • $\dfrac{56}{64}=\dfrac{7}{8}$, gekürzt mit $8$ (denn $56:8=7$ und $64:8=8$)
  • Gib an, welche Aussagen zum Kürzen von Brüchen wahr sind.

    Tipps

    Den Bruch $\frac{3}{9}$ kannst du mit der Zahl $3$ zu $\frac{1}{3}$ kürzen, da die Zahlen $3$ und $9$ die Zahl $3$ als gemeinsamen Primfaktor haben. Es gilt dann:

    $\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$

    Eine Division durch null ist nicht erlaubt.

    Lösung

    Die folgenden Aussagen sind wahr:

    • Einen Bruch kannst du immer kürzen, wenn Zähler und Nenner mindestens einen gemeinsamen Primfaktor besitzen. Genau dann kannst du beide Zahlen durch diesen Primfaktor (oder diese Primfaktoren) teilen, um den Bruch zu kürzen.
    • Beim Kürzen eines Bruches teilst du den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl. Das ist die Definition des Kürzens.
    • Ein Bruch hat nach dem Kürzen denselben Wert wie vorher. Deshalb ist das Kürzen so wichtig: Es erlaubt uns, ein und denselben Wert auf mehrere Arten darzustellen.
    Die folgenden Aussagen sind falsch und müssen korrigiert werden:

    • Einen Bruch kannst du mit jeder beliebigen Zahl kürzen. Einen Bruch kann man nur kürzen, wenn Zähler und Nenner gemeinsame Primfaktoren besitzen.
    • Beim Kürzen eines Bruches werden Zähler und Nenner vertauscht. Zähler und Nenner werden nicht vertauscht, nur durch dieselbe Zahl geteilt.
    • Brüche lassen sich nur mit geraden Zahlen kürzen. Mit welcher Zahl gekürzt werden kann, hängt vom Bruch ab. Ungerade Zahlen sind dabei aber genauso gut möglich wie gerade.
  • Untersuche, in welchen Situationen du welchen Anteil erhältst.

    Tipps

    Drücke den Anteil, den du am möglichen Ganzen erhältst, zunächst als Bruch aus.

    Wenn du dir nicht sicher bist, welcher von zwei Brüchen größer ist, dann bringe die zwei Brüche auf den gleichen Nenner.
    Ein Beispiel: Willst du $\frac{5}{8}$ und $\frac{11}{16}$ vergleichen, dann kannst du den ersten Bruch mit $2$ erweitern, um $\frac{10}{16}$ zu erhalten. Dieser Bruch ist also kleiner als $\frac{11}{16}$, da $10<11$ ist.

    Lösung

    Um die Situationen in die richtige Reihenfolge zu bringen, sehen wir uns zuerst an, wie wir sie in Brüchen ausdrücken können. Anschließend können wir die Werte dieser Brüche vergleichen.

    Ihr esst zu dritt eine Pizza, die ihr in $8$ gleich große Stücke teilt. Du bekommst $2$ dieser Stücke.

    • Hier ist eine Pizza das mögliche Ganze. Diese wird in $8$ Stücke, also in Achtel geteilt, von denen du $2$ essen darfst - du erhältst also $\frac{2}{8}$ der Pizza. Dieser Bruch lässt sich noch kürzen; da wir aber noch nicht wissen, mit welchen Brüchen ihn wir später vergleichen müssen, lassen wir ihn erst mal so stehen.
    Du hast $12$ Brownies für deine Familie gebacken, doch dabei leider vergessen, dass deine Eltern beide kein Gluten vertragen. Deiner Schwester schmecken die Brownies sehr gut, doch sie schafft leider nicht so viele davon. Du musst $9$ der $12$ Brownies alleine essen.

    • Hier sind $12$ Brownies das Ganze und du musst $9$ Stück davon essen. Du erhältst also $\frac{9}{12}$ des Ganzen.
    Du kaufst auf dem Wochenmarkt $32$ Wassermelonen. Als du nach Hause kommst, stellst du leider fest, dass einige davon bereits angefault sind - du kannst jetzt nur noch $28$ der $32$ Melonen essen.

    • Die $32$ Melonen sind hier die Ausgangsmenge, also ein Ganzes. Vier davon sind angefault, also sind $28$ Melonen übrig, die du noch essen kannst, um deinen Melonen-Heißhunger zu stillen. Insgesamt kannst du also noch $\frac{28}{32}$ des ursprünglichen Ganzen essen.
    Du stehst an einer Schießbude und bekommst $16$ Dartpfeile, die du auf Luftballons werfen kannst. Für jeden Luftballon, den du triffst, gewinnst du einen Euro; der mögliche Gesamtgewinn ist also $16$ Euro. Du triffst $6$ Ballons.

    • Hier ist das mögliche Ganze der Gesamtgewinn, also die $16$ Euro. Da du $6$ Ballons triffst, gewinnst du auch $6$ Euro, also $\frac{6}{16}$ des Gesamtgewinns.
    Es liegen also die folgenden Brüche vor: $\frac{2}{8}$ (Pizza), $\frac{9}{12}$ (Brownies), $\frac{28}{32}$ (Melonen) und $\frac{6}{16}$ (Ballons). Der Trick ist nun, diese Brüche auf denselben Nenner zu bringen, sodass wir sie der Größe nach sortieren können.

    Hierbei bietet sich die $32$ als Nenner an, denn die $8$ und die $16$ (die Nenner zweier anderer Brüche) sind beide Faktoren der $32$. Wir können also $\frac{2}{8}$ mit $4$ erweitern, um $\frac{8}{32}$ zu erhalten, und $\frac{6}{16}$ mit $2$ erweitern, sodass wir $\frac{12}{32}$ herausbekommen. Einzig der Bruch $\frac{9}{12}$ ist dann noch übrig. Die $12$ selbst ist kein Faktor der $32$, allerdings können wir diesen Bruch zunächst auf $\frac{3}{4}$ kürzen. Die $4$ - also der Nenner dieses neuen Bruches - ist nun ein Faktor von $32$, sodass wir diesen Bruch mit $8$ auf $\frac{24}{32}$ erweitern können.

    Dann liegen vier Brüche mit dem Nenner $32$ vor, die wir nun einfach nach der Größe ihres Zählers sortieren können. Wir erhalten damit:

    $\frac{8}{32}$ (Pizza) $<$ $\frac{12}{32}$ (Ballons) $<$ $\frac{24}{32}$ (Brownies) $<$ $\frac{28}{32}$ (Melonen)

    Der Vollständigkeit halber können wir die Brüche jetzt noch in vollständig gekürzter Form angeben:

    $\frac{1}{4} < \frac{3}{8} < \frac{3}{4} < \frac{7}{8}$