Bruchgleichungen – Aufgabe 6

Hallo! Hier ist eine Bruchgleichung und wir möchten uns überlegen welche x wir einsetzen können, also was der Definitionsbereich dieser Bruchgleichung ist. Die Bruchgleichung lautet 1/x-2 +1=3/x-2. Der Definitionsbereich ergibt sich daraus, dass wir ausschließen wollen, solche Zahlen für x einzusetzen, sodass der Nenner 0 wird, man kann ja durch 0 nicht teilen. Hier ist der Nenner jeweils x-2. Wir müssen uns also überlegen: Für welche Zahlen wird x-2=0? Das ist einfach gemacht. Wenn x=2 ist, dann ist x-2=0, weil ja 2-2=0 ist. Deshalb müssen wir hier die 2 ausschließen, die dürfen wir nicht einsetzen, da ansonsten ein sinnloser Ausdruck herauskommt. Ansonsten können wir alle möglichen rationalen Zahlen einsetzen. Das ist der Definitionsbereich. Das D mit dem Doppelstrich hier ist der Definitionsbereich. Da steht er. Also dann! Wir müssen wieder gucken, dass das x aus dem Nenner herauskommt. Dazu können wir am Besten mit dem Nenner multiplizieren. Und das werde ich jetzt auch mal machen. Und zwar ×(x-2) auf beiden Seiten. x-2 muss natürlich in Klammer stehen, weil da mit einer Summe multipliziert wird. Ich glaube das muss ich nicht mehr alles extra hinschreiben. Wenn du hier 1/x-2 mit x-2 multiplizierst, dann kannst du x-2 kürzen. Es bleibt die 1. Wenn du die 1 hier mit x-2 multiplizierst, dann steht da 1×(x-2) und das ist gleich x-2. Wenn du 3/x-2 mit x-2 multiplizierst, kannst du x-2 kürzen und dann ist x-2 weg. Und dann bleibt noch die 3 übrig. Dann ist die Gleichung doch recht sympathisch geworden, glaube ich. Wir haben 1-2. Das ist gleich -1. Jetzt können wir +1 auf beiden Seiten rechnen und dann kommt hier heraus x=4. Ich glaube das muss ich nicht weiter begründen. Was wir noch machen müssen, ist die Probe. Wir möchten ja wissen, ob wir richtig gerechnet haben, oder nicht. Hier also 1/4-2 + 1=3/4-2. Diese 4-2 können wir jeweils ausrechnen. 4-2 ist 2. Dann steht hier also 1/2+1=3/2. Hier ist auch 4-2=2. Wenn ich die 1 noch auf Halbe erweitere, dann steht hier also 1/2+2/2=3/2. Das ist richtig. Dazu ist nichts weiter zu sagen. Die Probe ist gelungen. Wir haben diese Gleichung gelöst und damit ist der Film vorbei. Bis bald! Tschüs!