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Bruchgleichungen lösen

Wurzelgleichungen, Bruchgleichungen, Gleichungen dritten Grades, Gleichungen vierten Grades, biquadratische Gleichungen, ausklammern, Substitution

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist ein Bruchterm?

Bruchterme sind eine besondere Form von Termen. Sie zeichnen sich durch die folgenden zwei Eigenschaften aus.

Ein Bruchterm enthält einen Bruch. Im Nenner dieses Bruches befindet sich eine Variable, zum Beispiel xx.

Um diese Erklärung etwas besser zu verstehen, siehst du hier Beispiele für Bruchterme und auch eines für einen Bruch, welcher kein Bruchterm ist:

  • 2x2\frac{2}{x-2} ist ein Bruchterm: Die Variable xx kommt im Nennerterm x2x-2 vor.
  • x2+1x+3\frac{x^{2}+1}{x+3} ist ebenfalls ein Bruchterm.
  • x22\frac{x-2}2 ist kein Bruchterm: Es liegt zwar ein Bruch vor, jedoch kommt die Variable nur im Zähler, aber nicht im Nennerterm vor.

Bruchterme tauchen vor allem bei Bruchgleichungen auf. Dabei ist zu beachten, dass der Term oder die Gleichung nicht für alle xx definiert ist, denn im Nenner eines Bruches kann keine 00 stehen. Bevor du also mit dem Lösen einer Aufgabe zu Bruchtermen oder Bruchgleichungen beginnst, solltest du den Definitionsbereich bestimmen.

Um diesen zu bestimmen, musst du zunächst alle xx kennen, für die der Term im Nenner des Bruches 00 wird. Wie das geht, weißt du bestimmt schon, oder? Richtig, hier musst du die Nullstellen bestimmen. Wie das konkret geht, siehst in den folgenden beiden Beispielen.

Beispiel 1: 2x2\frac{2}{x-2}

  • x2=0x-2=0 führt durch Addition von 22 zu x=2x=2, der Nullstelle der Gleichung. Für x=2x=2 ist der Bruchterm nicht definiert. Denn setzt man für xx eine 22 ein, wird der Nenner 00.
  • Jetzt folgt noch die Formulierung des Definitionsbereiches:  D=R{2}\ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}.

Gesprochen heißt das: “Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer der 22.”

Beispiel 2: 3xx2x\frac{3x}{x^{2}-x}

  • Löse die Gleichung x2x=0x^{2}-x=0. Klammere xx aus. Dies führt zu x(x1)=0x(x-1)=0. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder x=0x=0 oder x=1x=1. Für diese xx ist der Bruchterm nicht definiert.
  • Damit ist D=R{0; 1}\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0;~1\}.

Bruchgleichungen

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält.

Hier lernst du nun, wie du Bruchgleichungen lösen kannst.

Beispiel 1

Wir schauen uns das Beispiel 10x=8x2\frac{10}{x}=\frac{8}{x-2} an.

  • Zunächst bestimmst du die Definitionsmenge: Der linke Bruch ist nicht definiert für x=0x=0 und der rechte für x=2x=2. Somit ist D=R{0; 2}\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0;~2\}.
  • Jetzt geht es los: Bringe die beiden Brüche auf den Hauptnenner x(x2)x(x-2). Erweitere also den linken Bruch mit (x2)(x-2) und den rechten mit xx. Du erhältst die Gleichung 10(x2)x(x2)=8xx(x2)\frac{10(x-2)}{x(x-2)}=\frac{8x}{x(x-2)}.
  • Nun kannst du mit dem Hauptnenner multiplizieren und die Gleichung weiter umformen:

10(x2)x(x2)=8xx(x2)x(x2)10(x2)=8xAusmultiplizieren10x20=8x8x+202x=20:2x=10\begin{array}{lllll} &\frac{10(x-2)}{x(x-2)}&=&\frac{8x}{x(x-2)}&\vert \cdot{x(x-2)}\\ & 10(x-2)&=&8x &\vert \text{Ausmultiplizieren}\\ & 10x-20&=&8x &\vert -{8x} \vert +20\\ & 2x &=& 20 &\vert :2\\ & x &=& 10 \end{array}

Die Lösung der Bruchgleichung ist also x=10x=10.

Beispiel 2

Was passiert, wenn der Term im Nenner quadratisch ist? 12x21=4\frac{12}{x^{2}-1}=4

  • Auch hier bestimmst du zunächst die Definitionsmenge: Es muss gelten x210x^{2}-1\neq 0. Addiere 11 und ziehe die Wurzel. So erhältst du D=R{1; 1}\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1;~1\}.
  • Multipliziere nun mit x21x^{2}-1. Du erhältst dann 12=4(x21)12=4(x^{2}-1).
  • Dividiere durch 44 und forme um zu der quadratischen Gleichung x24=0x^{2}-4=0.
  • Nun kannst du 44 addieren und die Wurzel ziehen. Du erhältst dann die Lösungen x=2x=2 oder x=2x=-2. Beide liegen im Definitionsbereich.