Bruchgleichungen lösen

Was ist ein Bruchterm?

Bruchterme sind eine besondere Form von Termen. Sie zeichnen sich durch die folgenden zwei Eigenschaften aus.

Ein Bruchterm enthält einen Bruch. Im Nenner dieses Bruches befindet sich eine Variable, zum Beispiel $x$.

Um diese Erklärung etwas besser zu verstehen, siehst du hier Beispiele für Bruchterme und auch eines für einen Bruch, welcher kein Bruchterm ist:

• $\frac{2}{x-2}$ ist ein Bruchterm: Die Variable $x$ kommt im Nennerterm $x-2$ vor.
• $\frac{x^{2}+1}{x+3}$ ist ebenfalls ein Bruchterm.
• $\frac{x-2}2$ ist kein Bruchterm: Es liegt zwar ein Bruch vor, jedoch kommt die Variable nur im Zähler, aber nicht im Nennerterm vor.

Bruchterme tauchen vor allem bei Bruchgleichungen auf. Dabei ist zu beachten, dass der Term oder die Gleichung nicht für alle $x$ definiert ist, denn im Nenner eines Bruches kann keine $0$ stehen. Bevor du also mit dem Lösen einer Aufgabe zu Bruchtermen oder Bruchgleichungen beginnst, solltest du den Definitionsbereich bestimmen.

Um diesen zu bestimmen, musst du zunächst alle $x$ kennen, für die der Term im Nenner des Bruches $0$ wird. Wie das geht, weißt du bestimmt schon, oder? Richtig, hier musst du die Nullstellen bestimmen. Wie das konkret geht, siehst in den folgenden beiden Beispielen.

Beispiel 1: $\frac{2}{x-2}$

• $x-2=0$ führt durch Addition von $2$ zu $x=2$, der Nullstelle der Gleichung. Für $x=2$ ist der Bruchterm nicht definiert. Denn setzt man für $x$ eine $2$ ein, wird der Nenner $0$.
• Jetzt folgt noch die Formulierung des Definitionsbereiches: $\ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Gesprochen heißt das: “Die Definitionsmenge sind alle reellen Zahlen außer der $2$.”

Beispiel 2: $\frac{3x}{x^{2}-x}$

• Löse die Gleichung $x^{2}-x=0$. Klammere $x$ aus. Dies führt zu $x(x-1)=0$. Nach dem Satz vom Nullprodukt ist entweder $x=0$ oder $x=1$. Für diese $x$ ist der Bruchterm nicht definiert.
• Damit ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0;~1\}$.

Bruchgleichungen

Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, die mindestens einen Bruchterm enthält.

Hier lernst du nun, wie du Bruchgleichungen lösen kannst.

Beispiel 1

Wir schauen uns das Beispiel $\frac{10}{x}=\frac{8}{x-2}$ an.

• Zunächst bestimmst du die Definitionsmenge: Der linke Bruch ist nicht definiert für $x=0$ und der rechte für $x=2$. Somit ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0;~2\}$.
• Jetzt geht es los: Bringe die beiden Brüche auf den Hauptnenner $x(x-2)$. Erweitere also den linken Bruch mit $(x-2)$ und den rechten mit $x$. Du erhältst die Gleichung $\frac{10(x-2)}{x(x-2)}=\frac{8x}{x(x-2)}$.
• Nun kannst du mit dem Hauptnenner multiplizieren und die Gleichung weiter umformen:

$\begin{array}{llll} &\frac{10(x-2)}{x(x-2)}&=&\frac{8x}{x(x-2)}&\vert \cdot{x(x-2)} \newline & 10(x-2)&=&8x &\vert \text{Ausmultiplizieren} \newline & 10x-20&=&8x &\vert -{8x} \vert +20 \newline & 2x &=& 20 &\vert :2 \newline & x &=& 10 \end{array}$

Die Lösung der Bruchgleichung ist also $x=10$.

Beispiel 2

Was passiert, wenn der Term im Nenner quadratisch ist? $\frac{12}{x^{2}-1}=4$

• Auch hier bestimmst du zunächst die Definitionsmenge: Es muss gelten $x^{2}-1\neq 0$. Addiere $1$ und ziehe die Wurzel. So erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1;~1\}$.
• Multipliziere nun mit $x^{2}-1$. Du erhältst dann $12=4(x^{2}-1)$.
• Dividiere durch $4$ und forme um zu der quadratischen Gleichung $x^{2}-4=0$.
• Nun kannst du $4$ addieren und die Wurzel ziehen. Du erhältst dann die Lösungen $x=2$ oder $x=-2$. Beide liegen im Definitionsbereich.