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Bruchgleichungen

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Was ist eine Bruchgleichung?

In einer Bruchgleichung kommt die Variable $x$ mindestens einmal im Nenner eines Bruches vor.

Wichtig dabei ist, dass du dir zunächst einmal den Definitionsbereich einer solchen Gleichung klarmachst. Da das Teilen durch $0$ nicht definiert ist, musst du zunächst einmal alle Werte für $x$ ausschließen, für die ein Nenner $0$ werden kann.

Schau dir ein Beispiel an. Löse folgende Bruchgleichung:

$\frac{10}{4x+1}=2$ .

Es muss $4x+1\neq 0$ sein. Du löst also die Gleichung $4x+1=0$, was zu $x=-\frac14=-0,25$ führt. Der Definitionsbereich lautet nun $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{-0,25\}$.

Nun kannst du die Bruchgleichung lösen.

Lösen von Bruchgleichungen

Du wendest Äquivalenzumformungen an:

$\begin{array}{rclll} \frac{10}{4x+1}&=&2&|&\cdot (4x+1)\\ 10&=&2(4x+1)&|&:2\\ 5&=&4x+1&|&-1\\ 4&=&4x&|&:4\\ 1&=&x \end{array}$

$x=1\in\mathbb{D}$ löst also die Bruchgleichung. Du kannst die Probe durchführen und erhältst $\frac{10}{4\cdot 1+1}=\frac{10}5=2$. ✓

Bruchgleichungen mit mehreren Brüchen

Die Variable $x$ kann auch in mehreren Brüchen vorkommen. Schau dir folgende Bruchgleichung an:

$\frac4{x+1}+\frac3x=2$.

Zunächst bestimmst du auch hier den Definitionsbereich. Dieser lautet $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1;0\}$.

Du bringst nun die beiden Brüche auf der linken Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner:

$\begin{array}{rclll} \frac4{x+1}+\frac3x&=&2\\ \frac{4x}{(x+1)x}+\frac{3(x+1)}{(x+1)x}&=&2\\ \frac{7x+3}{x^2+x}&=&2&|&\cdot (x^2+x)\\ 7x+3&=&2x^2+2x&|&-7x-3\\ 0&=&2x^2-5x-3 \end{array}$

Du erhältst hier eine quadratische Gleichung, welche du zum Beispiel mit der Mitternachtsformel lösen kannst:

$\begin{array}{rcl} x_{1;2}&=&\frac{5\pm\sqrt{25+24}}{4}\\ x_1&=&\frac{5+7}4=3\\ x_2&=&\frac{5-7}4={-0,5} \end{array}$

Führe auch hier die Probe durch:

  • $x_{1}=3$ führt zu $\frac4{3+1}+\frac3{3}=\frac44+\frac33=1+1=2$. ✓
  • $x_{2}={-0,5}$ führt zu $\frac4{{-0,5}+1}+\frac3{-0,5}=\frac4{0,5}-\frac3{0,5}=8-6=2$. ✓