Bruchgleichungen – Aufgabe 4

Hallo! Das hier ist eine Bruchgleichung und die kann man lösen. Aber zuerst überlegen wir uns, was der Definitionsbereich ist. Also, wir können etwas für x einsetzen, wir können Zahlen für x einsetzen. Und in diesem Zusammenhang hab ich so mal festgelegt, dass wir rationale Zahlen für x einsetzen wollen. Das Q mit dem Doppelstrich steht für die rationalen Zahlen. Man könnte auch reelle nehmen, mache ich aber hier im Moment nicht. Aber, da x im Nenner steht, kann man nicht jede Zahl einsetzen, denn dann könnte der Nenner 0 werden, und der Nenner sollte nicht 0 werden, weil man ja durch 0 nicht teilen kann. Der Nenner wird 0, wenn x=0 ist, und deshalb kann man die 0 für x nicht einsetzen, sie wird deshalb ausgeschlossen. Der Definitionsbereich lautet also: Alle rationalen Zahlen ohne 0. Das kann ich noch ein bisschen hier rüber schreiben, und dann kann ich hier auch das Zeichen für die Äquivalenzumformung schön hinschreiben. Denn jetzt möchte ich diese Gleichung umformen, um sie zu lösen. Und als erstes, was man da machen muss, ist ja immer, zusehen, dass das x aus dem Nenner verschwindet. Und das mache ich hier, indem ich die ganze Gleichung mit x multipliziere. (1/x)×x=1, denn das x kürzt sich weg, wie man so sagt. Ich muss jeden Summanden mit x multiplizieren, also auch hier, -4×x=-4x. (9/x)×x=9, denn das x wird wieder gekürzt. Wir können ja auch kürzen, weil wir ja die 0 ausgeschlossen haben. Ist also kein Problem. Jetzt möchte ich +4x rechnen, damit das Minuszeichen da weg ist. Dann stehen die 4x zwar auf der anderen Seite, das macht aber nichts. Also haben wir hier 1=4x+9. Und jetzt möchte ich  +4x muss das heißen, so. Und jetzt auf beiden Seiten -9 rechnen. Und da brauche ich eine neue Folie. -9 auf beiden Seiten, dann steht hier 1, auf der linken Seite steht 1-9, ja, das ist -8. Und auf der rechten Seite steht dann noch 4x. Und jetzt kann ich durch 4 teilen, beide Seiten. -8/4=-2, und 4x/4=x. Und somit haben wir ein Ergebnis für x. Und das möchte ich jetzt natürlich gleich mal ausprobieren. Also die Probe machen. Mal kucken, ob wir hier richtig gerechnet haben, oder ob ich hier richtig gerechnet habe. Ich hoffe aber, du hast mitgerechnet und kannst jetzt auch hier gleich die Probe machen. Ich setze jetzt einfach das, was hier für x ausgerechnet wurde, in die Gleichung ein, dann steht da (1/(-2))-4=9/(-2). Was kann ich da ausrechnen? Was mache ich da am besten? Ich möchte die 4 auf Halbe erweitern. Das ist ja, was hier steht, die 4 Ganzen, also die 4 nur, das sind ja 4 Eintel, wie man so sagt oder 4 Ganze, und die kann ich erweitern, das ist ein Bruch. Und 1/(-2) schreibt man meistens, das Minuszeichen wird meistens dann vor den Bruch geschrieben, also steht hier einfach -1/2. Das ist das Gleiche. Und hier steht dann -(8/2). 8/2 ist das Gleiche wie 4, und hier wird das Minuszeichen auch dann meist vor den Bruchstrich geschrieben. -9/2 steht auf der anderen Seite und ich glaube, da muss ich jetzt nicht mehr weiterrechnen. -(1/2)-8/2 sind insgesamt -9/2, das heißt, wir haben hier richtig gerechnet. Die Probe ist gelungen. Wenn man für x=-2 einsetzt, in diese Gleichung, dann wird die Gleichung richtig und sonst nicht. Mehr ist nicht zu sagen. Bruchgleichung ist fertig. Viel Spaß damit, tschüss!