Bruchgleichungen - Aufgabe 1

Bruchgleichungen - Aufgabe 1 Übung

• Beschreibe, was eine Bruchgleichung ist.

  Tipps

  $\frac1x=4$ ist eine Bruchgleichung und $x=\frac14$ ist keine Bruchgleichung.

  In der Gleichung $\frac x2=2$ kommt $x$ in einem Bruch vor. Dies ist trotzdem keine Bruchgleichung.

  Merke dir: Im Bruch steht der Zähler oberhalb und der Nenner unterhalb des Bruchstrichs.

  Lösung

  Die Gleichung $\frac1{x-1}=1$ für $x\neq1$ ist eine Bruchgleichung.

  Was ist eigentlich eine Bruchgleichung?

  Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte, also die Gleichungsvariable, auch in einem Nenner vorkommt (und nicht gekürzt werden kann).

  Um die Gleichung zu lösen bzw. um $x$ zu bestimmen, musst du die Gleichung so umformen, dass die Gleichungsvariable nicht mehr im Nenner steht.

  Hier siehst du weitere Beispiele für Bruchgleichungen:

  • $\frac1x=4$
  • $\frac x{x+1}=2$
  • $\frac x{2x-1}=\frac1x$

• Bestimme die Lösung der Bruchgleichung.

  Tipps

  Bei einer Bruchgleichung steht die Gleichungsvariable in einem Nenner.

  Um die Gleichungsvariable (hier: $x$) zu bestimmen, muss die Gleichung so umgeformt werden, dass diese nicht mehr im Nenner steht.

  Du darfst eine Gleichung mit einer Zahl oder einem Term (ungleich $0$) multiplizieren.

  Wenn in einem Bruch derselbe Term im Zähler und im Nenner steht, kannst du diesen kürzen.

  Hier siehst du ein Beispiel:

  $\frac a{a\cdot x}=\frac{\not a}{\not a\cdot x}=\frac1x$

  Am Ende der Umformungen steht $x$, die Gleichungsvariable, auf einer Seite alleine. Du kannst dann die Lösung ablesen.

  Lösung

  Bei der Gleichung $\frac1{x-1}=1$ steht die Gleichungsvariable in einem Nenner.

  Ziel ist es nun, die Gleichung so umzuformen, dass die Gleichungsvariable nicht mehr im Nenner steht. Deshalb multiplizierst du auf beiden Seiten der Gleichung mit $x-1$. Dies ist aber nur möglich, solange $x\in\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ gilt.

  Du erhältst dann:

  $\frac{1\cdot (x-1)}{x-1}=1\cdot (x-1)$

  Auf der linken Seite kommt jeweils im Zähler und im Nenner der Faktor $x-1$ vor. Das bedeutet, du kannst diesen kürzen. Auf der rechten Seite verwendest du, dass $1\cdot (x-1)=x-1$ ist: $1=x-1$.

  Zuletzt addierst du auf beiden Seiten $1$ und erhältst $x=2$.

  Der Vergleich mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ ergibt, dass die Zahl $2$ darin enthalten ist. Es handelt sich also um eine mögliche Lösung der Bruchgleichung.

  Wir machen noch schnell eine Probe und setzen die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung ein:

  $\frac1{2-1}=\frac11=1~\checkmark$

• Entscheide, ob eine Bruchgleichung vorliegt.

  Tipps

  In einer Bruchgleichung steht die Gleichungsvariable in einem Nenner.

  Es genügt nicht, dass die Gleichungsvariable in einem Bruch steht: $\frac x3=1$ ist keine Bruchgleichung.

  Lösung

  Hier kannst du an einigen Beispielen üben, ob du eine Bruchgleichung erkennst. Einige sehen recht ähnlich aus. Trotzdem müssen nicht alle Bruchgleichungen sein.

  Die Definition lautet: Eine Gleichung, bei der die Gleichungsvariable in einem Nenner steht, nennen wir Bruchgleichung.

  Bruchgleichungen sind:

  • $\frac3x=1$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$
  • $\frac{3x}{x+2}=\frac1{x}$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2;0\}$
  • $\frac{6}{3x}=2$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

  Keine Bruchgleichungen sind:

  • $\frac x3=1$
  • $\frac{x+1}6=\frac x3$
  • $\frac x6=2x$

• Ordne jeder der Bruchgleichungen die Lösung zu.

  Tipps

  Multipliziere jeweils mit dem Nennerterm, in welchem die Gleichungsvariable vorkommt.

  Erinnere dich an die möglichen Äquivalenzumformungen. Du formst eine Gleichung äquivalent um, indem du ...

  • ... auf beiden Seiten der Gleichung eine Zahl oder einen Term addierst oder subtrahierst.
  • ... auf beiden Seiten der Gleichung mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ multiplizierst.
  • ... auf beiden Seiten der Gleichung durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ dividierst.
  • ... auf einer oder beiden Seiten Termumformungen durchführst. (Wenn du einen Bruch kürzt, ist das bspw. eine Termumformung.)

  Lösung

  Jede der folgenden Gleichungen ist eine Bruchgleichung. Diese werden jeweils so umgeformt, dass die Gleichungsvariable nicht mehr im Nenner steht.

  $\frac3x=1$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

  • Multipliziere mit $x$ zu $3=x$.
  • Führe eine Probe durch. Du erhältst $\frac33=1$.

  $\frac{3x}{x+1}=2$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$

  • Multipliziere mit $x+1$. Dies führt zu $3x=2(x+1)$.
  • Vereinfache die rechte Seite zu $3x=2x+2$.
  • Subtrahiere nun $2x$. Du erhältst $x=2$.
  • Führe eine Probe durch. Du erhältst $\frac{3\cdot 2}{2+1}=\frac63=2$.

  $\frac{6}{x+1}=\frac 8x$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$

  • Wir multiplizieren mit $x+1$. Das ergibt $6=\frac {8(x+1)}x$.
  • Jetzt multiplizieren wir mit $x$. So erhältst du $6x=8(x+1)$.
  • Vereinfache die rechte Seite zu $6x=8x+8$.
  • Subtrahiere nun $8x$. Du erhältst $-2x=8$.
  • Dividiere durch $-2$ und du erhältst $x=-4$.
  • Führe eine Probe durch. Du erhältst $\frac{6}{-4+1}=\frac{6}{-3}=-2=\frac 8{-4}$.

  $\frac{3x}{x+2}=2$ mit $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$

  • Multipliziere mit $x+2$ zu $3x=2(x+2)=2x+4$.
  • Subtrahiere $2x$. So erhältst du $x=4$.
  • Führe eine Probe durch. Du erhältst $\frac{3\cdot 4}{4+2}=\frac{12}{6}=2$.

• Gib an, welche Zahlen mögliche Lösungen der Bruchgleichung sein könnten.

  Tipps

  Beachte, dass das Dividieren durch $0$ nicht erlaubt ist.

  Der Term im Nenner darf nicht den Wert $0$ annehmen.

  Forme die Gleichung $x-1=0$ nach $x$ um.

  Wenn du die entsprechende Lösung für $x$ in den Nenner einsetzt, erhältst du eine Division durch $0$.

  Lösung

  Wenn du Bruchgleichungen lösen möchtest, musst du zunächst prüfen, welche Werte du für $x$ einsetzen darfst.

  Was ist denn nicht erlaubt?

  Du darfst nicht durch $0$ dividieren. Das bedeutet, der Term im Nenner darf nicht den Wert $0$ annehmen.

  Wir schauen uns einmal an, für welchen Wert $x$ der Term im Nenner den Wert $0$ annimmt. Es muss also die Gleichung $x-1=0$ gelöst werden. Addiere $1$, dann erhältst du $x=1$.

  Diesen Wert für $x$ musst du ausschließen. Das bedeutet: Es muss $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ gelten.

• Ermittle die Lösung der Bruchgleichung.

  Tipps

  Beachte, dass du nicht durch $0$ dividieren darfst. Das bedeutet, dass der Term im Nenner nicht $0$ werden darf.

  Multipliziere zunächst mit $x-1$.

  Du erhältst nach Multiplikation mit $x-1$ die folgende Bruchgleichung:

  $\frac {x(x-1)}{x+1}+4=x$

  Multipliziere nun mit $x+1$.

  Du erhältst nach Multiplikation mit $x+1$ die Gleichung $x(x-1)+4(x+1)=x(x+1)$.

  Lösung

  Zunächst schauen wir uns an, ob in der nebenstehenden Bruchgleichung für $x$ jeder Wert eingesetzt werden darf:

  • Im ersten Nenner steht der Term $x+1\neq 0$. Dies führt zu $x\neq -1$.
  • Im zweiten und dritten Nenner steht der Term $x-1\neq 0$. Dies führt zu $x\neq 1$.

  Zusammengefasst gilt für den Definitionsbereich also:

  $x\in\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-1;1\}$.

  Nun kommen wir zu der Lösung der Gleichung. Du kannst entweder gleich mit $(x-1)\cdot(x+1)$ multiplizieren oder die Multiplikationen nacheinander durchführen. Um es etwas anschaulicher zu machen, gehen wir hier Schritt für Schritt vor.

  1. Multipliziere mit $x-1$. Dies führt zu der Bruchgleichung $\frac {x(x-1)}{x+1}+4=x$.
  2. Multipliziere nun mit $x+1$. So erhältst du $x(x-1)+4(x+1)=x(x+1)$.
  3. Nun wendest du auf beiden Seiten der Gleichung das Distributivgesetz an: $x^2-x+4x+4=x^2+x$.
  4. Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung $x^2$ und fasse gleichartige Terme zusammen: $3x+4=x$.
  5. Subtrahiere $3x$. Dies führt zu der Gleichung $4=-2x$.
  6. Dividiere nun durch $-2$. So erhältst du $-2=x$.

  Da $x=-2\in\mathbb{D}$, ist dies die gesuchte Lösung.

  Abschließend führen wir noch eine Probe durch.

  • Wir schauen uns die linke Seite der Gleichung an: $\frac {-2}{-2+1}+\frac4{-2-1}=\frac{-2}{-1}+\frac{4}{-3}=2-\frac43=\frac23$.
  • Kommen wir nun zu der rechten Seite: $\frac{-2}{-2-1}=\frac{-2}{-3}=\frac23$.
  • Du siehst, auf beiden Seiten der Gleichung kommt das gleiche Ergebnis heraus.