Binomische Formeln – Herleitung

Binomische Formeln – Herleitung Übung

• Wende die erste binomische Formel an.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Setze für die Variablen $a$ und $b$ die Terme $7u$ und $6v$ ein und rechne aus.

  Lösung

  Du sollst bei dem Term die erste binomische Formel $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden.

  Bestimme dazu zunächst $a$ und $b$.

  $a$ ist der erste und $b$ der zweite Summand. Sowohl Zahl als auch Variable sind zu berücksichtigen.

  Wir wählen $ a = 7u $ und $ b = 6v $.

  Setze diese Werte dann in die erste binomische Formel ein:

  $ (7u+6v)^2= (7u)^2 + 2 \cdot 7u \cdot 6v + (6v)^2 $.

  Nun musst du ausmultiplizieren:

  $ (7u)^2 = 7u \cdot 7u = 49u^2 $ und $ (6v)^2 = 6v \cdot 6v = 36v^2 $.

  Wir erhalten $ (7u)^2 + 2 \cdot 7u \cdot 6v + (6v)^2 = 49u^2 + 84uv + 36v^2 $.

• Forme den Term mit Hilfe einer der binomischen Formeln um.

  Tipps

  Die binomischen Formel lauten:

  • erste: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • zweite: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Denk bei $ b $ daran, dass sowohl der Bruch als auch die Variable zu berücksichtigen sind.

  Lösung

  Schaue dir zunächst deinen Term an. Welche binomische Formel kannst du anwenden?

  Du kannst die zweite binomische Formel $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ anwenden. Du hast drei Summanden und zwischen den ersten beiden befindet sich als Rechenzeichen ein Minus und zwischen dem zweiten und dritten Summanden ein Plus.

  Bestimme nun $a$ und $b$. $ a $ liest du ab, indem du dir den ersten Summanden anschaust und $b$ , indem du dir den letzten Summanden anschaust. $ a = x $ und $ b = \frac{1}{2} y $. Bei $ b $ musst du sowohl die Variable $ y $ und auch den Bruch $ \frac{1}{2} $ berücksichtigen.

  Nun kannst du die zweite binomische Formel anwenden und erhältst:

  $x^2-xy+\frac14y^2=(x)^2-2 \cdot x \cdot \frac12y + \left( \frac12y \right)^2=\left( x - \frac{1}{2} y \right)^2 $.

• Leite die Termumformung mit einer binomischen Formel her.

  Tipps

  Die binomischen Formel lauten:

  • erste: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • zweite: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Welche Form passt zu unserer Aufgabe?

  Lösung

  1. Zuerst muss die richtige binomische Formel angewendet werden. Der Term $4x^2-9$ besteht aus einer Differenz.
  2. Daher bietet sich hier die dritte binomische Formel an. Sie lautet $(a+b) \cdot (a-b) =a^2-b^2$.
  3. Wir bestimmen nun $a$ und $b$.
  4. Wir erkennen, dass man $4x^2$ auch als $(2x)^2$ schreiben kann. Daher ist $a=2x$. Außerdem erhältst du $9$ durch das Quadrieren von $3$, also $b=3$.
  5. Jetzt können wir $a$ und $b$ in die dritte binomische Formeln einsetzen und erhalten
  6. $(2x+3) \cdot (2x-3) = (2x)^2 - (3)^2 = 4x^2-9$.

• Entscheide, ob eine binomische Formel angewendet werden kann.

  Tipps

  Die binomischen Formel lauten:

  • erste: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • zweite: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
  • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Wie viele Summanden kannst du erkennen?

  Kontrolliere bei den Termen jeweils den mittleren Term genau. Setzt er sich aus dem Term $2ab$ bzw. $-2ab$ zusammen?

  Lösung

  $ x^2 - 6x + 9 $ besteht aus drei Summanden und als Rechenzeichen kommt zunächst ein Minus und dann ein Plus-Zeichen vor. Deshalb wissen wir, dass nur die zweite binomische Formel in Frage kommt. Um sicherzugehen, musst du aber noch den zweiten Summanden ($ 6 \cdot x $) prüfen. Da $ a = x $ und $ b = 3 $ ist, stimmt auch $ 2 \cdot a \cdot b = 6x $.

  Also ist hier die zweite binomische Formel anwendbar $ (x - 3)^2=x^2 - 6x + 9$.

  $ 16x^2 - 1 $ hat zwei Summanden und als Rechenzeichen ein Minus-Zeichen. Deshalb kommt nur die dritte binomische Formel in Frage. Wir setzen $ a = 4 \cdot x $ und $ b = 1 $.

  Die dritte binomische Formel ergibt dann $ (4x - 1) (4x + 1)= 16x^2 - 1 $.

  $ 4x^2 + 20x + 25 $ besteht aus drei Summanden und als Rechenzeichen kommen nur Plus-Zeichen vor. Dies führt uns dazu, dass nur die erste binomische Formel angewendet werden kann. Du musst aber, um sicherzugehen, auch noch den zweiten Summanden ($ 20 \cdot x $) prüfen. Da $ a = 2 \cdot x $ und $ b = 5 $ ist, stimmt auch $ 2 \cdot a\cdot b = 20x $.

  Also ist hier die erste binomische Formel anwendbar. Es gilt $ (2x + 5)^2=4x^2 + 20x + 25 $.

  $ x^2 + 5x + 25 $ besteht aus drei Summanden und als Rechenzeichen kommt nur das Plus-Zeichen vor. Auch hier ist also nur die erste binomische Formel möglich. Auch hier musst du aber noch den zweiten Summanden ($ 5 \cdot x $) prüfen. Da $ a = x $ und $ b = 5 $ ist, stimmt hier der mittlere Term nicht. Dieser müsste bei der ersten binomischen Formel $ 10 \cdot x $ lauten.

  Du kannst also keine binomische Formel anwenden.

• Gib alle binomischen Formeln an.

  Tipps

  Beachte, dass bspw. $(a+b)^2 =(a+b)\cdot(a+b)$ gilt.

  Verwende das Distributivgesetz:

  $a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c$.

  Lösung

  Es gibt drei binomische Formeln:

  Die erste lautet $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

  Die zweite lautet $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

  Die dritte lautet $ (a - b) (a + b) = a^2 - b^2 $.

• Entscheide, welche Terme umgeformt wurden.

  Tipps

  Die binomischen Formel lauten:

  • erste: $(a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)=a^2+2ab+b^2$
  • zweite: $(a-b)^2=(a-b) \cdot (a-b)=a^2-2ab+b^2$
  • dritte: $(a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2$

  Es gilt:

  $(a-b)^3=(a-b)^2 \cdot (a-b) = a^2-3a^2b+3ab^2-b^3$.

  Wenn vor der binomischen Formel ein Faktor steht, dann wende erst die binomische Formel an und multipliziere dann jeden Term mit dem Faktor. Hier ein Beispiel:

  $2 \cdot (a+b)^2=2 \cdot (a^2+2ab+b^2)=2a^2+4ab+2b^2$.

  Lösung

  $ (x - 3)^3 $ kannst du aufschreiben als $ (x - 3)^2 \cdot (x - 3) $. Löse den ersten Faktor mit der zweiten binomischen Formel auf. Dann musst du das Ergebnis mit dem zweiten Faktor multiplizieren:

  $ (x^2 - 6x + 9) (x - 3) = x^3 - 3x^2 - 6x^2 + 18x + 9x - 27 $. Fasse nun noch zusammen. Du erhältst $ x^3 - 9x^2 + 27x - 27 $.

  $ (x + 9)(x + 9) $ lässt sich kurz schreiben als $ (x + 9)^2 $. Nun kannst du die erste binomische Formel anwenden und erhältst $ x^2 + 18x + 81 $.

  Bei $ 3 (x + 4)^2 $ wende zunächst die erste binomische Formel an und multipliziere dann das Ergebnis mit $3$. Du erhältst $ 3 (x^2 + 8x + 16) = 3x^2 + 24x + 48 $.

  Bei $ 4 (2x - 3) (2x + 3) $ wendest du zunächst die dritte binomische Formel an und multiplizierst dann das Ergebnis mit $4$:

  $ 4 \cdot (4x^2 - 9) = 16x^2 - 36 $.