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Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (1)

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (1)
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Grundlagen zum Thema Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (1)

Wenn eine Funktion auf einem Intervall nur positive Funktionswerte hat, gibt das bestimmte Integral den Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse an. Dazu möchte ich im Folgenden ein paar Beispiele rechnen. Ich habe also sechs Videos mit Beispielen vorbereitet, in denen du üben kannst Integrale zu berechnen. Klick dich also von Video zu Video und versuche so viele Beispiele wie möglich selbst zu rechnen. Das erste Beispiel lautet nun folgendermaßen: Bestimme das Integral der Funktion f(x) = 2 auf dem Intervall [-1; 3].

Transkript Bestimmtes Integral und Flächeninhalt – Beispiel (1)

Hallo. Du kannst mit bestimmten Integralen die Fläche bestimmen, die sich zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse befindet und wie das geht, möchte ich jetzt mal zeigen. Ich möchte nicht begründen, warum genau es funktioniert, das ist sowieso abhängig von der Definition des Integrals. Da gibt es ja verschiedene Definitionen. Hier möchte ich nur die Fakten zusammentragen und quasi dann zeigen, was Du rechnen musst. Wir haben eine Funktion, die heißt einfach 2 und die möchten wir integrieren von -1 bis 3, in den Grenzen von -1 bis 3. Die Funktion kann man sich so vorstellen: 2×x0. x0 ist ja immer gleich 1 und in sofern wird dann jeder Zahl, die man für x einsetzt, die Zahl 2 zugeordnet. Also ist das eine ganz normale Funktion, auch wenn jetzt hier erst mal kein x dransteht. Jetzt können wir das bestimmte Integral bilden, und zwar mithilfe des Hauptsatzes. Jetzt können wir das bestimmte Integral bilden, und zwar mithilfe des Hauptsatzes. Den habe ich auch noch mal vorbereitet. Wir haben das bestimmte Integral von a bis b der Funktion f(x)dx. Wir brauchen zunächst mal eine Stammfunktion F(x). Hier schreiben wir dann noch die beiden Integrationsgrenzen dran und setzen das in eckige Klammern und dann müssen wir einfach die obere Grenze in diese Stammfunktion hier einsetzen und die untere Grenze auch einsetzen und die beiden Ergebnisse voneinander abziehen, dann haben wir das bestimmte Integral. Wie können wir jetzt eine Stammfunktion der Funktion 2x0 bilden? Da brauchen wir erst mal die Faktorregel, die besagt ja, dass die 2 da vorne einfach stehen bleiben kann, die habe ich dann einfach hier wieder hingeschrieben, und wir brauchen die Potenzregel, die zeige ich dann auch noch mal, weil das hier immer zu Schwierigkeiten führt, wenn man sich sagt: Was mache ich mit der 0? Wie soll ich das integrieren? Einfach stumpf in die Potenzregel einsetzen. N ist in unserem Fall 0 und dann kann man hier 1/(0+1) × x0+1 schreiben. Das ist hier zum Beispiel x1, also x. x1 ist ja immer gleich x. Dann hat man auch eine Stammfunktion. Dann muss man noch die beiden Werte einsetzen: 3 habe ich hier eingesetzt. 2×3=6. -1 muss man noch für x einsetzen, dann kommt hier -2 raus. Und dieses Minuszeichen hier ist das, aus dieser Formel, aus dem Hauptsatz. Heraus kommt auf jeden Fall 8 und jetzt kann man sich mal angucken, ob das was mit der Fläche zu tun hat. Ich habe hier noch mal den Funktionsgraphen gezeichnet. Also, wenn jetzt hier 2 ist, dann verläuft der Funktionsgraph der Funktion 2 einfach in dieser Höhe, quasi in der Höhe 2 über der x-Achse. Wenn wir von -1 bis 3 integrieren, dann entsteht so ein Rechteck und von hier bis hier ist die eine Seite des Rechtecks 4 und von hier bis hier ist die andere Seite des Rechtecks gleich 2, also 2 Längeneinheiten und 4×2=8. Also was wir hier herausgefunden haben, ist genau die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Ich habe hier noch mal den Funktionsgraphen gezeichnet in den Grenzen -1 bis 3, also innerhalb der Integrationsgrenzen. Das ist immer dann so, wenn der Graph zwischen diesen Integrationsgrenzen komplett oberhalb der x-Achse verläuft, dann ist der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse, zwischen den Integrationsgrenzen, genau diese Zahl, die beim bestimmten Integral herauskommt. Wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft, ist das nicht so. Aber man kann sich da einfach helfen, zeige ich im nächsten Film. Bis dahin. Tschüs.

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