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Bestimmtes Integral – Obersumme berechnen

Was müsste man in der Rechnung im Video ändern, wenn man anstatt der Obersumme die Untersumme berechnen möchte?

  • Man lässt i nicht von 1 bis n, sondern von 0 bis n - 1 laufen.
  • Man lässt i nicht von 1 bis n, sondern von 1 bis n - 1 laufen.
  • Man ersetzt an jeder Stelle, an der n steht, das n durch n - 1.
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Die Autor/-innen
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Steve Taube

Bestimmtes Integral – Obersumme berechnen

lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Beschreibung Bestimmtes Integral – Obersumme berechnen

Willkommen zu einem Einführungsvideo zur Integralrechnung. Ich möchte auf dem Wissen aus meinem Video „ Was ist ein Integral? “ aufbauen. Du solltest auf jeden Fall bereits wissen, was die Integralrechnung ist. In diesem Video soll dann überprüft werden, ob das Flächenberechnen mit Ober- und Untersummen – wie wir es in dem vorherigen Video gelernt haben - wirklich funktioniert. Dazu nehmen wir eine Beispielfunktion und zwei Grenzen, zu denen wir die Fläche auch elementar ausrechnen können, stellen die Obersummen auf und rechnen drauf los.

Transkript Bestimmtes Integral – Obersumme berechnen

Hallo, in diesem Video möchte ich mal ein bestimmtes Integral mit einer Obersumme explizit ausrechnen. In dem Video "Integral, was ist das?" hatten wir uns überlegt, dass man die Fläche unter dem Graphen einer Funktion ausrechnen kann, indem man die Fläche in ganz viele kleine Rechtecke unterteilt. Dabei haben wir die Breite der Rechtecke mit ?x bezeichnet und die Anzahl der Rechtecke mit n. Die Intervallgrenzen waren a, b. Und dann haben wir uns überlegt, dass man die Fläche mit dem Grenzwert der Ober- oder Untersumme ausrechnen kann und dafür hatten wir diese Formel hier. Das b-a/n ist also immer die Breite eines Rechtecks und f(xi) ist die Höhe. Und jetzt möchte ich einfach mal so eine Obersumme wirklich ganz explizit ausrechnen, denn bisher war das ja alles nur Theorie. Und zwar nehmen wir da die Funktion f(x)=½x und wir wollen die Fläche bestimmen, die diese Funktion zwischen 0 bis 2 mit der x-Achse einschließt. Okay, dann wissen wir, die Fläche ist 1, das ist ja ein Dreieck, aber ich möchte eben auch mal zeigen, dass das mit dem Grenzwert der Obersummen auch funktioniert. Wir unterteilen also unser Intervall und tragen die Stützstellen x0, x1 usw. ein und die Breite der Rechtecke ist b-a/n, b=2 und a=0, also ist das hier 2/n. Jetzt müssen wir erst einmal versuchen, für das xi aus unserer Formel irgendeine Bildungsvorschrift zu finden. Die Stützstelle xi ist immer da, wo das i-te Rechteck zu Ende ist. Und da jedes Rechteck die Breite 2/n hat, ist also xi an der Stelle =i×2/n. Also x1=1×2/n, x2=2×2/n usw. So, das x0 brauchen wir gar nicht, wir fangen bei x1 an, nehmen dort den Funktionswert usw. Wir kriegen also dann eine Obersumme, dann müsste die letzte Stützstelle also xn sein. Und wenn wir jetzt  in die Formel i=n einsetzen, dann kriegen wir also xn=n×2/n, also 2, also stimmt die Formel. So jetzt setzen wir das einmal in unsere Summenformel ein und schauen, was passiert. Der Limes bleibt stehen, die Summe bleibt stehen, für b-a/n können wir 2/n einsetzen und für xi setzen wir i×2/n ein. Das ist jetzt f(i×2/n), dann müssen wir gucken, was die Funktion macht, die halbiert ihr Argument und die Hälfte von i×2/n ist i/n. Als nächstes können wir die 2 und die beiden n im Nenner aus der Summe herausziehen, denn die hängen ja gar nicht von dem Index i ab und für die Summe über i für  i=1 bis n gibt es eine Formel, nämlich n×(n+1)/2. Vielleicht erinnert ihr euch daran, das ist also die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, jetzt können wir noch die 2 herauskürzen und 1 n, dann bleibt also nur übrig: Limes für n gegen unendlich n+1/n und welche große Überraschung, der Limes ist 1, genauso wie wir es vorhergesagt hatten. Und da sind wir jetzt echt froh, dass das alles so hinhaut, wie wir uns das in der Theorie überlegt haben. Okay, das war es.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Weiter:
    Im Allgemeinen darfst du nicht einfach die Funktionswerte verdoppeln, wenn sich das Argument verdoppelt.

    Viel Erfolg! Steve

    Von Steve Taube, vor etwa 6 Jahren
  2. Hallo Eldina,
    ich verstehe deine Frage nicht ganz. Meinst du, dass du eine Obersumme der Funktion f(x) = x ausrechnen willst?
    Ich verstehe auch deine Formel f(i*2/n) nicht ganz. Sei vorsichtig, die Formel f(i*2/n) entsteht im Video nur, weil wir für die x_i diese Formel gewählt haben UND weil wir die Obersumme zwischen x=0 und x=2 berechnen. Daher kommt die 2 In der Formel im Video. Wenn du eine andere Funkion vorliegen hast, versuche die allgemeine Formel zu benutzen und schrittweise die Terme deiner speziellen Funktion einzusetzen.
    Wenn deine Funktion tatsächlich f(x) = x ist, also doppelt so groß ist wie die Funktion aus dem Video, UND du auch die Obersumme zwischen 0 und 2 berechnen willst, dann f(i*2/n) darfst du einfach die f(x_i) verdoppeln, aber nur in genau dem Fall.

    Von Steve Taube, vor etwa 6 Jahren
  3. Angenommen, die Funktion verdoppelt ihr Argument, muss ich das dann auch f(i*2/n) verdoppeln usw.?

    Von Eldina Pepic, vor etwa 6 Jahren
  4. wie komme ich zum mathechat??

    Von Danielastern1995, vor etwa 8 Jahren
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