Bestimmtes Integral – Grundlegende Eigenschaften

Hallo! In diesem Video geht es um ein paar grundlegende Eigenschaften des bestimmten Integrals.

Wir legen wieder unsere Formel für die Ober- beziehungsweise Untersummen zugrunde. Die müsstet ihr mittlerweile vielleicht schon kennen. In dem ersten Video zum bestimmten Integral hatte ich gesagt, dass das bestimmte Integral eine Zahl ist, und zwar die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse. Da muss ich mich jetzt ein bisschen korrigieren. Das ist nicht immer so, sondern das funktioniert nur, wenn die Funktion nur positive Werte hat in dem Intervall. Wenn die Funktion nämlich zum Beispiel in dem Intervall nur negative Werte hat, dann sind ja die Funktionswerte, mit denen wir multiplizieren, alle negativ, also ist die Summe auch negativ, also ist der Grenzwert auch negativ. Das heißt, Flächen, die unter der x-Achse liegen, berechnet das Integral sozusagen als negative Flächen. Hat also f im Intervall [a;b] nur negative Funktionswerte, so ist auch das Integral von a bis b von f(x)dx negativ. In dem Fall muss man also, wenn man wirklich die Fläche wissen möchte, noch Betragstriche um das Integral machen.

Und wenn die Funktion jetzt in dem Intervall sowohl positive als auch negative Funktionswerte hat, dann haben wir in unserer Summe also erst positive Summanden und dann negative. Das Integral rechnet dann also eigentlich die Fläche A1 - die Fläche A2. Hat also f im Intervall [a;b] positive und negative Funktionswerte, so addiert das Integral die positiven Flächen und subtrahiert die negativen.

Die nächste Eigenschaft heißt Intervalladditivität. Dazu teilen wir unser Grundintervall mal in mehrere Teilintervalle, sagen wir von 0 bis 1, von 1 bis 3, und von 3 bis 4. Dann ist das Integral von 0 bis 4 von f(x)dx gleich dem Integral von 0 bis 1 von f(x)dx + das Integral von 1 bis 3 von f(x)dx + das Integral von 3 bis 4 von f(x)dx. Ich glaube, das sieht man ganz gut, denn man kann ja zum Beispiel erst mal nur die Stützstellen zwischen 0 und 1 addieren, dann die zwischen 1 und 3, dann die zwischen 3 und 4 und am Schluss fasst man eben die einzelnen Summen zusammen.

Eine ganz einfache Eigenschaft ist das, wenn die Intervallgrenzen gleich sind. Dann ist das Integral natürlich 0. Da oben in der Summe hätten wir dann nämlich überall A-A stehen, also 0, und somit sind alle Summanden 0.

Jetzt schauen wir uns mal den Fall an, dass die Funktion achsensymmetrisch ist und die Intervallgrenzen -a und a sind. In dem Fall reicht es natürlich, zweimal die Fläche von 0 bis a zu integrieren, das ist dann genau die Hälfte von der ganzen Fläche. Also, ist f achsensymmetrisch, so gilt Integral von -a bis a von f(x)dx = 2× das Integral von 0 bis a von f(x)dx.

Was passiert eigentlich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen? Wenn wir hier statt b-a, a-b schreiben, dann würde jeder Summand das andere Vorzeichen kriegen, weil a-b= -(b-a). Das heißt, die ganze Summe bekommt dann genau das andere Vorzeichen. Also Integral von b bis a von f(x)dx= -Integral von a bis b von f(x)dx.

Und als Letztes möchte ich noch sagen, dass der Name der Integrationsvariable eigentlich egal ist, denn für die Zahl, die da als Grenzwert der Ober- oder Untersummen rauskommt, ist es im Prinzip egal, wie die Variable heißt, sondern nur, welche Funktionswerte die Funktion in dem Intervall annimmt. Ich kann also statt Integral von a bis b von f(x)dx genauso schreiben Integral von a bis b von f(t)dt.

Ja, das waren schon mal einige der wichtigsten Eigenschaften. Beim nächsten Mal schauen wir uns dann den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung an. Da erfahren wir, wie man dann wirklich so ein Integral ausrechnen kann und danach geht es dann wirklich mit ausrechnen los.