Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 4

Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 4 Übung

• Beschreibe die Lösung der Gleichung $2x+3=x+7.$

  Tipps

  Die Lösungsmenge einer Gleichung kann man immer dann direkt ablesen, wenn die Gleichung die folgende Form hat:

  $x=...$

  Wenn du zu Beginn direkt $3$ subtrahieren würdest, würdest du die Gleichung $2x = x + 4$ erhalten. Dieser Schritt ist nicht falsch, wird jedoch hier nicht aufgeführt.

  Lösung

  Um Gleichungen zu lösen, verwendest du die folgenden Äquivalenzumformungen:

  • Termumformungen,
  • die Addition von Zahlen oder Termen,
  • die Subtraktion von Zahlen oder Termen,
  • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term (ungleich $0$) sowie
  • die Division durch eine Zahl oder einen Term (ungleich $0$).

  Beachte: Du darfst auch Terme, die die Unbekannte (hier: $x$) enthalten addieren oder subtrahieren.

  Bei der hier gegebenen Gleichung $2x+3 = x + 7$ subtrahieren wir auf beiden Seiten $x$. Wir erhalten die folgende Gleichung:

  $2x+3-x=x+7-x$

  Nun formst du die Terme noch um zu $x+3=7$. Da das $x$ auf der rechten Seite nicht mehr auftaucht, spricht man umgangssprachlich auch davon, „das $x$ auf die andere Seite zu bringen“.

  Auf der linken Seite steht noch der Summand $3$, also subtrahierst du diesen zu $x+3-3=7-3$ und formst die Terme nochmals um. So kommst du zu folgender Gleichung:

  $x=4$

  Aus dieser kannst du die Lösung direkt ablesen. Damit ist die Lösungsmenge der Gleichung $2x+3=x+7$ gegeben durch $\mathbb{L}=\{4\}$.

  Mach doch einmal eine Probe: $2\cdot 4+3=8+3=11=4+7$ ✓

• Ergänze die Begründung dafür, dass auf beiden Seiten der Gleichung $x$ subtrahiert werden kann.

  Tipps

  Wenn du sowohl oberhalb als auch unterhalb des Zahlenstrahls ein jeweils gleich langes Stück abschneidest, ändert sich nichts an der Gleichheit der Längen.

  Wenn man die Gleichung $3x+4 = 6x +8$ betrachtet, fällt auf, dass auf beiden Seiten der Term $+4$ vorkommt. Um das besser zu sehen, schreiben wir die Gleichung nochmals so auf:

  $3x + 4 = 6x + 4 + 4$

  Wenn wir nun auf beiden Seiten $4$ subtrahieren, steht also die Gleichung $3x = 6x + 4$ da. Der Term $+4$, den wir durch die Subtraktion entfernt haben, war also für die Lösung der Gleichung nicht notwendig.

  Lösung

  Wir betrachten die Gleichung $2x+3=x+7$. Um sie zu vereinfachen, kannst du auf beiden Seiten $x$ subtrahieren. Aber wieso darfst du diese Rechnung eigentlich durchführen?

  In dem Bild siehst du die Gleichung $2x+3=x+7$ am Zahlenstrahl durch Pfeile veranschaulicht.

  Wenn du also $x$ subtrahierst, entspricht dies dem Abschneiden oder Wegnehmen von einem $x$. Das bedeutet, dieses $x$ auf beiden Seiten ist für die Lösung nicht notwendig.

  Der wesentliche Teil zur Lösung der Gleichung sind oberhalb des Zahlenstrahls der blaue Pfeil für $7$ und unterhalb der (eine!) orange Pfeil für $x$ und der grüne für $3$.

  Dies entspricht der Gleichung $x+3=7$.

• Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung.

  Tipps

  Bringe jeweils zunächst die Unbekannten auf die eine Seite der Gleichung und die bekannten Größen auf die andere Seite.

  In jedem der vier Fälle musst du zuletzt noch dividieren oder multiplizieren.

  Wenn du die Gleichung $-x=5$ lösen sollst, kannst du durch $-1$ dividieren oder mit $-1$ multiplizieren.

  In beiden Fällen erhältst du als Ergebnis $x=-5$.

  Lösung

  Im Folgenden siehst du jeweils die mathematische Schreibweise zur Lösung einer solchen Gleichung. Die verwendete Äquivalenzumformung steht immer hinter dem Operationsstrich.

  $\begin{array}{crclll} &x+5&=&-2x+8&|&+2x\\ \Leftrightarrow&3x+5&=&8&|&-5\\ \Leftrightarrow&3x&=&3&|&:3\\ \Leftrightarrow&x&=&1 \end{array}$

  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{1\}$.

  $\begin{array}{crclll} &x+5&=&2x+8&|&-2x\\ \Leftrightarrow&-x+5&=&8&|&-5\\ \Leftrightarrow&-x&=&3&|&\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow&x&=&-3 \end{array}$

  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{-3\}$.

  $\begin{array}{crclll} &x-5&=&2x+8&|&-2x\\ \Leftrightarrow&-x-5&=&8&|&+5\\ \Leftrightarrow&-x&=&13&|&\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow&x&=&-13 \end{array}$

  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{-13\}$.

  $\begin{array}{crclll} &x+5&=&2x-8&|&-2x\\ \Leftrightarrow&-x+5&=&-8&|&-5\\ \Leftrightarrow&-x&=&-13&|&\cdot (-1)\\ \Leftrightarrow&x&=&13 \end{array}$

  Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{13\}$.

• Wende die entsprechende Äquivalenzumformung an, um die Gleichung zu lösen.

  Tipps

  Achte darauf, dass du die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und auch die Division immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführst.

  Termumformungen hingegen können auf beiden Seiten unabhängig voneinander ausgeführt werden. Beispielsweise kann man $9x + 10 + 12x$ zu $21x + 10$ zusammenfassen.

  Es kommt eine negative ganze Zahl heraus.

  Lösung

  Hier siehst du die komplette Rechnung. Der Großbuchstabe „$\text{T}$“ steht für $\text{T}$ermumformung. Von der ersten zur zweiten Zeile werden auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Terme zusammengefasst:

  • $6x-3x=3x$
  • $4x-2x=2x$
  • $5-3=2$

  Dies führt zu der Gleichung in der zweiten Zeile $3x+12=2x+2$.

  Bringe nun die unbekannten Größen auf die eine und die unbekannten auf die andere Seite. Achte dabei darauf, dass du alle Äquivalenzumformungen, bis auf die Termumformungen, immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen musst.

  • Subtraktion von $2x$ führt zu $x+12=2$
  • Subtraktion von $12$ führt zu $x=-10$

  Nun kannst du die Lösung ablesen und die Lösungsmenge angeben: $\mathbb{L}=\{-10\}$.

  Nun kannst du zur Probe $-10$ auf beiden Seiten der Ausgangsgleichung für $x$ einsetzen und schauen, was herauskommt.

  Linke Seite

  • $6\cdot (-10)+12-3\cdot (-10)=-60+12+30=-18$

  Rechte Seite

  • $4\cdot (-10)-2\cdot (-10)+5-3=-40+20+2=-18$

  Da auf beiden Seiten $-18$ herauskommt, bestätigt die Probe unsere Lösung.

• Gib an, wie die Gleichung äquivalent umgeformt wird.

  Tipps

  Betrachte folgende Äquivalenzumformung.

  $\begin{array}{crcl} & 4x & = & 8\\ \Leftrightarrow & x & = & 2 \end{array}$

  Hier wurde durch eine Zahl (nämlich $4$) dividiert bzw. mit einer Zahl (nämlich $\frac14$) multipliziert.

  Um Gleichungen zu lösen, verwendest du immer Umkehraufgaben. Schauen wir uns die Gleichung $2x +2 = 10$ an. Um den Term $2x$ alleine auf der linken Seite stehen zu haben, subtrahieren wir auf beiden Seiten mit $2$, da die Subtraktion die Umkehraufgabe der Addition ist. Es ergibt sich folgende Gleichung:

  $2x = 8$

  Lösung

  Hier ist die komplette Rechnung in der mathematischen Schreibweise zu erkennen.

  Ganz oben steht die Ausgangsgleichung. Dann folgt ein Operationsstrich, hinter welchem aufgeschrieben wird, welche Äquivalenzumformung durchgeführt wird.

  Zunächst wird die Unbekannte $x$ subtrahiert.

  Das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ zeigt an, dass die Gleichung äquivalent umgeformt wurde. Das bedeutet, dass sich die Lösungsmenge nicht ändert.

  Die nächste Gleichung lautet dann $x+3=7$.

  Nun wird $3$, also eine Zahl, subtrahiert.

  Dies führt zu der Gleichung in der letzten Zeile $x=4$.

  Hier kannst du die Lösung ablesen und die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{4\}$ angeben.

  Nun schauen wir noch, ob sich die Lösungsmenge wirklich nicht ändert. Wir setzen zur Probe $x=4$ in jede der Gleichungen ein:

  • $2\cdot 4+3=8+3=4+7$ ✓
  • $4+3=7$ ✓
  • $4=4$ ✓

• Ermittle die Zahl der Einwohner im Reich von Königin Äquilivia.

  Tipps

  Forme zunächst die linke Seite um. Verwende hierfür das Distributivgesetz:

  $a(b+c)=ab+ac$

  Multipliziere dann die gesamte Gleichung mit $10$.

  Nun kannst du die unbekannten Größen auf der einen Seite und die bekannten auf der anderen sammeln.

  Die vereinfachte linke Seite der obigen Gleichung lautet $x-2400$.

  Lösung

  Da hat die Königin Äquilivia eine wirklich knifflige Aufgabe zu lösen.

  Sie beginnt mit der linken Seite der Gleichung und wendet erst einmal das Distributivgesetz an:

  $3x-2x-2400$

  Schließlich fasst sie die gleichen Terme noch zusammen und erhält:

  $x-2400$

  Nun multipliziert sie die ganze Gleichung mit $10.$ Sie erhält:

  $10x-24000=x-1050$

  Nun subtrahiert sie zunächst $x$ auf beiden Seiten und erhält diese Gleichung:

  $9x-24000=-1050$.

  Anschließend addiert sie $24000$ auf beiden Seiten. Dies führt zu folgender Gleichung:

  $9x=22950$.

  Zuletzt dividiert sie die gesamte Gleichung durch $9$ und erhält $x=2550$.

  Dies ist die gesuchte Lösung. In Königin Äquilivias Reich leben $2550$ Menschen.