Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 2

Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 2 Übung

• Benenne die Umformungen zur direkten Lösung der Gleichung $x+6=4.$

  Tipps

  Beachte, dass du, anstatt eine Zahl zu subtrahieren, auch das Negative dieser Zahl addieren kannst: $7-4=7+(-4)$.

  Du kannst folgende Umformung machen:

  $\begin{array}{lrclll} &x+6&=&4&|&+2x\\ \Leftrightarrow&3x+6&=&2x+4 \end{array}$

  Nun steht die Unbekannte auf beiden Seiten der Gleichung. Dabei bist du der Lösung nicht näher gekommen. Es handelt sich aber um eine mathematisch korrekte Umformung.

  Versuche immer, die Gleichung so umzuformen, dass am Ende die Unbekannte $x$ auf einer Seite der Gleichung alleine steht.

  Lösung

  Du sollst die Gleichung $x+6=4$ lösen.

  Das bedeutet, dass du einen Wert für $x$ suchst, so dass die Gleichung erfüllt ist.

  Ziel ist es, die obige Gleichung äquivalent so umzuformen, dass auf der einen Seite der Gleichung die Unbekannte $x$ alleine steht.

  Dazu wendest du Äquivalenzumformungen an. Hier siehst du noch einmal eine Liste dieser Äquivalenzumformungen:

  • Termumformungen (z.B. kannst du $8x-3+4x$ schreiben als $12x-3$)
  • Addition einer Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
  • Subtraktion einer Zahl oder eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung
  • Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung
  • Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung

  Du könntest theoretisch jede dieser fünf Äquivalenzumformungen anwenden.

  Sinnvoll ist es, sich die jeweilige Umkehraufgabe anzuschauen. Bei der obigen Gleichung steht auf der linken Seite $x+6$, also eine Additionsaufgabe. Die zugehörige Umkehraufgabe ist eine Subtraktion. Damit $x$ alleine steht, subtrahierst du also $6$ auf beiden Seiten. Dies führt zu $x=-2$. An dieser Gleichung kannst du die Lösung direkt ablesen und die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-2\}$ angeben.

  Beachte, dass es sehr viele mögliche Lösungswege gibt. Einige sind jedoch geschickter als andere.

  • Du kannst die Gleichung auch zuerst mit $2$ multiplizieren: $2(x+6)=8$
  • Nun wendest du das Distributivgesetz an: $2x+12=8$
  • Subtrahiere jetzt $12$: $2x=-4$
  • Dividiere zuletzt durch $2$. So erhältst du ebenfalls die Lösung $x=-2$

  Obwohl du hier einen anderen Weg gegangen bist, erhältst du dieselbe Lösung.

• Beschreibe anschaulich, dass eine Subtraktion auf beiden Seiten einer Gleichung die Lösungsmenge nicht verändert.

  Tipps

  Um die Lösungsmenge einer Gleichung zu bestimmen, möchte man die Unbekannte (oft $x$) alleine stehen haben.

  Um dies zum Beispiel bei $x+3 = 17$ zu erreichen, subtrahieren wir auf beiden Seiten $3$.

  Der Zahlenstrahl ist so aufgebaut, dass nach rechts die Zahlen immer größer werden. Welche Bedeutung hat also ein nach links zeigender Pfeil?

  Lösung

  1. Das obige Bild zeigt die Gleichung $x+6=4$.
  2. Der blaue Pfeil nach rechts zeigt die Addtion $+6$ an, der entgegengesetzte Pfeil, also nach links, die entsprechende Umkehraufgabe $-6$.
  3. Da $6-6=0$ ist, heben die beiden Pfeile bei $x+6-6$ sich auf.
  4. Es bleibt der Pfeil für $x$ sowie die beiden Pfeile für $4-6=-2$.

  Also ist $x=-2$. Aus dieser Gleichung kannst du die Lösung ablesen. Setze diese zur Probe in die Ausgangsgleichung ein:

  $-2+6=4$ ✓

  Du siehst, die Subtraktion von $6$ hat an der Lösung nichts geändert.

• Wende eine entsprechende Äquivalenzumformung an, um die Gleichungen zu lösen.

  Tipps

  Wende, sofern möglich, die Umkehraufgabe an. Schaue dir hierfür ein Beispiel an:

  $x-3=5$

  Die Umkehraufgabe der Subtraktion ist die Addition: Addiere $3$, so erhältst du $x=8$.

  Du kannst gleichartige Terme zusammenfassen:

  $4x-x+3x=(4-1+3)x=6x$

  Hierbei handelt es sich um eine Termumformung.

  Die Umkehraufgabe zur Multiplikation ist die Division. Dies gilt auch umgekehrt.

  Lösung

  Es gibt insgesamt fünf Äquivalenzumformungen. Jede dieser Umformungen musst du im Folgenden anwenden, um die obigen Gleichungen zu lösen.

  1. Bei der ersten Gleichung $3x+2x-4x=22-14$ kannst du links und rechts vom Gleichheitszeichen gleichartige Terme zusammenfassen: $3x+2x-4x=x$ und $22-14=8$. Damit erhältst du $x=8$.
  2. Bei der zweiten Gleichung $x:4=2$ multiplizierst du mit $4$. Dies führt zu $x=2\cdot 4=8$.
  3. Nun kommen wir zu der dritten Gleichung. Bei $x-4=4$ kannst du auf beiden Seiten der Gleichung $4$ addieren. So kommst du zu $x=4+4=8$.
  4. Bei der vierten Gleichung $x+3=11$ subtrahierst du $3$. Damit ist $x=11-3=8$.
  5. Bei der fünften und letzten Gleichung $3\cdot x=24$ musst du dividieren. Du dividierst durch $3$. Dies führt zu $x=\frac{24}3=8$.

  In vier der Gleichungen wurde jeweils die passende Umkehraufgabe angewendet.

  • Die Umkehraufgabe der Addition ist die Subtraktion (und umgekehrt).
  • Die Umkehraufgabe der Multiplikation ist die Division (und umgekehrt).

• Wende Äquivalenzumformungen an, um die Gleichung $3(x+1)=2x-4$ zu lösen.

  Tipps

  Schaue dir ein Beispiel für das Distributivgesetz an: $2(x-2)=2x-2\cdot 2=2x-4$

  Du siehst, du multiplizierst den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  $\begin{array}{lrclll} &2x+1&=&x+3&|&-x\\ \Leftrightarrow&x+1&=&3&|&-1\\ \Leftrightarrow&x&=&2 \end{array}$

  Führe eine Probe durch:

  • Die oberste Gleichung: $2\cdot 2+1=4+1=5$ ist gleich $2+3=5$.
  • Die mittlere Gleichung: $2+1=3$ ist gleich $3$.
  • Die untere Gleichung: $2$ ist gleich $2$.

  Alle Gleichungen sind also erfüllt.

  Lösung

  Hier siehst du, wie man das Lösen der obigen Gleichung mathematisch aufschreiben kann.

  Dabei zeigt das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ an, dass die Gleichung äquivalent umgeformt worden ist.

  Wir gehen die einzelnen Umformungen Schritt für Schritt durch:

  1. Wir wenden das Distributivgesetz an. Dies ist eine Termumformung. So erhalten wir die Gleichung $3x+3=2x-4$.
  2. Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung $2x$ und kommen somit zu $x+3=-4$.
  3. Zuletzt subtrahieren wir $3$. Dies führt zu der Gleichung $x=-7$.
  4. Aus dieser Gleichung können wir die Lösung ablesen und die Lösungsmenge angeben $\mathbb{L}=\{-7\}$.

  Nun prüfen wir, ob wir richtig gerechnet haben. Hierfür setzen wir in jeder der Gleichungen für $x$ die Lösung $-7$ ein:

  • Die oberste Gleichung: Auf der linken Seite steht $3(-7+1)=3\cdot (-6)=-18$ und auf der rechten $2\cdot (-7)-4=-14-4=-18$ ✓
  • Die zweite Gleichung von oben: Auf der linken Seite steht $3\cdot (-7)+3=-21+3=-18$ und auf der rechten $2\cdot (-7)-4=-14-4=-18$ ✓
  • Die dritte Gleichung von oben $-7+3=-4$ ✓
  • Aus der untersten Gleichung hast du ja die Lösung $x=-7$ abgelesen. Es gilt $-7$ ist gleich $-7$.

• Gib an, wie sich Äquivalenzumformungen auf Gleichungen und deren Lösungsmengen auswirken.

  Tipps

  Das Wort „äquivalent“ kommt aus dem Lateinischen:

  • „aequus“ für „gleich“ und
  • „valere“ für „wert sein“ oder „bedeuten“.

  Wenn du eine Gleichung äquivalent umformst, erfüllt die so erhaltene Lösung jede der Gleichungen, welche du durch die Umformungen erhältst.

  Schaue dir das folgende Beispiel für Äquivalenzumformungen an:

  $\begin{array}{lrclll} &3x&=&9&|&:3\\ \Leftrightarrow&3x:3&=&9:3&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&3 \end{array}$

  In dieser Aufgabe wird einmal durch $3$ dividiert und einmal eine Termumformung ($\text{T}$) durchgeführt.

  Die Lösung $3$ erfüllt nun jede der drei Gleichungen.

  Lösung

  Wenn du eine Gleichung äquivalent umformst, ändert sich die Lösungsmenge nicht.

  Der Begriff Äquivalenzumformung kommt aus dem Lateinischen:

  • „aequus“ für „gleich“ und
  • „valere“ für „wert sein“ oder „bedeuten“.

  Du kannst dir dies an dem Beispiel der Gleichung $x+6=4$ vor Augen führen. Die verwendete Äquivalenzumformung ist die Subtraktion von $6$. Dies führt zu $x=-2$.

  Die Gleichung hat also die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-2\}$. Diese Lösungsmenge hat auch die Ausgangsgleichung $x+6=4$.

  Du siehst hierbei auch, dass sich die Gleichung selbst allerdings sehr wohl ändert.

  Übrigens verwenden Mathematiker für diese Äquivalenz das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$.

• Leite die Anzahl der Beagles her.

  Tipps

  Sophie nimmt sich ein Blatt Papier und legt los. Zuerst wendet sie auf der linken Seite der Gleichung das Distributivgesetz an.

  Weißt du noch, wie das geht?

  Schaue dir hierfür ein Beispiel an. Du multiplizierst den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer: $3(x+3)=3x+9$

  Wenn auf einer (oder beiden) Seiten der Gleichung gleichartige Terme stehen, kann Sophie (und natürlich auch du) diese zusammenfassen.

  Zum Beispiel ist $7x+x-3x=(7+1-3)x=5x$.

  Sophie wendet zu jeder Aufgabe die zugehörige Umkehraufgabe an.

  • Die Umkehraufgabe der Addition ist die Subtraktion.
  • Die Umkehraufgabe der Multiplikation ist die Division.

  Dies gilt jeweils auch umgekehrt.

  Zum Beispiel kannst du bei der Gleichung $9x + 3 = 12$ auf beiden Seiten $-3$ rechnen. Die Subtraktion stellt hier die Umkehraufgabe zu $+3$ dar.

  Dies ergibt $9x = 9$.

  Lösung

  Es ist überraschend, dass Sophie sich bei der ganzen Unruhe durch die spielenden Hunde konzentrieren kann.

  Das, was du hier sehen kannst, steht auf ihrem Blatt. Sophie hat Äquivalenzumformungen durchgeführt:

  1. Sie wendet das Distributivgesetz an. Dies führt zu der Gleichung $4x-8+2=5x-1$.
  2. Dann fasst sie gleichartige Terme zusammen zu $6x-8=5x-1$.
  3. Nun subtrahiert sie $5x$. So kommt sie zu der Gleichung $x-8=-1$. Hier sieht Sophie bereits die Lösung.
  4. Zuletzt addiert sie $8$. Das führt zu der Gleichung $x=7$.

  Jetzt kann Sophie die Lösung ablesen: Ihre Tante besitzt $7$ Beagles.

  Nach getaner Arbeit möchte Sophie sich ein wenig ausruhen. Aber ständig kommt ein Beagle an und will mit ihr spielen.