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Ähnlichkeitsabbildungen

"Ähnlichkeit" in der Mathematik bedeutet mehr als simple Ähnlichkeit: exakte Winkel und Seitenverhältnisse sind genauso wichtig. Entdecke, wie wir solche "ähnlichen" Figuren durch Ähnlichkeitsabbildungen erzeugen, die aus Kombinationen von Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen bestehen. Zudem lernst du den Ähnlichkeitsfaktor kennen und wie er das Ergebnis verändert. Interessiert? Tauche tiefer in die faszinierende Welt der mathematischen Ähnlichkeit ein!

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Die Autor*innen
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Thekla Haemmerling
Ähnlichkeitsabbildungen
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Ähnlichkeitsabbildungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ähnlichkeitsabbildungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine Ähnlichkeitsabbildung ist.

    Tipps

    Ein anderer Begriff für kongruent ist deckungsgleich.

    Du kannst dir die Kongruenz wie folgt vorstellen. Wenn du zwei kongruente Figuren ausschneidest und diese übereinander legst, so decken diese sich komplett ab.

    Hier siehst du als Beispiel die zentrische Streckung eines Parallelogramms.

    Lösung

    Geometrische Figuren heißen kongruent (deckungsgleich) zueinander, wenn alle Seitenlängen und alle Winkel gleich groß sind.

    Zum Beispiel bei Dreiecken gibt es verschiedene Kongruenzsätze. Diese geben an, wann Dreiecke kongruent sind. Sie zeigen auf der anderen Seite auch Möglichkeiten, wie ein Dreieck eindeutig konstruiert werden kann.

    Ein Kongruenzsatz lautet SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.

    Wenn eine Figur

    • verschoben,
    • gedreht oder
    • an einer Achse beziehungsweise an einem Punkt gespiegelt wird,
    erhält man eine kongruente Figur.

    Wichtig: Wenn alle Winkel übereinstimmen, müssen die Figuren nicht kongruent sein. Sie sind dann nur ähnlich. Kongruenz ist ein Spezialfall von Ähnlichkeit.

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Für eine zentrische Streckung benötigt man:

    • ein Streckzentrum (einen Punkt) $Z$ sowie
    • einen Streckfaktor $k$.
    Es gilt der folgende Merksatz:

    Wenn man eine zentrische Streckung und kongruente Abbildungen hintereinander ausführt, so erhält man eine Figur, die ähnlich zu der Ausgangsfigur ist. Eine solche Abbildung heißt dann Ähnlichkeitsabbildung.

  • Ergänze die Erklärung zur zentrischen Streckung.

    Tipps

    Hier siehst du beispielhaft die zentrische Streckung eines Parallelogramms.

    Hier siehst du den Einfluss des Streckfaktors $k$ am Beispiel der Streckung einer Strecke.

    Ein negativer Streckfaktor steht für eine Spiegelung der Figur an dem Streckzentrum.

    Lösung

    Hier ist beispielhaft die zentrische Streckung eines Punktes zu sehen. Damit diese Streckung sinnvoll ist, wird sie allerdings meistens an Figuren wie Drei-, Vier- und anderen Vielecken ausgeführt.

    Soll ein Vieleck gestreckt werden, so wird analog jeder Eckpunkt gespiegelt. Die so erhaltenen Bildpunkte werden zuletzt miteinander verbunden.

    Für eine zentrische Streckung benötigt man

    • ein Streckzentrum $Z$ sowie
    • einen Streckfaktor $k$.
    • Gegeben ist das Streckzentrum $Z$ und der Streckfaktor $k=2$ sowie ein Punkt $A$.
    • Zunächst zeichnet man eine Halbgerade von $Z$ durch $A$.
    • Dann wird der Abstand von $Z$ zu $A$ gemessen.
    • Dieser Abstand wird mit dem Streckfaktor (hier $k=2$) multipliziert.
    • Zuletzt wird $Z$ aus eine Strecke mit der Länge des doppelten Abstandes abgetragen.
    • Am Ende dieser Strecke befindet sich der Bildpunkt $A'$ des Ausgangspunktes $A$.

  • Entscheide, welche Figuren ähnlich zueinander sind.

    Tipps

    Bei ähnlichen Figuren stimmen die Seitenverhältnisse überein.

    Es können nur die Dreiecke zueinander oder die Rechtecke zueinander ähnlich sein.

    Zu jedem Element gehören zwei Figuren.

    Um die Seitenverhältnisse zu bestimmen, kannst du die Kästchen zählen.

    Lösung

    Zu dem grünen Rechteck können nur Rechtecke ähnlich sein:

    • Das eine Rechteck ist gedreht. Die Anzahl der Kästchen und auch die Seitenverhältnisse stimmen überein.
    • Das andere ähnliche Rechteck ist verkleinert: Es hat drei Kästchen für die längere und zwei für die kürzere Seite. Die Seitenverhältnisse stimmen überein.
    • Aber das Rechteck, welches nicht ähnlich zu dem grünen ist, hat eine deutlich längere lange als kurze Seite als das grüne Rechteck. Die Seitenverhältnisse stimmen also nicht überein und das Rechteck kann daher nicht ähnlich sein.
    Ebenso können die Dreiecke überprüft werden. Es sind zwar alle Dreiecke gleichschenklig, aber entscheidend sind die Seitenverhältnisse: Es genügt die Kästchen der Grundseite und die der Höhe zu zählen.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zur Ähnlichkeit von geometrischen Figuren.

    Tipps

    Du kannst auch Kreise zentrisch strecken. Hierfür gehst du wie folgt vor:

    • Zunächst führst du die zentrische Streckung eines Punktes mit dem Mittelpunkt des Kreises durch.
    • Der Radius des Originalkreises wird mit dem Betrag des Streckfaktors $|k|$ multipliziert.
    • Zuletzt zeichnest du einen Kreis um den Bildpunkt des Mittelpunktes mit dem multiplizierten Radius. So erhältst du den Bildkreis.

    Bei ähnlichen Figuren sind die Winkel gleich groß.

    In gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleichgroß, nämlich $60^\circ$.

    Hier siehst du ein Rechteck und ein Quadrat.

    Auch ein Quadrat ist ein Rechteck.

    Wenn du bei einer Aussage denkst, dass sie falsch sein könnte, überlege dir ein Gegenbeispiel.

    Lösung

    Wie kann man Figuren auf Ähnlichkeit überprüfen?

    Zunächst einmal können nur Figuren ähnlich zueinander sein, wenn sie die gleiche Anzahl an Eckpunkten haben: Ein Dreieck kann nicht ähnlich zu einem Viereck sein.

    Ein Sonderfall ist ein Kreis. Dieser besitzt keine Ecken. Da Kreise immer einen Mittelpunkt und einen Radius haben, sind diese immer ähnlich zueinander. Dies kann man sich an der zentrischen Streckung eines Kreises klarmachen:

    • Der Mittelpunkt dient als Streckzentrum.
    • Um diesen Mittelpunkt zeichnet man einen Kreis mit dem $|k|$-fachen des Ausgangsradius.
    Wenn dieser Kreis noch verschoben oder an einer Achse beziehungsweise an einem Punkt gespiegelt wird, erhält man eine allgemeine Ähnlichkeitsabbildung.

    Bei ähnlichen Figuren stimmen nicht nur die Winkel überein, sondern auch die Verhältnisse der Seitenlängen zueinander.

    Damit folgt auch, dass

    • alle Quadrate und
    • alle gleichseitigen Dreiecke
    ähnlich zueinander sind.

    Da ein Quadrat auch ein Rechteck ist, bei einem Rechteck jedoch die Seiten nicht gleich lang sind, sind ein Quadrat und ein beliebiges Rechteck nicht ähnlich zueinander. Also sind auch nicht alle Rechtecke ähnlich.

    Die gilt auch für gleichschenklige Dreiecke. Diese sind ebenfalls nicht ähnlich zueinander.

  • Gib an, welche der folgenden Abbildungen Kongruenzabbildungen sind.

    Tipps

    Bei kongruenten Figuren stimmen alle Seiten und Winkel überein.

    Bei diesem Dreieck stimmen alle Winkel überein. Sie sind jedoch nicht kongruent.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich. Das bedeutet, dass zwei Figuren kongruent sind, wenn man sie übereinanderlegen kann und sie sich dann komplett abdecken.

    Lösung

    Durch eine Kongruenzabbildung wird eine Figur auf eine kongruente (deckungsgleiche) Figur abgebildet.

    Deckungsgleich bedeutet dabei, dass sowohl die Seiten als auch die Winkel der Figuren übereinstimmen.

    Durch die folgenden Abbildungen werden Figuren auf kongruente Figuren abgebildet:

    • Wenn eine Figur verschoben wird, entsteht eine kongruente Figur.
    • Wenn man eine Figur dreht, so bleibt die Bildfigur deckungsgleich zu der Ausgangsfigur.
    • Jede Spiegelung, ob an einer Achse oder an einem Punkt, führt zu einer kongruenten Figur.
    Wird eine Figur zentrisch gestreckt, so entsteht eine ähnliche Figur.

    Eine zentrische Streckung entspricht einer Vergrößerung oder Verkleinerung dieser Figur, je nach Streckfaktor $k$.

  • Gib die Eigenschaften einer zentrischen Streckung an.

    Tipps

    Bei kongruenten Figuren stimmen alle Seiten und alle Winkel überein.

    Stimmen zum Beispiel bei zwei Dreiecken alle Winkel überein, dann sind diese ähnlich.

    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Lösung

    Bei zentrischen Streckungen mit dem Streckzentrum $Z$ und dem Streckfaktor $k$ gelten die folgenden Eigenschaften:

    • Strecken werden auf parallele Strecken abgebildet.
    • Die Bildstrecke ist $|k|$ mal so groß wie die Ausgangsstrecke. Dies ist an dem nebenstehenden Bild gut zu erkennen: Die grüne Strecke ist die Ausgangsstrecke ($k=1$). Für $k=0,5$ entsteht eine kürzere Strecke, die blaue. Diese ist halb so lang wie die grüne. Die rote Strecke mit $k=2$ ist doppelt so lang wie die grüne.
    • Für $k=-1$ erhält man die an dem Streckzentrum $Z$ gespiegelte Strecke.
    • Wenn Vielecke (Dreiecke, Vierecke, ...) gestreckt werden, bleiben alle Winkel gleich groß.