Ähnlichkeitsabbildungen
"Ähnlichkeit" in der Mathematik bedeutet mehr als simple Ähnlichkeit: exakte Winkel und Seitenverhältnisse sind genauso wichtig. Entdecke, wie wir solche "ähnlichen" Figuren durch Ähnlichkeitsabbildungen erzeugen, die aus Kombinationen von Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen bestehen. Zudem lernst du den Ähnlichkeitsfaktor kennen und wie er das Ergebnis verändert. Interessiert? Tauche tiefer in die faszinierende Welt der mathematischen Ähnlichkeit ein!
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Grundlagen zum Thema Ähnlichkeitsabbildungen
Einführung: Ähnlichkeit und Ähnlichkeitsabbildungen
In der Mathematik ist der Begriff Ähnlichkeit etwas strenger, als du ihn aus dem Alltag kennst. Damit zum Beispiel zwei Dreiecke ähnlich zueinander sind, müssen sie sich nicht nur ähnlich sehen, sondern ganz bestimmte Eigenschaften erfüllen: Ihre Innenwinkel müssen gleich groß und die Seitenverhältnisse identisch sein. Figuren und , die diese Eigenschaften erfüllen, bezeichnen wir als ähnlich. Wir können sie durch sogenannte Ähnlichkeitsabbildungen aufeinander abbilden.
Ähnlichkeitsabbildungen – Definition
Eine Ähnlichkeitsabbildung bildet eine Figur auf eine zu ihr ähnliche Figur ab. Die mathematische Schreibweise ist .
Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Verknüpfung aus Kongruenzabbildungen und zentrischen Streckungen in beliebiger Reihenfolge.
Das bedeutet, eine Ähnlichkeitsabbildung kann aus Verschiebungen, Drehungen, Achsen- oder Punktspiegelungen und Streckungen der Figur bestehen.
Ähnlichkeitsabbildungen – Eigenschaften
Eine Figur , die durch Ähnlichkeitsabbildung aus der Figur hervorgeht, erfüllt die folgenden Eigenschaften:
- Alle Winkel sind unverändert.
- Alle Seiten sind im Verhältnis des Ähnlichkeitsfaktors verkürzt oder verlängert.
Ähnlichkeitsfaktor k
Der Ähnlichkeitsfaktor gibt an, in welchem Verhältnis die Figur durch die zentrische Streckung verkleinert oder vergrößert wird. Er entspricht also dem Streckungsfaktor der zentrischen Streckung, die Teil der Ähnlichkeitsabbildung ist. Dabei gilt:
- Für wird die Figur verkleinert.
- Für ist kongruent zu .
- Für wird die Figur vergrößert.
Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiel
Du siehst hier drei Trapeze im Koordinatensystem. Die Ausgangsfigur wurde zunächst durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum und den Streckfaktor auf das Trapez abgebildet.
Das Trapez ist dann im nächsten Schritt durch eine Achsenspiegelung an der -Achse aus dem gestauchten Trapez hervorgegangen.
Das bedeutet: Das Trapez lässt sich durch eine Kombination aus zentrischer Streckung und Achsenspiegelung auf das Trapez abbilden. Die beiden Trapeze sind also ähnlich, der Ähnlichkeitsfaktor entspricht dem Streckfaktor .
Häufig gestellte Fragen zum Thema Ähnlichkeitsabbildungen
Transkript Ähnlichkeitsabbildungen
Hallo! Ich bin’s wieder: Thekla!
Du kennst ja schon Kongruenzabbildungen und zentrische Streckungen. Heute wollen wir uns die Kombination von zentrischer Streckung und Kongruenzabbildung anschauen. Zunächst werden wir uns aber wieder in Gedächtnis rufen, was sich genau hinter den Begriffen “Kongruenzabbildung” und “zentrische Streckung” verbirgt.
Dann werden wir uns an zwei Beispielen anschauen, wie man eine zentrische Streckung und eine Kongruenzabbildung hintereinander ausführt.
Zum Schluss fassen wir das Gelernte in einem Merksatz zusammen.
Doch beginnen wir zuerst mit der Wiederholung: Was ist eine Kongruenzabbildung?
Betrachten wir dazu einmal dieses rechtwinklige Dreieck ABC.
Dieses Dreieck kann ich in der Ebene, zum Beispiel auf dieser Fläche hin- und herschieben: Nach oben, nach unten, nach links, nach rechts und sogar schräg in alle Richtungen. Diese Kongruenzabbildung nennt man Verschiebung der Figur.
Ich kann das Dreieck aber auch um diesen Punkt rotieren lassen. Diese Kongruenzabbildung wird Drehung der Figur genannt.
Die dritte Möglichkeit, eine Kongruenzabbildung des Dreiecks zu erzeugen, ist, das Dreieck an einer beliebigen Achse zu spiegeln. Dasheißt Achsenspiegelung.
Du kannst deine Figur aber auch punktspiegeln! Dazu spiegelst du jeden einzelnen Punkt deines Dreiecks an einem beliebigen Punkt in der Ebene.
Wenn du eine Figur kongruent abbildest, dann bleiben zum Beispiel die Seitenlängen und Winkel deiner Figur unverändert. Du änderst in der Regel lediglich die Lage deiner Figur, indem du sie verschiebst, drehst, an einer Achse spiegelst oder an einem Punkt spiegelst.
Eine Kongruenzabbildung ist also eine kongruente, das heißt deckungsgleiche Abbildung der ursprünglichen Figur. Erinnerst du dich noch, was “zentrische Streckung” bedeutet? In dem Begriff steckt das Wort “Zentrum”. Außer einer Figur, die du strecken möchtest, wie zum Beispiel diesem Parallelogramm, brauchst du noch ein Streckzentrum z. Das kann ein Punkt außerhalb oder sogar innerhalb der Figur sein. Eine Figur zentrisch zu strecken, bedeutet, sie zu vergrößern oder zu verkleinern. Dabei verändern sich die Seitenlängen der Figur und unter Umständen auch die Lange der Figur.
Wie die Seitenlängen sich verändern, bestimmt der Streckfaktor k. Nehmen wir an, das Streckzentrum befindet sich hier und der Streckfaktor ist k gleich 2. Zuerst zeichnet man von z aus durch alle Punkte des Parallelogramms Halbgeraden und misst jeweils den Abstand zwischen z und den Punkten der Figur. Du musst nun den Abstand zwischen z und den Punkten mit zwei multiplizieren, also verdoppeln. Die neuen Punkte trägst du auf den Halbgeraden ein. Zum Schluss verbindest du alle Punkte und hast nun ein um den Faktor 2 gestrecktes Parallelogramm.
Was passiert, wenn der Streckfaktor k kleiner als 1 oder sogar negativ ist, werden wir in unseren Beispielen sehen, wenn wir zentrische Streckung und Kongruenzabbildung verbinden. Wenn man bei einer Figur eine zentrische Streckung UND eine Kongruenzabbildung (oder anders herum) durchführt, nennt man die Abbildung auch Ähnlichkeitsabbildung. Nehmen wir als Beispiel dieses Trapez . Am besten ist es, dieses in einem Koordinatensystem zu zeichnen. Hier hat es die mit den Punkten A(-10 | 1), B(0 | 1), C(-2 | 6), D(-7 | 6). Wir führen zuerst eine zentrische Streckung durch. Was brauchen wir dafür? Achja, das Streckzentrum. Hier soll der Punkt A das Streckzentrum sein. Wir zeichnen also von diesem Punkt aus Halbgeraden durch die Punkte B, C und D.
Als zweites brauchen wir einen Streckfaktor k. Hier soll k gleich 1/2 sein. Wenn dein Streckfaktor k zwischen minus 1 und 1 liegt, wird die Figur verkleinert. Das ist hier der Fall. Wir müssen nun also den Abstand zwischen z und den Punkten des Trapezes mit ½ multipizieren, bzw. den Abstand halbieren.. Verbindest du die neu enstandenen Punkte A’, B’, C’ und D’, hast du ein um den Faktor ½ gestrecktes Trapez gezeichnet. Das gestreckte Trapez wollen wir jetzt kongruent abbilden, indem wir es mit einer Achsenspiegelung an der y-Achse spiegeln.
Das funktioniert folgendermaßen:Wir legen das Geodreieck mit der Mittellinie auf die y-Achse und messen den Abstand der Punkte zur y-Achse. Im gleichen Abstand zeichnen wir dann auf der anderen Seite der y-Achse die Punkte A’’, B’’, C’’ und D’’ ein. Wir verbinden sie und erhalten das gespiegeltes Trapez.
Wir haben nun hintereinander eine zentrische Streckung und eine Kongruenzabbildung durchgeführt, also haben wir eine Ähnlichkeitsabbildung durchgeführt. Das Trapez A’’B’’C’’D’’ ist nun ähnlich zum ursprünglichen Trapez ABCD. Schauen wir und nun ein weiteres Beispiel an. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(3 | 3), B(12 | 5) und C(5 | 10). Als Streckzentrum ist z(0 | 0), also der Ursprung, vorgegeben.
Der Streckfaktor soll k gleich -2 sein. Nun aufgepasst! k ist kleiner als Null, also negativ! Wir müssen durch z und die Punkte keine Halbgeraden, sondern Geraden zeichnen. Wir strecken nämlich unsere Figur in die andere Richtung. Der Abstand von z zu A sind 2 cm und nun muss dieses Abstand mit -2 multiplizieren. Ich erhalte -4. Den Punkt A’ zeichne ich in entgegengesetzter Richtung auf der Geraden ab. Diesen Vorgang mache ich auch mit B und C. Ich erhalte mein neues Dreieck A’B’C’. Das Dreieck A’B’C’ soll nun mit einer Punktspiegelung an dem Punkt P(7 | 2) gespiegelt werden. Dazu lege ich die Null von meinem Geodreieck an den Punkt P an. Dann messe ich nacheinander die Abstände von P zu Punkten A’, B’, C’ und zeichne die neuen Punkte A’’, B’’, C’’ im gleichen Abstand zu P jeweils auf der Verlängerung der Strecken A’ P, B’ P und C’ P ein. Verbinde ich diese Punkte A’’, B’’, C’’, erhalte ich mein gespiegeltes Dreieck A’’B’’C’’.
Dieses Dreieck ist nun ähnlich zum ursprünglichen Dreieck. Nach diesem Beispielen können wir nun einen Merksatz formulieren: Wenn man zentrische Streckungen und kongruente Abbildungen hintereinander ausführt, so erhält man ein Figur, die ähnlich zu der Ausgangsfigur ist. Den Vorgang nennt man Ähnlichkeitsabbildung. Mir hat das heute viel Spaß gemacht. Geometrisches Zeichnen ist toll! Ich hoffe, es hat dir genauso gefallen und wir sehen uns bald wieder!
Tschüss!
Ähnlichkeitsabbildungen Übung
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Beschreibe, was eine Ähnlichkeitsabbildung ist.
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Ergänze die Erklärung zur zentrischen Streckung.
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Entscheide, welche Figuren ähnlich zueinander sind.
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Prüfe die folgenden Aussagen zur Ähnlichkeit von geometrischen Figuren.
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Gib an, welche der folgenden Abbildungen Kongruenzabbildungen sind.
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Gib die Eigenschaften einer zentrischen Streckung an.
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vielen lieben dank für diese ausführliche und gut verstehbare erklärung
hab es jetzt endlich verstanden
dankee;]
Geil
Danke für diese ausführliche Erklärung!