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Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor

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Team Digital
Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor
lernst du in der Unterstufe 3. Klasse - 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zentrische Streckung – negativer Streckfaktor kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Konstruktion der zentrischen Streckung wieder.

    Tipps

    Ohne Streckzentrum und Streckfaktor kann die Konstruktion nicht beginnen.

    Nachdem alle Bildpunkte konstruiert sind, musst Du sie zur Bildfigur verbinden.

    Der Abstand der Ursprungspunkte zum Streckzentrum wird auf den Hilfsstrahlen abgemessen.

    Lösung

    Die Konstruktion der zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor geschieht in mehreren Schritten. Die Reihenfolge der Schritte ist dieselbe wie bei der zentrischen Streckung mit positivem Streckfaktor. Die korrekte Abfolge sieht so aus:

    • Wähle ein Streckzentrum und den Streckfaktor.
    • Ziehe Hilfsstrahlen von den Ursprungspunkten durch das Streckzentrum.
    • Miss den Abstand der Ursprungspunkte zum Streckzentrum.
    • Multipliziere den Abstand mit dem Streckfaktor.
    • Trage das Produkt auf dem Hilfsstrahl auf der anderen Seite des Streckzentrums ab.
    • Verbinde die Bildpunkte in derselben Weise wie die Ursprungspunkte.
  • Beschreibe die zentrische Streckung.

    Tipps

    Die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor geht ähnlich wie die mit positivem Streckfaktor. Es werden nur die Abstände auf der anderen Seite des Streckzentrums abgetragen.

    Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $-\frac{1}{2}$ ist halb so groß wie die Ursprungsfigur.

    Jeder Verbindung der Punkte in der Ursprungsfigur entspricht eine Verbindung der Punkte in der Bildfigur.

    Lösung

    Die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor verwendet verschiedene Punkte und Variablen. Hier ist die korrekte Benennung der einzelnen Konstruktionsschritte:

    • Die Konstruktion beginnt mit der Wahl eines Streckzentrums $Z$ und eines Streckfaktors $m$. Nun ziehst Du von jedem der Ursprungspunkte einen Hilfsstrahl durch das Streckzentrum. Als Nächstes misst Du den Abstand des Ursprungspunktes zum Streckzentrum und multiplizierst ihn mit dem Streckfaktor.
    • Ist der Streckfaktor negativ, so trägst Du als Nächstes das Ergebnis der Multiplikation auf dem Hilfsstrahl auf der anderen Seite des Streckzentrums ab. Schließlich erhältst Du die Bildfigur, indem Du die Bildpunkte in derselben Weise verbindest wie die Ursprungspunkte.
    • Die so erhaltene Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ kannst Du auch durch eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor $m=2$ konstruieren, indem Du anschließend noch eine Punktspiegelung am Streckzentrum durchführst. Bei dem Streckfaktor $m=-2$ ist die Bildfigur doppelt so groß wie die Ursprungsfigur und steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.
  • Erschließe die Punkte.

    Tipps

    Suche zuerst das Streckzentrum.

    Das Streckzentrum liegt auf jeder Geraden durch einen Ursprungspunkt und seinen Bildpunkt.

    Die Bildpunkte werden in derselben Weise verbunden wie die Ursprungspunkte.

    Lösung

    Das Streckzentrum $Z$ liegt auf jeder Verbindungsgeraden zwischen einem Ursprungspunkt und seinem Bildpunkt. Die Bildpunkte liegen jeweils auf der anderen Seite des Streckzentrums als die Ursprungspunkte. Die Bildpunkte unterscheiden sich in der Bezeichnung von den Ursprungspunkten durch den Strich: $A'$ ist der Bildpunkt von $A$, usw.

  • Ordne den Bildern die Streckfaktoren zu.

    Tipps

    Überlege, wie sich die zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor von der mit positivem Streckfaktor unterscheidet.

    Die Größe der Bildfigur hängt nur von dem Betrag des Streckfaktors ab.

    Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit negativem Streckfaktor steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.

    Lösung

    Die zentrische Streckung mit einem Streckfaktor $\neq 1$ oder $\neq -1$ ändert nicht die Größe der Figur. Ist der Streckfaktor größer als $-1$ und kleiner als $1$ so wird die Figur verkleinert oder gestaucht, andernfalls gestreckt. Das Vorzeichen des Streckfaktors bestimmt die Orientierung der Bildfigur: Ist der Streckfaktor negativ, so steht die Bildfigur gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf bzw. erscheint um $180^\circ$ gedreht. Bei positivem Streckfaktor hat die Bildfigur dieselbe Orientierung wie die Ursprungsfigur.

    Aus diesen Überlegungen ergibt sich die Zuordnung der Streckfaktoren zu den obigen Bildnummern.

    Bild 1: $\quad m=2$

    Bild 2: $\quad m=-2$

    Bild 3: $\quad m=1$

    Bild 4: $\quad m=-1$

    Bild 5: $\quad m=-\frac{1}{2}$

  • Gib die Eigenschaften zentrischer Streckungen an.

    Tipps

    Bei einer zentrischen Streckung wird die Ursprungsfigur gestaucht, wenn der Streckfaktor größer als $-1$ und kleiner als $1$ ist.

    Die zentrische Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ geht durch eine Drehung um $180^\circ$ aus der zentrischen Streckung um den Faktor $m=2$ hervor.

    Überlege, wie sich Lage und Größe der Bildfigur ändern, wenn Du das Streckzentrum veränderst.

    Lösung

    Die zentrischen Streckungen mit positivem bzw. negativem Streckfaktor unterscheiden sich nur durch die Orientierung. Bei zentrischen Streckungen mit negativem Streckfaktor steht die Bildfigur gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.

    Folgende Aussagen sind wahr:

    • „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=2$ ist doppelt so groß wie die Ursprungsfigur.“
    • „Die Größe der Bildfigur hängt von der Wahl des Streckfaktors ab.“
    • „Die Größe der Bildfigur hängt nicht vom Vorzeichen des Streckfaktors ab.“
    Falsch sind dagegen diese Aussagen:

    • „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-2$ ist kleiner als die Ursprungsfigur.“ Die Bildfigur ist doppelt so groß wie die Ursprungsfigur und steht gegenüber dieser auf dem Kopf.
    • „Die Bildfigur einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=2$ steht gegenüber der Ursprungsfigur auf dem Kopf.“ Für den Kopfstand brauchst Du einen negativen Streckfaktor.
    • „Die Größe der Bildfigur hängt von der Wahl des Streckzentrums ab.“ Nur die Lage ist abhängig von der Wahl des Streckzentrums, die Größe und Orientierung der Bildfigur hängen nur vom Streckfaktor ab.
    • „Die Lage der Bildfigur hängt nicht von dem Streckzentrum ab.“ Veränderst Du das Streckzentrum, so ändert sich nur die Lage der Bildfigur, nicht die Größe und Orientierung.
  • Analysiere die Aussagen über zentrische Streckungen.

    Tipps

    Überlege, ob in jedem Fall die Größe, Orientierung und Lage der Bildfigur von Streckfaktor und Streckzentrum abhängen. Versuche Spezialfälle zu finden, in denen diese Abhängigkeiten nicht gelten.

    Lösung

    Bei zentrischen Streckungen ändert sich im Allgemeinen die Größe mit dem Betrag des Streckfaktors, die Orientierung mit dem Vorzeichen des Streckfaktors und die Lage mit dem Streckzentrum. Es treten aber einige Spezialfälle auf, die Du beachten solltest.

    Richtig sind folgende Aussagen:

    • „Bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=1$ sind Ursprungsfigur und Bildfigur identisch.“ Diese zentrische Streckung verändert die Figur gar nicht. Die Bildfigur ist insbesondere unabhängig von der Wahl des Streckzentrums.
    • „Verändert man das Streckzentrum, so ändert sich die Lage der Bildfigur nur dann, wenn $m\neq 1$.“ Im Fall $m=1$ ist die zentrische Streckung die Identität, unabhängig von der Wahl des Streckzentrums. In allen anderen Fällen bestimmt das Streckzentrum die Lage der Bildfigur.
    • „Es gibt Ursprungsfiguren, die zu ihrer Bildfigur unter einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=-1$ kongruent sind.“ Eine zentrische Streckung mit Streckfaktor $m=-1$ kann man als Parallelverschiebung und anschließende Punktspiegelung bzw. Drehung um $180^\circ$ darstellen. Daher ist in diesem Fall jede Bildfigur zu ihrer Ursprungsfigur kongruent.
    Falsch sind diese Aussagen:

    • „Bei einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m=1$ ist die Ursprungsfigur nie mit der Bildfigur kongruent.“ Für den Streckfaktor $m=1$ ist die zentrische Streckung die Identität. Jede Figur ist mit der Bildfigur nicht nur kongruent, sondern sogar identisch.
    • „Es gibt eine Figur aus mehr als einem Punkt, die zu ihrer Bildfigur unter einer zentrischen Streckung mit Streckfaktor $m\neq 1,-1$ kongruent ist.“ Besteht eine Figur aus mindestens zwei Punkten, so wird der Abstand der Punkte bei der zentrischen Streckung gestaucht oder gestreckt, da der Streckfaktor $m\neq \pm 1$ ist. Besteht die Figur aber nur aus einem einzelnen Punkt, so ist sie zu jeder Bildfigur unter zentrischen Streckungen mit jedem beliebigen Streckfaktor kongruent.