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Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele

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Die Autor*innen
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Thekla Haemmerling
Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele
lernst du in der Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele

Dieses Video soll dir helfen, dein Wissen über Ähnlichkeitsabbildungen zu festigen. Du wiederholst hierbei die Begriffe "Kongruenzabbildung" und "zentrische Streckung". Außerdem übst du anhand einiger Beispiele, wie du Ähnlichkeitsabbildungen konstruieren und auch rekonstruieren, also nachvollziehen, kannst. Viel Spaß dabei!

Transkript Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele

Hallo! Ich bin’s: Thekla. Heute geht es wieder um Ähnlichkeitsabbildungen. Weißt du noch, was Ähnlichkeitsabbildungen sind? Den Begriff der kongruenten Abbildung von Figuren, also Kongruenzabbildungen, und die zentrische Streckung kennst du bereits. Bist du nicht mehr sicher, was das ist? Wir wiederholen gleich noch einmal kurz, was man unter den beiden Begriffen “Kongruenzabbildungen” und “zentrische Streckung” versteht. Danach beschäftigen wir uns mit Ähnlichkeitsabbildungen. Wir üben an einem Beispiel, eine Ähnlichkeitsabbildung zu erzeugen und schauen uns dann an, wie wir bei einer bereits gegeben Ähnlichkeitsabbildung die einzelnen Schritte rekonstruieren können.

Lass uns starten! Beginnen wir mit den möglichen Kongruenzabbildungen: Du kannst eine gegebene Figur in alle Richtungen verschieben, sie drehen, sie an einer Achse oder an einem Punkt spiegeln. Für eine zentrische Streckung benötigst du immer ein Streckzentrum Z. Das kann ein Eckpunkt der Figur, aber auch ein Punkt außerhalb oder innerhalb deiner Figur sein. Außerdem musst du wissen, um wie viel du die Figur strecken, also vergrößern oder verkleinern sollst. Hier kommt der Streckfaktor k ins Spiel. Ist der Streckfaktor größer als eins, so vergrößerst du die Figur. Liegt k zwischen 1 und Minus 1, so verkleinerst du sie. Für alle k, die kleiner als Null sind, führst du zusätzlich eine Punktspiegelung der Figur am Streckzentrum durch. Wenn du eine zentrische Streckung und eine Kongruenzabbildung, z.B. eine Drehung oder Spiegelung kombinierst, also hintereinander ausführst, nennt man das eine Ähnlichkeitsabbildung. Lass uns das Ganze an einem Beispiel üben. Dazu nehmen wir ein Koordinatensystem zu Hilfe. Ein Drachenviereck hat die Eckpunkte A(-5|2), B(-3,5|0,5), C(-1,5|2) und D(-3,5|3,5). Das Drachenviereck wollen wir zunächst zentrisch strecken. Das Streckzentrum Z liegt bei (0|2). Unser Streckfaktor ist k = - 0,5. Zuerst zeichnen wir jeweils von Z ausgehend durch alle Punkte des Drachenvierecks Geraden. Wir müssen nun den Abstand von Z zu den Punkten messen und mit dem Streckfaktor k gleich -0,5 multiplizieren. Von A zu Z sind es zum Beispiel fünf Längeneinheiten. Für die Strecke von Z zu A’ rechnen wir 5 mal (-0,5). Das ergibt -2,5 LE. Das Minus gibt an, dass wir in entgengesetzte Richtung im Abstand von 2,5 Längeneinheiten den Punkt A’ markieren müssen. Genauso machen wir es dann auch mit den Punkten B, C und D: Punkt B’ ist dann hier, Punkt C’ ist dann hier und hier ist Punkt D’. Als nächstes können wir das gestreckte Drachenviereck A’B’C’D’ an der x-Achse spiegeln. Hierbei nehmen wir also eine Achsenspiegelung vor. Wir legen das Geodreieck mit der 90-Grad-Markierung auf die x-Achse und messen den Abstand zu den Punkten der gestreckten Figur. Dann tragen wir die Punkte A’’, B’’, C’’ und D’’ im selben Abstand auf der gegenüberliegenden Seite der x-Achse ab. Zum Schluss müssen wir noch alle Punkte verbinden und haben eine zum ursprünglichen Drachenviereck ähnliche Figur gezeichnet. Schau dir nun einmal dieses Vieleck und die dazu ähnliche Abbildung an. Mit welchen Schritten kann man DIESE Figur auf DIESE Figur abbilden?

Anscheinend ist die Figur um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedreht worden. Die Drehung ist eine kongruente Abbildung. Guck mal: Ein Punkt hat sich in der Abbildung im Vergleich zur Ursprungsfigur nicht verändert. DER HIER. Er ist das Drehzentrum. Lass uns die ähnliche Figur wieder in die richtige Position drehen, damit wir Aussagen über die zentrische Streckung machen können. Wo ist das Streckzentrum? Wir zeichnen dazu jeweils durch die entsprechenden Punkte der Ausgangs- sowie Endfigur Geraden. Dort, wo sich diese Geraden schneiden, befindet sich unser Streckzentrum Z. Jetzt müssen wir nur noch den Streckfaktor k ermitteln. Dazu nehmen wir zum Beispiel den Abstand zwischen Z und diesem Punkt. In diesem Fall beträgt er 10 LE. Nun messen wir den Abstand von Z zu dem entsprechenden Punkt der verkleinerten Figur. Hier erhalten wir 5 LE.

Man sagt: “Die Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Originalstrecke.” In einer Formel ausgedrückt bedeutet das für unser Beispiel: 5 LE (Bild) ist gleich 10 LE(Original) mal k. Diese Gleichung formen wir nach k um, indem wir durch 10 LE (Original) teilen. 5 LE(Bild) durch 10 LE (Original) ergibt ½ . Probieren wir das Ganze erneut an einem Beispiel. Gegeben sind wieder eine Originalfigur, nämlich dieses Dreieck ABC, und diese Ähnlichkeitsabbildung dazu. Hier ist anscheinend wieder eine Drehung vorgenommen worden. In diesem Fall 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Punkt B. Lass uns also die Bildfigur gegen den Uhrzeigersinn um 90° zurückdrehen. Wenn wir nun Original- und Bildpunkte miteinander verbinden, erkennen wir, dass Punkt B nicht nur das Drehzentrum, sondern auch das Streckzentrum ist.

Jetzt überleg mal: Wie können wir den Streckfaktor k herausfinden? (Pause)

Genau, wir suchen uns einen Punkt der Originalfigur und den entsprechenden Punkt der Bildfigur aus. Lass uns zum Beispiel C und C’ nehmen. Dann messen wir den Abstand von B, dem Streckzentrum der Figur, zu C. Hier erhalten wir 12 LE. Im Anschluss messen wir den Abstand von B zu C’. Dieser beträgt 8LE.

Um k auszurechnen brauchen wir wieder den Satz: Die Bildstrecke ist k-mal so lang wie die Originalstrecke.

Also müssen 8 LE (Bild) gleich k mal 12 LE (Original) sein. Wieder nach k umgestellt ergibt sich k gleich ⅔. Damit konnten wir mit Hilfe der Originalfigur und der Bildfigur rekonstruieren, wie man vorgehen kann, um mit Ähnlichkeitsabbildungen von der Originalfigur zur Bildfigur zu gelangen. Ich hoffe, du könntest heute dein Wissen über Ähnlichkeitsabbildungen noch ein wenig mehr festigen! Ich freue mich auf’s nächste Mal mit dir!

Tschüss!

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Also ich finde s ist gut erklärt aber das was ich gesucht hab war es nicht

    Von Family.Buehrle, vor etwa einem Jahr
  2. Hallo Juergeneilert, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor mehr als einem Jahr
  3. So kacke erklärt habe nichts verstanden

    Von Juergeneilert, vor mehr als einem Jahr
  4. Supi erklärt! :)

    Von Jonas Nelly b., vor fast 3 Jahren
  5. Suppi

    Von Chiaram2006, vor mehr als 3 Jahren
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Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ähnlichkeitsabbildungen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärung zur Ähnlichkeitsabbildung.

    Tipps

    Ein anderer Begriff für kongruent ist deckungsgleich.

    Du kannst dir die Kongruenz wie folgt vorstellen: Wenn du zwei kongruente Figuren ausschneidest und diese übereinander legst, so decken diese sich komplett ab.

    Bei Ähnlichkeit stimmen die Winkel der Ausgangsfigur und der Bildfigur überein.

    Jede Kongruenzabbildung ist auch eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Umgekehrt ist dies nicht richtig.

    Lösung

    Bei einer Kongruenzabbildung werden geometrische Figuren auf kongruente (deckungsgleiche) Figuren abgebildet.

    Deckungsgleichheit kann man sich so vorstellen: Wenn man zwei Figuren ausschneidet und diese aufeinander legt, decken diese sich komplett gegenseitig ab.

    Kongruenzabbildungen sind

    • Verschiebungen,
    • Drehungen
    • Spiegelungen an einer Achse oder an einem Punkt
    Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Für eine zentrische Streckung benötigt man:
    • ein Streckzentrum (einen Punkt) $Z$ sowie
    • einen Streckfaktor $k$.
    Es gilt der folgende Merksatz:

    Wenn man zentrische Streckung und kongruente Abbildungen hintereinander ausführt, so erhält man eine Figur, die ähnlich zu der Ausgangsfigur ist. Eine solche Abbildung heißt Ähnlichkeitsabbildung.

  • Beschreibe, wie das Drachenviereck auf ein ähnliches Drachenviereck abgebildet wird.

    Tipps

    Beachte, dass eine Ähnlichkeitsabbildung durch das Hintereinanderausführen von zentrischer Streckung und Kongruenzabbildung entsteht.

    Die Reihenfolge könnte auch vertauscht werden.

    Bei Kongruenz- sowie Ähnlichkeitsabbildungen werden Ausgangsfiguren auf Bildfiguren abgebildet.

    Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen sind Kongruenzabbildungen.

    Lösung

    Um von dem Ausgangs-Drachenviereck oben links zu dem ähnlichen Bild-Drachenviereck unten rechts zu gelangen, geht man wie folgt vor - entsprechend der obigen Bilder von oben nach unten:

    1. Das Drachenviereck wird an dem Streckzentrum, dem eingezeichneten Punkt, um einen Streckfaktor $k$ gestreckt.
    2. In diesem Beispiel ist der Streckfaktor negativ und kleiner als $-1$, weswegen das erste Bild-Drachenviereck zum einen gespiegelt wird an dem Streckzentrum und zum anderen vergrößert. Diese Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.
    3. Dieses erste Bild-Drachenviereck wird nun an der horizontalen Achse gespiegelt. Dies ist eine Kongruenzabbildung.
  • Erkläre die Bedeutung des Streckfaktors $k$ bei einer zentrischen Streckung.

    Tipps

    Betrachte die obigen Strecken.

    Führe die zentrischen Streckungen auf einem Blatt selbst durch.

    Hier siehst du als Beispiel die zentrische Streckung eines Parallelogramms.

    Bei einer zentrischen Streckung gehst du wie folgt vor:

    • Du zeichnest eine Halbgerade von $Z$ zu jedem Eckpunkt der Figur, welche du strecken möchtest.
    • Nun misst du die Länge der Strecke von $Z$ zu jedem Eckpunkt.
    • Diese Länge multiplizierst du mit dem Streckfaktor.
    Was passiert zum Beispiel bei $k=1$?

    Lösung

    Für eine zentrische Streckung benötigt man ein Streckzentrum $Z$. Dieses Zentrum kann ein Eckpunkt der Figur sein oder außerhalb beziehungsweise innerhalb der Figur liegen.

    Welche Bedeutung hat der Streckfaktor $k$? Hier kann man die folgenden Fälle überprüfen:

    • $k>1$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur vergrößert. Dies entspricht in der Abbildung der roten Strecke mit $k=3$.
    • $k=1$: Die Ausgangsfigur und Bildfigur sind gleich. Dies ist die grüne Strecke.
    • $0<k<1$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur verkleinert. Dies entspricht beispielsweise der blauen Strecke mit $k=0,5$.
    • $-1<k<0$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur an $Z$ gespiegelt und verkleinert.
    • $k=-1$: Die Ausgangsfigur wird an dem Streckzentrum $Z$ gespiegelt. Dies ist bei der gelben Strecke zu sehen.
    • $k<-1$: Die Ausgangsfigur wird zur Bildfigur an $Z$ gespiegelt und vergrößert.
    Eigentlich ist eine Streckung für $k=0$ nicht erklärt. Wenn man diese Streckung durchführen würde, wäre die Bildfigur das Streckzentrum $Z$. Dies ist nicht wirklich sinnvoll.

  • Entscheide, welche der Figuren ähnlich zu der Ausgangsfigur sind.

    Tipps

    Beachte, dass bei Ausgang- und Bildfigur alle Winkel gleich groß sein müssen.

    Die Seitenverhältnisse in den Dreiecken stimmen überein.

    Das rote Dreieck ist gleichschenklig.

    Prüfe die jeweilige Länge der Grundseite und der zugehörigen Höhe. Diese sind gleich groß.

    Eines der Dreiecke ist sogar kongruent zu dem roten Dreieck. Es ist gedreht.

    Lösung

    Wenn Figuren (in diesem Beispiel: Dreiecke) auf Ähnlichkeit untersucht werden sollen, kann man zunächst nach dem Ausschlusskriterium vorgehen:

    • Da das rote Dreieck gleichschenklig ist, muss auch jedes dazu ähnliche Dreieck gleichschenklig sein: Das violette Dreieck ist nicht gleichschenklig. Dies kann also nicht ähnlich zu dem roten sein.
    • Das rote Dreieck ist nicht rechtwinklig. Damit kann auch das grüne nicht ähnlich zu diesem Dreieck sein, da das grüne Dreieck einen rechten Winkel hat.
    • Bei den übrigen Dreiecken können die Seitenverhältnisse überprüft werden. Dabei genügt es, jeweils die Länge der Grundseite und die der entsprechenden Höhe zu betrachten. Diese beträgt bei dem roten Dreieck jeweils $4$ Kästchen.
    • Bei dem grauen Dreieck ist die Grundseite $5$ und die Höhe $6$ Kästchen lang. Dieses Dreieck ist nicht ähnlich zu dem roten.
    • Das blaue Dreieck hat ebenfalls $4$ Kästchen jeweils bei der Grundseite als auch bei der Höhe. Dieses Dreieck geht durch Drehung aus dem roten hervor. Es ist kongruent und damit insbesondere ähnlich zu dem roten Dreieck.
    • Das gelbe Dreieck hat sowohl bei der Grundseite als auch bei der Höhe $6$ Kästchen. Dieses Dreieck ist ähnlich zu dem roten Dreieck.
  • Gib an, ob eine Ähnlichkeitsabbildung oder eine Kongruenzabbildung vorliegt.

    Tipps

    Übrigens: Jede Kongruenzabbildung ist auch eine Ähnlichkeitsabbildung.

    So ist zum Beispiel eine Verschiebung eine Kongruenzabbildung und damit eine Ähnlichkeitsabbildung.

    Kongruent bedeutet deckungsgleich.

    Sind zwei Figuren ähnlich, so ist die eine eine Vergrößerung oder Verkleinerung der anderen.

    Lösung

    Durch eine Kongruenzabbildung wird eine Figur auf eine kongruente, also deckungsgleiche, Figur abgebildet.

    Kongruenzabbildungen sind

    • Verschieben
    • Drehen
    • Spiegelung an einer Achse oder an einem Punkt
    Wird eine Figur zentrisch gestreckt, so entsteht eine ähnliche Figur.

    Eine zentrische Streckung entspricht einer Vergrößerung oder Verkleinerung dieser Figur, je nach Streckfaktor $k$. Dies ist im Allgemeinen eine Ähnlichkeitsabbildung.

  • Prüfe die folgenden Aussagen zur Kongruenz und Ähnlichkeit von geometrischen Figuren.

    Tipps

    Bei ähnlichen Figuren stimmen die Winkel überein.

    Kongruent bedeutet, dass die Figuren ausgeschnitten werden können und sich gegenseitig komplett abdecken.

    Bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

    Lösung

    Wie kann man Figuren auf Ähnlichkeit überprüfen?

    Zunächst einmal können nur Figuren ähnlich zueinander sein, welche die gleiche Anzahl an Eckpunkten haben.

    Das bedeutet, dass nur Vierecke ähnlich zu Vierecken und Dreiecke zu Dreiecken sein können.

    Auch hier kann wieder unterschieden werden:

    • Bei Dreiecken können nur Dreiecke, deren Winkel identisch sind, ähnlich zueinander sein.
    • Dies gilt ähnlich bei Vierecken: Ein Drachenviereck kann nicht ähnlich zu einem Trapez sein.
    Nun können verschiedene Spezialfälle betrachtet werden.

    • Quadrate sind immer ähnlich zueinander, allerdings nicht unbedingt kongruent.
    • Ebenso sind gleichseitige Dreiecke immer ähnlich zueinander, aber auch nicht zwingend kongruent. Bei gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.
    • Gleichschenklige Dreiecke müssen noch nicht einmal ähnlich sein, da hier nur zwei Winkel gleich groß sind.
    Merke: Bei ähnlichen Figuren sind die Winkel gleich groß.

    Es gibt bei Dreiecken verschiedene Kongruenzsätze:

    • SSS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen ihrer drei Seiten übereinstimmen.
    • SWS: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in den Längen zweier Seiten sowie in der Größe des eingeschlossenen Winkels übereinstimmen.
    • WSW: Zwei Dreiecke sind kongruent zueinander, wenn sie in der Länge einer Seite sowie in der Größe der beiden anliegenden Winkel übereinstimmen.
    Ein Sonderfall ist ein Kreis. Dieser besitzt keine Ecken. Da Kreise immer einen Mittelpunkt und einen Radius haben, sind diese immer ähnlich zueinander. Dies kann man sich an der zentrischen Streckung eines Kreises klarmachen:

    • Der Mittelpunkt wird zentrisch gestreckt.
    • Um diesen Mittelpunkt zeichnet man einen Kreis mit dem $|k|$-fachen des Ausgangsradius.
    Wenn die Radien zweier Kreise übereinstimmen, sind die Kreise sicherlich kongruent. Man kann den Mittelpunkt des einen Kreises (und damit den gesamten Kreis) auf den Mittelpunkt des anderen Kreises verschieben. Die beiden Kreise decken sich komplett ab.

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