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Addition und Subtraktion von Bruchtermen

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Team Digital
Addition und Subtraktion von Bruchtermen
lernst du in der Unterstufe 4. Klasse - Oberstufe 5. Klasse - 6. Klasse

Grundlagen zum Thema Addition und Subtraktion von Bruchtermen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Bruchterme zu addieren und zu subtrahieren.

Zunächst lernst du, was ein Bruchterm ist. Anschließend lernst du, wie du gleichnamige Bruchterme addieren bzw. subtrahieren kannst. Abschließend lernst du, wie du ungleichnamige Bruchterme gleichnamig machen kannst, indem du faktorisierst und anschließend kürzt oder erweiterst.

Bruchterme addieren oder subtrahieren

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Bruch, Zähler, Nenner, Term, Variable und Faktorisieren (Ausklammern).

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man Brüche addiert bzw. subtrahiert.

Transkript Addition und Subtraktion von Bruchtermen

Ein Steinbruch und darin eine Therme?! Na, wenn das mal keine klassische Bruchtherme ist! Die perfekte Location, um ein bisschen mit Bruchtermen zu rechnen. Dann lass uns mal ganz tief eintauchen, in die „Addition und Subtraktion von Bruchtermen“. Zunächst einmal die grundlegende Frage: Was ist überhaupt ein Bruchterm? Einen Bruchterm können wir in einen Zählerterm, und einen Nennerterm unterteilen. Zur Erinnerung: Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern. Ein Bruchterm könnte also zum Beispiel so aussehen oder auch so. Wir sprechen also dann von einem Bruchterm, wenn zumindest im Nenner eines Bruches Variablen vorkommen. Wenn wir solche Bruchterme jetzt addieren oder subtrahieren wollen, können wir prinzipiell genauso vorgehen, wie wir es früher bei ganz normalen Brüchen gemacht haben. Da müssen wir aber nochmal ganz tief im Gedächtnis kramen. Wie war das nochmal? Ach ja, genau! Gleichnamige Brüche – sprich Brüche mit dem gleichen Nenner – können wir addieren oder subtrahieren, indem wir den Nenner beibehalten und die Zähler entsprechend verrechnen. Wenn die Brüche Ungleichnamig sind, also unterschiedliche Nenner besitzen, müssen wir sie zunächst gleichnamig machen. Das heißt, wir bringen sie durch Kürzen oder Erweitern auf den gleichen Nenner, und können anschließend die Zähler verrechnen. Das gilt so auch für Bruchterme. Wir haben also zwei verschiedene Ausgangslagen. Entweder die Bruchterme, die wir addieren beziehungsweise subtrahieren möchten, sind gleichnamig, oder ungleichnamig. Sind die Bruchterme bereits gleichnamig, müssen wir nur den Nenner beibehalten und die Zähler addieren oder subtrahieren. Dazu ein Beispiel: Wir möchten diese beiden Brüche subtrahieren. Da die Nenner hier gleichnamig sind, können wir den Nenner beibehalten, und anschließend die Zähler subtrahieren. Achtung! Das Minus bezieht sich auf den ganzen hinteren Zähler, deshalb müssen wir Klammern setzen! Wenn wir die Klammern auflösen, drehen sich beide Vorzeichen in der Klammer um. Zusammengefasst ergibt das „eins minus zwei x“ durch „eins minus x“. Fertig! Doch was machen wir, wenn wir es mit ungleichnamigen Bruchtermen zu tun haben? Nun ja, wir müssen sie gleichnamig machen, indem wir kürzen oder erweitern. Dazu ein erstes Beispiel: Wir wollen zwei durch „x plus eins“ mit dem Bruchterm x durch „x Quadrat plus x“ addieren. Das Zauberwort lautet zunächst immer: Faktorisieren - in anderen Worten Ausklammern. Das heißt wir untersuchen Zähler und Nenner der Brüche darauf, ob wir sie in Produkte umschreiben können. Und siehe da, wir werden fündig! Der Nenner des zweiten Bruches besteht aus zwei Summanden, die jeweils ein x enthalten. Also können wir x ausklammern. Da jetzt im Nenner ein Produkt steht, können wir kürzen und erhalten den Bruch eins durch „x plus eins“. Jetzt sind die Nenner beider Brüche gleichnamig und wir können die Zähler addieren. Das Ergebnis lautet also „drei durch x plus eins“. Ein weiteres Beispiel: Wir wollen diese beiden Brüche subtrahieren. Wieder müssen wir zuerst überlegen, an welchen Stellen wir faktorisieren können. Im Nenner des ersten Bruchterms können wir x ausklammern, und im Nenner des zweiten Bruchterms können wir drei ausklammern. Dieses Mal können wir allerdings keinen der beiden Bruchterme kürzen. Wir können die Bruchterme aber gleichnamig machen, indem wir den Hauptnenner bilden. In anderen Worten: Wir müssen das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner finden. Dafür kann es hilfreich sein, alle vorkommenden Faktoren der Nenner in einer kleinen Tabelle zu notieren. Und zwar so, dass Faktoren, die in beiden Nennern vorkommen direkt untereinander stehen. Dann übernehmen wir jeden Faktor, der in einer Spalte mindestens einmal vorkommt, einmal. Unser Hauptnenner ist also „drei x mal in Klammern drei x minus eins.“ Jetzt müssen wir beide Bruchterme so erweitern, dass wir auf diesen Nenner kommen. Also den linken mit drei, und den rechten mit x. Dann sind die Nenner gleichnamig und wir können die Zähler einfach subtrahieren. Alles klar! Zeit für eine Zusammenfassung. Wenn wir Bruchterme addieren oder subtrahieren möchten, schauen wir zunächst, ob die Nenner der Bruchterme gleichnamig sind. In diesem Fall können wir die Nenner beibehalten und die Zähler addieren beziehungsweise subtrahieren und eventuell noch kürzen. Sind die Bruchterme ungleichnamig, müssen wir sie zuerst gleichnamig machen, indem wir kürzen oder erweitern. Dazu sollten wir immer zuerst schauen, ob wir faktorisieren, sprich ausklammern können. Dann können wir, falls nötig, den Hauptnenner bestimmen. Anschließend erweitern wir die Bruchterme mit den noch fehlenden Faktoren, um sie auf den gemeinsamen Hauptnenner zu bringen. Dabei nicht vergessen auch die Zähler zu multiplizieren! In einem letzten Schritt können wir die Zähler wieder zusammenfassen und eventuell noch kürzen. Na also, ist doch nichts zu Bruch gegangen. Echt erholsam, so ein Aufenthalt in der Bruchtherme!

Addition und Subtraktion von Bruchtermen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Addition und Subtraktion von Bruchtermen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Lösungsstrategie für Bruchterme an.

    Tipps

    Um Bruchterme addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichnamig sein. Falls das nicht der Fall ist, muss ein gemeinsamer Hauptnenner gefunden werden.

    Um die Bruchterme gleichnamig zu machen, können wir die Brüche durch erweitern oder kürzen auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

    Lösung

    Was ist ein Bruchterm?

    Einen Bruchterm können wir in einen Zählerterm und einen Nennerterm unterteilen. Zur Erinnerung: Ein Term ist eine mathematisch sinnvolle Zusammensetzung aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen und Klammern.

    Zum Beispiel: ${\dfrac{3x+2}{x^2-x}}$

    Gleichnamige Bruchterme addieren oder subtrahieren:

    Hier müssen wir den Nenner beibehalten und die Zähler addieren oder subtrahieren. Beim Subtrahieren wird der Term des Subtrahenden dabei in Klammern gesetzt. Falls möglich, wird dann noch gekürzt.

    Zum Beispiel: ${\dfrac{5}{1-x} - \dfrac{2x+4}{1-x} = \dfrac{5-(2x+4)}{1-x} = \dfrac{5-2x-4}{1-x} = \dfrac{1-2x}{1-x}}$

    Ungleichnamige Bruchterme addieren oder subtrahieren:

    Hier müssen wir die Bruchterme zuerst gleichnamig machen, indem wir kürzen oder erweitern. Dazu sollten wir immer zuerst schauen, ob wir den Nenner faktorisieren können. Dann wird der Hauptnenner bestimmt und der Term auf ihn erweitert.

    Zum Beispiel: ${\dfrac{2}{x+1} + \dfrac{x}{x^2+x} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{x}{x(x+1)}} = \dfrac{2}{x+1} + \require{cancel} \dfrac{\cancel{x~}}{ \cancel{~x}~(x+1)} = \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}$

    In einem letzten Schritt können wir die Zähler wieder zusammenfassen und wenn nötig noch kürzen.

    Zum Beispiel: ${\dfrac{2+1}{x+1} = \dfrac{3}{x+1}}$

  • Vereinfache den Term.

    Tipps

    Faktorisiere zuerst den Nenner, um den Bruchterm gleichnamig zu machen.
    Zum Beispiel: $\frac{1}{2x^2+3x}= \frac{1}{x(2x+3)} $

    Wenn die Bruchterme den gleichen Nenner haben, kannst du die Zähler addieren und den Nenner beibehalten.
    Zum Beispiel: $ \frac{5}{x+3} + \frac{x-4}{x+3} = \frac{5+(x-4)}{x+3} = \frac{1+x}{x+3}$

    Lösung

    Bruchterme können entweder gleichnamig oder ungleichnamig sein. Um sie addieren oder subtrahieren zu können, müssen sie gleichnamig sein, das heißt, den exakt gleichen Nenner besitzen.

    Sind die Bruchterme bereits gleichnamig, müssen wir nur den Nenner beibehalten und die Zähler addieren oder subtrahieren.

    Dazu ein Beispiel: $ \frac{4}{x+2} - \frac{x-1}{x+2} = \frac{4-(x-1)}{x+2} = \frac{4-x+1}{x+3} = \frac{5-x}{x+3}$

    Wenn aber Bruchterme ungleichnamig sind, dann müssen wir sie gleichnamig machen, also so erweitern oder kürzen, dass sie exakt den gleichen Nenner haben.

    Die richtige Reihenfolge der Rechenschritte aus der Aufgabe ist:

    $\frac{2}{x+1} + \frac{x}{x^2+x}$
    Wir faktorisieren zuerst den Nenner:
    = $\frac{2}{x+1} + \frac{x}{x(x+1)} $
    Wir kürzen dann soweit wie möglich:
    = $\frac{2}{x+1} + \frac{\cancel{x~}}{\cancel{x~}(x+1)} $
    = $ \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+1} $
    Wir addieren nun die Zähler und behalten den Nenner bei:
    = $ \frac{2+1}{x+1} $
    = $ \frac{3}{x+1} $

  • Bestimme den Hauptnenner.

    Tipps

    Um den Hauptnenner zu finden, kann man die Nenner faktorisieren.
    Zum Beispiel:
    $\frac{3}{x+4} + \frac{x}{x^2+4x}$
    = $\frac{3}{x+4} + \frac{x}{x(x+4)} $
    = $\frac{3}{x+4} + \frac{\cancel{x~}}{\cancel{x~}(x+4)} $
    = $ \frac{3}{x+4} + \frac{1}{x+4} $
    = $ \frac{4}{x+4} $

    Um den Hauptnenner zu finden, kann man alle vorkommenden Faktoren der Nenner in einer Tabelle notieren. Dabei stehen die Faktoren, die in beiden Nennern vorkommen, direkt untereinander. Dann übernimmt man jeden Faktor, der in einer Spalte mindestens einmal vorkommt, einmal. Dies ergibt den gemeinsamen Hauptnenner.

    Lösung

    Um den Hauptnenner zu finden, können wir alle vorkommenden Faktoren der Nenner in einer Tabelle notieren. Dabei stehen die Faktoren, die in beiden Nennern vorkommen direkt untereinander. Dann übernehmen wir jeden Faktor, der in einer Spalte mindestens einmal vorkommt, einmal. So erhalten wir den gemeinsamen Hauptnenner.

    Für die Nenner $x+3$ und $x^2+6x$ ergibt sich somit:

    $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & x+3& = & &&(x+3) \\ \hline \text{Nenner 2} & x^2+6x &= & x \cdot &(x+6) & \\ \hline \text{Hauptnenner} && & x \cdot&(x+6) \cdot&(x+3) \\ \end{array}$

    Für die Nenner $3x+9$ und $x^2+3x$ ergibt sich somit:

    $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & 3x+9& = &3 \cdot&&(x+3) \\ \hline \text{Nenner 2} & x^2+3x &= & & x \cdot &(x+3) \\ \hline \text{Hauptnenner} &&& 3 \cdot& x \cdot&(x+3) \\ \end{array}$

    Für die Nenner $ 2x+12 $ und $ (x+6)^2 $ ergibt sich somit:

    $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & 2x+12 & = &2 \cdot &&(x+6) \\ \hline \text{Nenner 2} & (x+6)^2 &= && (x+6) \cdot &(x+6) \\ \hline \text{Hauptnenner} &&& 2\cdot & (x+6) \cdot & (x+6) \\ &&=& 2\cdot & & (x+6)^2 \\ \end{array}$

    Für die Nenner $ 2x+6 $ und $ (x+6)(x+3) $ ergibt sich somit:

    $\begin{array}{l|cccccc} \text{Nenner 1} & 2x+6& = &2 \cdot &&(x+3) \\ \hline \text{Nenner 2} & (x+6)(x+3) &= && (x+6) \cdot & (x+3)\\ \hline \text{Hauptnenner} && & 2 \cdot& (x+6) \cdot & (x+3) \\ \end{array}$

  • Erkläre, wie man den Bruchterm berechnet.

    Tipps

    Prüfe zuerst, ob man faktorisieren kann. Anschließend musst du den Hauptnenner bilden.
    Zum Beispiel:
    $ \frac{8}{3x^2-x} - \frac{2x}{(3x-1)} = \frac{8}{x(3x-1)} - \frac{2x}{(3x-1)}$

    Der Hauptnenner lautet hier: $ x(3x-1) $

    Vergiss nicht, beim Erweitern auch die Zähler zu multiplizieren. In dem Beispiel muss man die $2x$ aus dem zweiten Nenner mit $x$ multiplizieren.

    Lösung

    $ \dfrac{5}{4x^2-x} - \dfrac{7x}{16x-4} $

    Wir wollen diese beiden Brüche subtrahieren. Wir müssen zuerst überlegen, an welchen Stellen wir faktorisieren können. Im Nenner des ersten Bruchterms können wir $x$ ausklammern und im Nenner des zweiten Bruchterms können wir $4$ ausklammern. Man kann allerdings keinen der beiden Bruchterme kürzen.

    = $ \dfrac{5}{x(4x-1)} - \dfrac{7x}{4(4x-1)} $

    Wir können die Bruchterme aber gleichnamig machen, indem wir den Hauptnenner bilden. Wir müssen also das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner finden und diese damit erweitern. Der Hauptnenner ist hier $4x (4x-1)$, deshalb müssen wir den Zähler beider Bruchterme dementsprechend mit $4$ und $x$ erweitern.

    = $ \dfrac{5 \cdot 4}{x(4x-1) \cdot 4} - \dfrac{7x \cdot x}{4(4x-1) \cdot x} $

    Dann sind die Nenner gleichnamig und wir können die Zähler einfach subtrahieren.

    = $ \dfrac{20}{4x(4x-1)} - \dfrac{7x^2}{4x(4x-1)} = \dfrac{20-7x^2}{4x(4x-1)} $

    Am Ende müssen wir noch prüfen, ob gekürzt werden muss. Das ist hier nicht der Fall.

  • Gib die Lösung der Bruchrechnungen an.

    Tipps

    Ein Beispiel zum Addieren gleichnamiger Brüche:
    $ \frac{7}{x} + \frac{3}{x} = \frac{7+3}{x} = \frac{10}{x} $

    Ein Beispiel zum Subtrahieren ungleichnamiger Brüche:
    $ \frac{x}{5} - \frac{8}{6} = \frac{6x}{30} - \frac{40}{30}= \frac{6x-40}{30}$

    Lösung

    Gleichnamige Brüche:

    Brüche mit dem gleichen Nenner können wir addieren oder subtrahieren, indem wir den Nenner beibehalten und die Zähler entsprechend verrechnen.

    $ \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3-2}{5} = \frac{1}{5} $

    Ungleichnamige Brüche:

    Wenn die Brüche nicht den gleichen Nenner besitzen, müssen wir sie gleichnamig machen. Das heißt, wir bringen sie durch Kürzen oder Erweitern auf den gleichen Nenner und können anschließend die Zähler verrechnen.

    $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6}= \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

  • Entscheide, ob die Rechnungen mit Bruchtermen korrekt sind.

    Tipps

    Wenn die Bruchterme gleichnamig sind, kannst du die Zähler entsprechend verrechnen und den Nenner beibehalten.
    Zum Beispiel: $ \frac{1}{2+x} + \frac{5x}{2+x} = \frac{1+5x}{2+x} $

    Wenn die Bruchterme nicht gleichnamig sind, musst du den Hauptnenner finden (faktorisieren, kürzen und erweitern) und anschließend die Zähler miteinander verrechnen. Zum Beispiel: $ \frac{1}{2x} + \frac{5x}{2x^2} = \frac{x}{2x^2} + \frac{5x}{2x^2} = \frac{6x}{2x^2} $

    Die erste binomische Formel lautet $ (a+b)^2 = a^2 +2ab +b^2 $.

    Lösung

    Diese Rechnungen sind korrekt:

    $ \dfrac{3x-14}{x^2+7} + \dfrac{28}{x^2+7} = \dfrac{3x-14+28}{x^2+7} = \dfrac{3x+14}{x^2+7} $

    Bei dieser Aufgabe sind die Nenner gleichnamig und werden deshalb beibehalten. Nur die Zähler werden addiert. Du musst darauf achten, dass alle Terme vollständig verrechnet werden.

    $\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3x+6}{x^2+4x+4} = \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3 \cancel{(x+2)}}{(x+2)^{\cancel{ 2}^1}} = \dfrac{3}{x+2} - \dfrac{3}{x+2} = \dfrac{3-3}{x+2} = 0$

    Da bei dieser Aufgabe die Nenner nicht gleichnamig sind, musst du zunächst mit Hilfe der ersten binomischen Formel den zweiten Nenner faktorisieren. Anschließend kannst du kürzen und erhältst den Hauptnenner. Dann werden die Zähler subtrahiert und der Nenner wie gewohnt beibehalten.

    $ \dfrac{1}{x^2-x} + \dfrac{5x}{x-1} = \dfrac{1}{x(x-1)} + \dfrac{5x}{x-1} = \dfrac{1}{x(x-1)} + \dfrac{5x^2}{x(x-1)} = \dfrac{1+5x^2}{x(x-1)} $

    Hier kann der erste Nenner faktorisiert werden. Anschließend erweitern wir den zweiten Bruch mit $x$, um die Brüche gleichmanig zu machen. Dann werden die Zähler addiert.

    Dieser Bruchterm wurde nicht richtig berechnet. Wir korrigieren:

    $ \dfrac{6}{5x^2-x} + \dfrac{4x}{25x-5} = \dfrac{6}{x(5x-1)} + \dfrac{4x}{5(5x-1)} = \dfrac{6 \cdot 5}{5x(5x-1)} + \dfrac{4x \cdot x}{5x(5x-1)} = \dfrac{30+4x^2}{5x(5x-1)} $

    Bei dieser Aufgabe wurde zwar der Hauptnenner richtig gebildet, allerdings wurden die Zähler nicht korrekt verrechnet. Das Vorzeichen wurde verwechselt und das $x^2$ vergessen.

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