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Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x)

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Annejahn089
Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x)
lernst du in der Oberstufe 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse

Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definitionen von $\cosh(x)$, $\sinh(x)$ sowie $\tanh(x)$ an.

    Tipps

    Die hyperbolischen Funktionen hängen eng mit den trigonometrischen Funktionen zusammen, wie du an den Bezeichnungen schon erkennen kannst.

    Lösung

    Der Name der Hyperbelfunktionen kommt daher, dass sie zur Parametrisierung der

    Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$

    verwendet werden können.

    Die trigonometrischen Funktionen werden zur Parametrisierung des Kreises $x^{2}+y^{2}=1$ verwendet. Es gibt einen Zusammenhang zwischen diesen Funktionen. Sehr deutlich wird dies in der Definition des Tangens

    $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

    beziehungsweise des Tangens hyperbolicus

    $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$.

    Der Sinus hyperbolicus sowie der Kosinus hyperbolicus lassen sich über Taylorreihen entwickeln. Dadurch gelangt man zu

    $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$

    sowie

    $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$.

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\tanh(x)$.

    Tipps

    Die Quotientenregel ist hier abgebildet.

    Verwende zur Ableitung vom Sinus hyperbolicus oder Kosinus hyperbolicus die foglenden Definitionen:

    • $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$
    • $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$

    Beachte die folgenden beiden Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion:

    • Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.
    • Die Ableitung von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$.
    Lösung

    Um den Tangens hyperbolicus abzuleiten, verwendet man

    • die nebenstehende Definition sowie
    • die Quotientenregel.
    Diese lautet in der Kurzschreibweise

    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'~v-u~v'}{v^2}$.

    Es werden also die Ableitungen sowohl vom Sinus hyperbolicus als auch vom Kosinus hyperbolicus benötigt:

    • $(\sinh(x))'=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$
    • $(\cosh(x))'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$
    Diese Ableitungen können nun in die Quotientenregel eingesetzt werden und man erhält:

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\right)'&=&\frac{(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2}{(\cosh(x))^2}\\ &=&1-\frac{(\sinh(x))^2}{(\cosh(x))^2}\\ &=&1-(\tanh(x))^2 \end{array}$

  • Leite die Funktion einmal ab.

    Tipps

    Beachte

    • $(\sinh(x))'=\cosh(x)$ sowie
    • $(\cosh(x))'=\sinh(x)$.

    Verwende die Kettenregel:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Bei $\sinh(x^2)$ ist $x^2$ die innere Funktion und bei $(\sinh(x))^2$ ist dies $\sinh(x)$.

    Lösung

    Im Folgenden sollen verkettete Funktionen abgeleitet werden. Dafür wird die Kettenregel verwendet:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Dabei muss immer zunächst entschieden werden, welche Funktion die innere und welche die äußere Funktion ist.

    Schauen wir uns zunächst $f(x)=(\sinh(x))^2$ genauer an:

    $f'(x)=2\sinh(x)\cosh(x)$.

    Dabei kommen die Faktoren $2$ sowie $\sinh(x)$ von der Ableitung der äußeren $(~~~)^2$ an der inneren Funktion. $\cosh(x)$ ist die Ableitung der inneren Funktion.

    Nun werfen wir einen Blick auf $g(x)=-(\cosh(x))^2$:

    $g'(x)=-2\cosh(x)\sinh(x)$.

    Dabei kommen die Faktoren $2$ sowie $\cosh(x)$ von der Ableitung der äußeren $(~~~)^2$ an der inneren Funktion. $\sinh(x)$ ist die Ableitung der inneren Funktion. Das Vorzeichen bleibt als Faktor stehen.

    Untersuchen wir nun $h(x)=\sinh(x^2)$:

    $h'(x)=2\cosh(x^2)x$.

    $\cosh(x^2)$ ist die Ableitung der äußeren Funktion ($\sinh(x)$) an der inneren Funktion ($x^2$) und $2x$ ist die Ableitung der inneren Funktion.

    Zuletzt schauen wir uns $k(x)=\cosh(x^2)$ genauer an:

    $k'(x)=2\sinh(x^2)x$.

    $\sinh(x^2)$ ist die Ableitung der äußeren Funktion ($\cosh(x)$) an der inneren Funktion ($x^2$) und $2x$ ist die Ableitung der inneren Funktion.

  • Bestimme die zweite Ableitung von $\tanh(x)$.

    Tipps

    Betrachte die folgende Funktion $f(x)=x^3$

    Es ist

    • $f'(x)=3x^2$ und
    • $f''(x)=6x$.

    Beachte, dass bei $(\tanh(x))^2$

    • der Tangens hyperbolicus die innere und
    • hoch $2$ die äußere Funktion ist.

    Die Kettenregel lautet

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Lösung

    Die zweite Ableitung einer Funktion ist die Ableitung der ersten Ableitung. Das bedeutet, dass $1-(\tanh(x))^2$ nochmals abgeleitet werden muss. Es ist also

    $(\tanh(x))''=(1-(\tanh(x))^2)'$.

    Die Konstante $1$ wird abgeleitet zu $0$ und dann ist

    $\begin{align} (\tanh(x))'' & =(-(\tanh(x))^2)'\\ & =-2~\tanh(x)~(\tanh(x))' \end{align}$.

    Hier wird die Kettenregel verwendet.

    Zuletzt kann noch die bereits bekannte Ableitung des Tangens hyperbolicus eingesetzt sowie ausmultipliziert werden:

    $\begin{array}{rcl} (\tanh(x))''&=&-2~\tanh(x)~(\tanh(x))'\\ &=&-2~\tanh(x)(1-(\tanh(x))^2)\\ &=&-2\tanh(x)+2(\tanh(x))^3 \end{array}$

  • Beschreibe, warum $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$ ist.

    Tipps

    Verwende die binomischen Formeln

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    $a=e^x$ und $b=e^{-x}$.

    Es ist $(e^x)^2=e^2x$ und $(e^{-x})^2=e^{-2x}$.

    Beachte, dass $e^x~e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$ ist.

    Lösung

    Mit Hilfe dieser Definitionen und den binomischen Formeln:

    $\begin{array}{rcl} \sinh(x) & = &\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\\\ \cosh(x)& = &\frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{array}$

    kann die jeweilige hyperbolische Funktion quadriert werden:

    $\begin{align} (\cosh(x))^2 & =\frac14(e^x+e^{-x})^2\\ & =\frac14(e^{2x}+2~e^x~e^{-x}+e^{-2x}) \end{align}$

    Es ist $e^x~e^{-x}=e^0=1$. Damit ist

    $(\cosh(x))^2=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4$

    Ebenso kann das folgende Quadrat berechnet werden

    $\begin{align} (\sinh(x))^2 & =\frac14(e^x-e^{-x})^2\\ & =\frac14(e^{2x}-2~e^x~e^{-x}+e^{-2x}) \end{align}$

    Auch hier ist $e^x~e^{-x}=e^0=1$ und somit

    $(\sinh(x))^2=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4$.

    Zuletzt werden die beiden Quadrate addiert:

    $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=\frac14\left(e^{2x}+2+e^{-2x}-(e^{2x}-2+e^{-2x})\right)$.

    Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um:

    $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=\frac14\left(e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}\right)=\frac14 ~4=1$.

    Das war's!

  • Leite den Kotangens hyperbolicus $\coth(x)=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$ einmal ab.

    Tipps

    Es ist

    • $(\sinh(x))'=\cosh(x)$
    • $(\cosh(x))'=\sinh(x)$.

    Verwende die hier abgebildete Quotientenregel.

    Du könntest auch mit der Kettenregel

    $\coth(x)=(\tanh(x))^{-1}$

    ableiten.

    Es ist $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$.

    Es sind zwei mögliche Umformungen der ersten Ableitung angegeben.

    Lösung

    Um den Kotangens hyperbolicus abzuleiten, verwendet man

    • die nebenstehende Definition sowie
    • die Quotientenregel.
    Diese lautet in der Kurzschreibweise

    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'~v-u~v'}{v^2}$.

    Ebenso verwenden wir

    $\begin{align} (\sinh(x))'& =\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ & =\cosh(x) \end{align}$

    und

    $\begin{align} (\cosh(x))' & =\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ & =\sinh(x) \end{align}$

    Diese Ableitungen können nun in die Quotientenregel eingesetzt werden und man erhält:

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}\right)'&=&\frac{(\sinh(x))^2-(\cosh(x))^2}{(\sinh(x))^2}\\ &=&1-\frac{(\cosh(x))^2}{(\sinh(x))^2}\\ &=&1-(\coth(x))^2 \end{array}$

    Da $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$ ist, ist $(\sinh(x))^2-(\cosh(x))^2=-1$.

    Damit kann die Ableitung auch wie folgt geschrieben werden:

    $(\coth(x))'=-\frac{1}{(\sinh(x))^2}$.

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