Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele

Ableitung der Umkehrfunktion – Beispiele Übung

• Leite die Ableitung der Funktion mit der Umkehrformel her.

  Tipps

  Eine Umkehrfunktion erhält man durch Auflösen der Gleichung $y=f(x)$ nach $x$.

  Die Potenzregel der Differentiation lautet:

  $\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}$.

  Durch einen Bruch teilt man, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.

  Lösung

  Um die Regel

  $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$

  anwenden zu können, muss man zunächst die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=\frac1{\sqrt x}$ bestimmen:

  $\begin{align*} y&=\frac1{\sqrt x}&|\cdot \sqrt x&|:y\\ \sqrt x&=\frac1y&|&(~)^2\\ x&=\frac1{y^2}. \end{align*}$

  Nun werden die Variablen vertauscht. Somit ist

  $f^{-1}(x)=\frac1{x^2}$

  die gesuchte Umkehrfunktion.

  Deren Ableitung

  $\left(f^{-1}\right)'(x)=-\frac2{x^3}$

  kann mit der Potenzregel der Differentiation berechnet werden.

  Damit ist

  $\left(\frac1{\sqrt x}\right)'=\frac1{-\frac2{\left(\frac1{\sqrt x} \right)^3}}=-\frac12 \frac1{\sqrt x^3}$.

• Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle $x=\frac19$.

  Tipps

  Man kann die Ableitung der Umkehrfunktion an einer gegebenen Stelle berechnen, ohne die Umkehrfunktion zu kennen.

  Das bedeutet, dass du die Umkehrfunktion nicht herleiten musst.

  Verwende die Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.

  Bekannt ist $x=f(2)=\frac19$.

  Was ist dann $f^{-1}\left(\frac19\right)$?

  Lösung

  Gegeben ist die Funktion $f(x)=\frac1{1+x^3}$.

  Im Folgenden wird die Formel

  $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $

  verwendet. Gesucht ist die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle $x=f(2)=\frac19$. Dabei ist die Umkehrfunktion unbekannt.

  Die Ableitung von $f$ ist gegeben durch

  $f'(x)=-(1+x^3)^{-2} \cdot 3x^2=-\frac{3x^2}{(1+x^3)^2}$.

  Es gilt $f'(2)=-\frac{3\cdot 2^2}{(1+2^3)^2}=-\frac{12}{81}=-\frac4{27}$.

  Nach der Umkehrformel ist

  $\left(f^{-1} \right)'\left(\frac19\right)=\frac1{-\frac4{27}}=-\frac{27}4$.

• Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt[4]x+5$.

  Tipps

  Verwende die Umkehrformel

  $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

  Die Umkehrung vom Ziehen einer Wurzel ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.

  Es gilt die Potenzregel der Differentiation

  $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

  Lösung

  Es soll die Ableitung der Funktion $f(x)=\sqrt[4]x+5$ mit der Umkehrformel berechnet werden:

  $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

  Hierfür wird zunächst die Umkehrfunktion von $f$ benötigt sowie deren Ableitung.

  $\begin{align*} y&=\sqrt[4]x+5&|&-5\\ y-5&=\sqrt[4]x&|&(~)^4\\ x&=(y-5)^4. \end{align*}$

  Durch Vertauschen der Variablen erhält man die Umkehrfunktion

  $f^{-1}(x)=(x-5)^4$.

  Deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=4(x-5)^3$.

  Nun kann die Ableitung $f'$ berechnet werden:

  $f'(x)=\frac1{4(\sqrt[4]x+5-5)^3}=\frac1{4\sqrt[4]x^3}$.

• Leite die Funktion $f(x)=\sqrt[n]x$ mit $x>0$ und $n\in\mathbb{N}$ ab.

  Tipps

  Verwende die Umkehrformel

  $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

  Die Umkehrung vom Ziehen einer Wurzel ist das Potenzieren mit dem Wurzelexponenten.

  Es gilt die Potenzregel der Differentiation

  $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$.

  Lösung

  Man betrachte die Funktion $f(x)=\sqrt[n]x$, $x>0$ und $n\in\mathbb{N}$. Um diese mit der Umkehrformel abzuleiten, benötigt man die Umkehrfunktion und deren Ableitung:

  • $f^{-1}(x)=x^n$ und
  • $\left(f^{-1}\right)'(x)=nx^{n-1}$.

  Nun kann die Umkehrformel verwendet werden

  $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)}$.

  Die Ableitung von $f$ ist also

  $f'(x)=\frac1{n\left(\sqrt[n]x\right)^{n-1}}$.

• Gib die Umkehrformeln zur Berechnung einer Ableitung an.

  Tipps

  Die Ableitung der Funktion $f(x)=2x$ ist $f'(x)=2$.

  Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x)=\frac12 x$ und deren Ableitung ist $\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac12$.

  Es gibt $2$ Fassungen der Umkehrregel für Ableitungen.

  Lösung

  Die Regel zur Ableitung einer Umkehrfunktion kann in $2$ Fassungen angegeben werden. Dabei müssen sowohl die Funktion als auch die Umkehrfunktion differenzierter sein.

  • $f'(x)=\frac1{\left(f^{-1}\right)'(f(x))}$ oder
  • $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.

  Die Wahl hängt davon ab, ob die Funktion oder die Umkehrfunktion gegeben ist.

• Berechne die Ableitung der Umkehrfunktion.

  Tipps

  Berechne $f'(x)$ mit Hilfe der Potenz- und Kettenregel.

  Verwende die Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $.

  Berechne $f^{-1} \left( 0,75 \right)$ durch $f(x)=0,75=\frac34$.

  Es gilt $f \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right)=0,75$. Setze das $x$ in $f'(x)$ ein.

  Berechne $\left( f^{-1} \right) '\left( 0,75 \right) = \frac{1}{f' \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right) }$.

  Lösung

  Der Rand des Kreises mit dem Radius $1$ ist gegeben durch die Gleichung $x^2+y^2=1$. Wenn man diese Gleichung nach $y$ für $0≤x≤1$ auflöst, erhält man $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.

  Man könnte die dazugehörige Umkehrfunktion bestimmen, jedoch benötigt man diese nicht zur Berechnung der Ableitung an einer vorgegebenen Stelle.

  Da $x=f \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right)=0,75$ ist, gilt umgekehrt $f^{-1}(0,75)=\sqrt{\frac{7}{16}}$. Dies wird bei der Anwendung der Umkehrformel $\left(f^{-1} \right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)} $ benötigt.

  Die Ableitung von $f$ ist

  $f'(x)=\frac12 \cdot (1-x^2)^{-\frac12} \cdot (-2x) =-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

  Nun kann die Formel angewendet werden. Es gilt

  $\left(f^{-1}\right)'(0,75)= \frac{1}{f' \left( \sqrt{\frac{7}{16}} \right) }$. Wir setzen also $\sqrt{\frac{7}{16}}$ in die Ableitung von $f$ ein und erhalten schließlich

  $\left(f^{-1}\right)'(0,75) \approx \frac{1}{-0,8819} \approx -1,1338$.