Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren addierst du beide Seiten der Gleichungen geschickt) bzw. subtrahierst sie voneinander. Damit erreichst du, dass eine der beiden Gleichungen anschließend nur noch eine Variable enthält.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

In einem linearen Gleichungssystem (LGS) werden mehrere Gleichungen zusammengefasst, die alle erfüllt werden sollen. Es handelt sich hierbei um Gleichungen ersten Grades, deren Exponent höchstens $1$ ist.

Ein LGS ist eindeutig lösbar, wenn es über mindestens ebenso viele Gleichungen wie Variablen verfügt.

Im Folgenden werden zur Vereinfachung nur lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und zwei Variablen betrachtet. Es existieren mehrere Schreibweisen, doch geläufig ist die Schreibweise, bei der die Gleichungen mit römischen Zahlen nummeriert sind.

Additionsverfahren

Um ein LGS so zu lösen, dass die Gleichungen des Systems erfüllt sind, gibt es verschiedene Verfahren.

$\begin{array}{lllll} \text{I} && 3x - 2y &=&6 \\ \text{II} && x + 2y &=& 10 \end{array}$

Beim Additionsverfahren fällt durch Addition der Gleichungen eine Variable weg:

$\begin{array}{llllll} \left(\text{I} + \text{II}\right): && 4x &=& 16 & \vert : 4 \\ && x &=& 4 & \end{array}$

Die zweite Variable $y$ bestimmt man durch Einsetzen des $x$-Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen. In diesem Fall bietet sich die zweite einfachere Gleichung an:

$\begin{array}{llll} 4 + 2y &=&10 & \vert - 4\\ 2y & = &6 & \vert : 2\\ y & = &3 & \end{array}$

Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems lautet $\mathbb{L}=\lbrace(4 ; 3)\rbrace$.

Nicht immer lässt sich eine der Variablen in einem LGS direkt eliminieren, da die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) oft verschieden sind. Vor Anwendung des Additionsverfahrens müssen dann eine oder sogar beide Gleichungen durch Multiplikation oder Division umgeformt werden.

Umformung einer Gleichung

$\begin{array}{lllll} \text{I} && x + y &=& 25\\ \text{II} && 3x + 7y &=& 115 \end{array}$

Um die Variable $x$ zu eliminieren, müsste die erste Gleichung mit $(-3)$ multipliziert werden. Damit $y$ sich aufhebt, wäre eine Multiplikation der ersten Gleichung mit $(-7)$ notwendig.

$\begin{array}{llllll} \text{I} && x + y &=& 25 & \vert \cdot(-3)\\ \\ \text{I}' && -3x -3y &=&-75 & \\ \text{II} && 3x + 7y &=& 115 & \end{array}$

Durch die Addition der beiden Gleichungen $\text{I}'$ und $\text{II}$ wird die Variable $x$ eliminiert:

$\begin{array}{llllll} \left(\text{I}' + \text{II}\right): && 4y &=& 40 & \vert : 4 \\ && y &=& 10 & \end{array}$

Das Ergebnis $y = 10$ wird in eine der beiden Ausgangsgleichungen eingesetzt:

$\begin{array}{llll} 3x + 70 &=&115 & \vert - 70 \\ 3x & = &45 & \vert : 3 \\ x & = & 15 & \end{array}$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\lbrace (15 ; 10)\rbrace $.

Umformung beider Gleichungen

Um das Additionsverfahren anzuwenden, müssen oft sogar beide Gleichungen umgeformt werden, so dass eine Variable herausfällt.

$\begin{array}{lllll} \text{I} && 5x + 3y &=& 14 \\ \text{II} && 2x -2y &=& -4 \end{array}$

Dazu betrachtet man die Koeffizienten und sucht das kleinste gemeinsame Vielfache. Im Fall der Variablen $x$ wäre dies $10$, im Fall der Variablen $y$ wäre es $6$, beides ist möglich.

Hier soll sich die Variable $y$ durch Addition aufheben:

$\begin{array}{llllll} \text{I} && 5x + 3y &=& 14 & \vert \cdot 2 \\ \text{II} && 2x -2y &=& -4 & \vert \cdot 3\\ \\ \text{I}' && 10x + 6y &=& 28 & \\ \text{II}' && 6x - 6y &=& -12 & \\ \end{array}$

Die Addition der beiden umgeformten Gleichungen ergibt:

$\begin{array}{llllll} \left(\text{I}' + \text{II}'\right): && 16x &=& 16 &\vert : 16 \\ && x &=& 1 & \end{array}$

Durch Einsetzen der Lösung $x=1$ in eine der beiden Ausgangsgleichungen bestimmt man anschließend $y$:

$\begin{array}{llll} 5 + 3y &=& 14 & \vert - 5 \\ 3y & = & 9 & \vert : 3 \\ y & = & 3 & \end{array}$

Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\lbrace (1 ; 3)\rbrace $.

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